第2章 四边形
2.1 多边形
第1课时
知识点1 多边形的有关概念
1.如图所示的图形中,属于多边形的有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.下列说法正确的是( )
A.各边都相等的多边形是正多边形
B.各角都相等的多边形是正多边形
C.各边相等,各角也相等的多边形是正多边形
D.一个n边形(n>3)有n条边,n个内角,n条对角线
知识点2 多边形的对角线
3.从一个多边形的一个顶点出发,最多可画2 023条对角线,则它的边数是( )
A.2 024 B.2 025
C.2 026 D.2 027
4.(2024·衡阳期末)从多边形的一个顶点出发向其余的顶点引对角线,将多边形分成10个三角形,则此多边形的边数为( )
A.9 B.11 C.12 D.10
5.八边形的对角线的条数是( )
A.9 B.14 C.20 D.27
知识点3 多边形的内角和
6.(2023·株洲茶陵县期中)湖南革命烈士纪念塔的塔底平面为八边形,这个八边形的内角和为( )
A.720° B.900° C.1 080° D.1 440°
7.一个多边形每个内角都是150°,这个多边形是( )
A.九边形
B.十边形
C.十二边形
D.十八边形
8.(2023·邵阳期末)如图,已知△ABC中,∠A=75°,则∠1+∠2=( )
A.335° B.255° C.155° D.150°
9.若两个多边形的边数之比为1∶2,两个多边形的内角和之和为1 440°,求这两个多边形的边数.
10.一个多边形截去一个角后,形成另一个多边形的内角和为2 520°,则原多边形的边数是( )
A.17 B.16
C.15 D.16或15或17
11.(2024·长沙期末)如图,将三角形纸片ABC沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE的外部时,测量得∠1=50°,∠2=152°,则∠A为( )
A.40° B.22° C.30° D.52°
12.如图,CE,CF是正六边形(六条边相等,六个内角相等)的两条对角线,则∠ECF的大小为 .
13.如图,n边形A1A2A3A4A5…An,从n边形的一个顶点出发可以作 条对角线;若过n边形的一个顶点有7条对角线,m边形没有对角线,k边形对角线的总条数等于边数,则n-m+k= .
14.(2023·长沙雨花区模拟)如图,正五边形FGHIJ的顶点在正五边形ABCDE的边上,若∠AFJ=20°,则∠CGH= °.
15.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 .
16.(2024·娄底新化县期末)如图,第一个图形是一个六边形,第二个图形是两个六边形组成,以此类推:
(1)写出第n个图形的顶点数(n是正整数);
(2)第12个图形有几个顶点
(3)若有122个顶点,那么它是第几个图形
17.小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1 840°,老师说他算错了,于是小马虎认真地检查了一遍.
(1)若他检查发现其中一个内角多算了一次,求这个多边形的边数是多少.
(2)若他检查发现漏算了一个内角,求漏算的那个内角是多少度,这个多边形是几边形.第2章 四边形
2.1 多边形
第1课时
知识点1 多边形的有关概念
1.如图所示的图形中,属于多边形的有(A)
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.下列说法正确的是(C)
A.各边都相等的多边形是正多边形
B.各角都相等的多边形是正多边形
C.各边相等,各角也相等的多边形是正多边形
D.一个n边形(n>3)有n条边,n个内角,n条对角线
知识点2 多边形的对角线
3.从一个多边形的一个顶点出发,最多可画2 023条对角线,则它的边数是(C)
A.2 024 B.2 025
C.2 026 D.2 027
4.(2024·衡阳期末)从多边形的一个顶点出发向其余的顶点引对角线,将多边形分成10个三角形,则此多边形的边数为(C)
A.9 B.11 C.12 D.10
5.八边形的对角线的条数是(C)
A.9 B.14 C.20 D.27
知识点3 多边形的内角和
6.(2023·株洲茶陵县期中)湖南革命烈士纪念塔的塔底平面为八边形,这个八边形的内角和为(C)
A.720° B.900° C.1 080° D.1 440°
7.一个多边形每个内角都是150°,这个多边形是(C)
A.九边形
B.十边形
C.十二边形
D.十八边形
8.(2023·邵阳期末)如图,已知△ABC中,∠A=75°,则∠1+∠2=(B)
A.335° B.255° C.155° D.150°
9.若两个多边形的边数之比为1∶2,两个多边形的内角和之和为1 440°,求这两个多边形的边数.
【解析】设这两个多边形的边数分别为n,2n,依题意得,
180(n-2)+180(2n-2)=1 440,
540n-720=1 440,
540n=2 160,
n=4,
所以这两个多边形的边数分别为4和8.
