1.4 角平分线的性质
知识点1 角平分线的性质
1.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,AC=15 cm,AD=
9 cm,DE⊥AB,则DE=( )
A.9 cm B.7 cm
C.6 cm D.5 cm
2.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到∠AOB两边距离相等的点应是( )
A.M点 B.N点 C.P点 D.Q点
3.(2024·湘潭期中)如图,已知P是∠AOB平分线上一点,∠AOP=15°,CP∥OB交OA于点C,PD⊥OB,垂足为D,且PC=6,则△OPC的面积等于 .
4.(2024·湖南中考)如图,在锐角三角形ABC中,AD是边BC上的高,在BA,BC上分别截取线段BE,BF,使BE=BF;分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,在∠ABC内,两弧交于点P,作射线BP,交AD于点M,过点M作MN⊥AB于点N.若MN=2,AD=4MD,则AM= .
知识点2 角平分线的判定
5.(2023·岳阳期末)如图,已知点P到AE,AD,BC的距离相等,下列说法:
①点P在∠BAC的平分线上;
②点P在∠CBE的平分线上;
③点P在∠BCD的平分线上;
④点P为∠BAC,∠CBE,∠BCD的平分线的交点.
其中正确的是( )
A.①②③④ B.①②③
C.④ D.②③
6.小明同学在学习了角平分线的相关知识后,他将两把完全相同的长方形直尺按如图所示的方式摆放,一把直尺压住射线OB且与射线OA交于点M,另一把直尺压住射线OA且与第一把直尺交于点P,作射线OP,若∠BOP=36°,则∠OPE= .
7.如图,O是△ABC内一点,且O到三边AB,BC,CA的距离相等,若∠BAC=70°,则
∠BOC= .
8.已知:如图,P是OC上一点,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,F,G分别是OA,OB上的点,且PF=PG,DF=EG.
求证:OC是∠AOB的平分线.
9.如图,直线a,b,c表示三条公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( )
A.一处 B.两处 C.三处 D.四处
10.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB,交BC于点D,DE⊥AB于点E,且AB=8 cm,则△DEB的周长为( )
A.4 cm B.6 cm
C.8 cm D.不能确定
11.(2023·邵东期末)如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,O为△ABC角平分线的交点,若△ABO的面积为30,则△ACO的面积为( )
A.18 B.20 C.22 D.24
12.(2024·娄底质检)如图,已知△ABC的两条角平分线BE,CD相交于点O,CG是△ABC外角∠ACP的平分线,BE的延长线与CG交于点G,连接DG交AC于点F,若DG∥BC,有下列结论:
①DC⊥GC;②∠BOC=90°+∠A;
③点G到直线AB,直线BC,直线AC的距离相等;
④BD=2FC.
其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
13.如图,已知∠AOB和点M,N,求作点P,使P到∠AOB两边的距离相等且PM=PN.(尺规作图,保留作图痕迹,不要求写出作法)
14.(2023·长沙期末)如图,在△ABC中,∠ACB=100°,点D在边BC的延长线上,
∠ABC的平分线交AD于点E,过点E作EH⊥BD,垂足为H,且∠CEH=50°.
(1)求∠ACE的度数;
(2)求证:AE平分∠CAF;
(3)若AC+CD=14,AB=8.5,且S△ACD=21,求△ABE的面积.1.4 角平分线的性质
知识点1 角平分线的性质
1.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,AC=15 cm,AD=
9 cm,DE⊥AB,则DE=(C)
A.9 cm B.7 cm
C.6 cm D.5 cm
2.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到∠AOB两边距离相等的点应是(A)
A.M点 B.N点 C.P点 D.Q点
3.(2024·湘潭期中)如图,已知P是∠AOB平分线上一点,∠AOP=15°,CP∥OB交OA于点C,PD⊥OB,垂足为D,且PC=6,则△OPC的面积等于 9 .
4.(2024·湖南中考)如图,在锐角三角形ABC中,AD是边BC上的高,在BA,BC上分别截取线段BE,BF,使BE=BF;分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,在∠ABC内,两弧交于点P,作射线BP,交AD于点M,过点M作MN⊥AB于点N.若MN=2,AD=4MD,则AM= 6 .
知识点2 角平分线的判定
5.(2023·岳阳期末)如图,已知点P到AE,AD,BC的距离相等,下列说法:
①点P在∠BAC的平分线上;
②点P在∠CBE的平分线上;
③点P在∠BCD的平分线上;
④点P为∠BAC,∠CBE,∠BCD的平分线的交点.
其中正确的是(A)
A.①②③④ B.①②③
C.④ D.②③
6.小明同学在学习了角平分线的相关知识后,他将两把完全相同的长方形直尺按如图所示的方式摆放,一把直尺压住射线OB且与射线OA交于点M,另一把直尺压住射线OA且与第一把直尺交于点P,作射线OP,若∠BOP=36°,则∠OPE= 54° .
7.如图,O是△ABC内一点,且O到三边AB,BC,CA的距离相等,若∠BAC=70°,则
∠BOC= 125° .
8.已知:如图,P是OC上一点,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,F,G分别是OA,OB上的点,且PF=PG,DF=EG.
求证:OC是∠AOB的平分线.
【证明】在Rt△PFD和Rt△PGE中,
,
∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL),
∴PD=PE.
∵P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴OC是∠AOB的平分线.
9.如图,直线a,b,c表示三条公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有(D)
A.一处 B.两处 C.三处 D.四处
10.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB,交BC于点D,DE⊥AB于点E,且AB=8 cm,则△DEB的周长为(C)
A.4 cm B.6 cm
C.8 cm D.不能确定
11.(2023·邵东期末)如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,O为△ABC角平分线的交点,若△ABO的面积为30,则△ACO的面积为(D)
A.18 B.20 C.22 D.24
12.(2024·娄底质检)如图,已知△ABC的两条角平分线BE,CD相交于点O,CG是△ABC外角∠ACP的平分线,BE的延长线与CG交于点G,连接DG交AC于点F,若DG∥BC,有下列结论:
①DC⊥GC;②∠BOC=90°+∠A;
③点G到直线AB,直线BC,直线AC的距离相等;
④BD=2FC.
其中正确结论的个数是(D)
A.1 B.2 C.3 D.4
13.如图,已知∠AOB和点M,N,求作点P,使P到∠AOB两边的距离相等且PM=PN.(尺规作图,保留作图痕迹,不要求写出作法)
【解析】如图,作∠AOB的平分线OC,连接MN,作线段MN的垂直平分线EF,直线EF与射线OC的交点即为所求的点P.
14.(2023·长沙期末)如图,在△ABC中,∠ACB=100°,点D在边BC的延长线上,
∠ABC的平分线交AD于点E,过点E作EH⊥BD,垂足为H,且∠CEH=50°.
(1)求∠ACE的度数;
(2)求证:AE平分∠CAF;
(3)若AC+CD=14,AB=8.5,且S△ACD=21,求△ABE的面积.
【解析】(1)∵∠ACB=100°,
∴∠ACD=180°-100°=80°.
∵EH⊥BD,∴∠CHE=90°.
∵∠CEH=50°,∴∠ECH=90°-50°=40°,
∴∠ACE=80°-40°=40°.
(2)过点E分别作EM⊥BF于M,EN⊥AC于N,
∵BE平分∠ABC,∴EM=EH.
∵∠ACE=∠ECH=40°,
∴CE平分∠ACD,
∴EN=EH,
∴EM=EN,
∴AE平分∠CAF.
(3)∵AC+CD=14,S△ACD=21,EM=EN=EH,
∴S△ACD=S△ACE+S△CED
=AC·EN+CD·EH
=(AC+CD)·EM=21,
即×14·EM=21,
解得EM=3.∵AB=8.5,
∴S△ABE=AB·EM=×8.5×3=.