10.一个多边形截去一个角后,形成另一个多边形的内角和为2 520°,则原多边形的边数是(D)
A.17 B.16
C.15 D.16或15或17
11.(2024·长沙期末)如图,将三角形纸片ABC沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE的外部时,测量得∠1=50°,∠2=152°,则∠A为(B)
A.40° B.22° C.30° D.52°
12.如图,CE,CF是正六边形(六条边相等,六个内角相等)的两条对角线,则∠ECF的大小为 30° .
13.如图,n边形A1A2A3A4A5…An,从n边形的一个顶点出发可以作 (n-3) 条对角线;若过n边形的一个顶点有7条对角线,m边形没有对角线,k边形对角线的总条数等于边数,则n-m+k= 12 .
14.(2023·长沙雨花区模拟)如图,正五边形FGHIJ的顶点在正五边形ABCDE的边上,若∠AFJ=20°,则∠CGH= 52 °.
15.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 360° .
16.(2024·娄底新化县期末)如图,第一个图形是一个六边形,第二个图形是两个六边形组成,以此类推:
(1)写出第n个图形的顶点数(n是正整数);
(2)第12个图形有几个顶点
(3)若有122个顶点,那么它是第几个图形
【解析】(1)第1个图形的顶点数为4+2,
第2个图形的顶点数为2×4+2,
第3个图形的顶点数为3×4+2,
…,
第n个图形的顶点数为n×4+2=4n+2;
(2)第12个图形的顶点数为4×12+2=50,
∴第12个图形有50个顶点;
(3)4n+2=122,解得n=30,
∴若有122个顶点,那么它是第30个图形.
17.小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1 840°,老师说他算错了,于是小马虎认真地检查了一遍.
(1)若他检查发现其中一个内角多算了一次,求这个多边形的边数是多少.
(2)若他检查发现漏算了一个内角,求漏算的那个内角是多少度,这个多边形是几边形.
【解析】(1)设这个多边形的边数是n,重复计算的内角的度数是x,
则(n-2)·180°=1 840°-x,n=12……40°.
故这个多边形的边数是12.
(2)设这个多边形的边数是n,没有计算在内的内角的度数是x,则(n-2)·180°=
1 840°+x,n=12……40°.180°-40°=140°,故漏算的那个内角是140度,这个多边形是十三边形.2.1 多边形
第2课时
知识点1 多边形的外角和
1.(2024·娄底涟源市模拟)正五边形的外角和为(C)
A.72° B.180° C.360° D.540°
2.多边形的边数增加1,其外角和将(D)
A.增加60°
B.增加90°
C.增加180°
D.不变
3.(2024·长沙开福区质检)一个多边形的每个外角都等于45°,则这个多边形的边数是(B)
A.7 B.8 C.9 D.10
4.正十边形的每个外角都等于 36 度.
5.已知一个多边形的内角和与外角和的差为1 440°.
(1)求这个多边形的边数;
(2)求这个多边形的对角线条数.
【解析】(1)设这个多边形的边数为n,
由题意得,(n-2)×180°-360°=1 440°,解得n=12,
答:这个多边形的边数为12;
(2)这个多边形的对角线条数为×12×(12-3)=54,
答:这个多边形的对角线条数为54.
知识点2 四边形的不稳定性
6.四边形具有不稳定性,当一个四边形只有形状改变时,发生变化的是(C)
A.四边形的边长
B.四边形的周长
C.四边形某些角的大小
D.四边形的内角和
7.三角形具有稳定性,所以要使如图所示的五边形木架不变形,至少要钉上 根木条.(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
8.如图,伸缩晾衣架利用的几何原理是四边形的 不稳定性 .
9.一个多边形的外角中,钝角的个数不可能是(D)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.(2024·长沙模拟)下面的多边形中,内角和等于外角和的2倍的是(D)
11.如图,在五边形ABCDE中,AB∥CD,∠1,∠2,∠3分别是∠BAE,∠AED,∠EDC的邻补角,则∠1+∠2+∠3等于(B)
A.90° B.180° C.210° D.270°
12.(2024·邵阳新邵县模拟)如图,王林从点A出发沿直线前进5米到达点B,向左转45°后又沿直线前进5米到达点C,再向左转45°后又沿直线前进5米到达点D…照这样走下去,王林第一次回到出发点时所走的路程为(D)
A.100米 B.80米
C.60米 D.40米
13.(2024·邵阳大祥区期中)已知一个多边形的边数为n,若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多30°,求这个多边形对角线的总条数.
【解析】设这个多边形的每个外角为x°,则每个内角为(4x+30)°,依题意得,4x+30+x=180,解得x=30,
∴n=360°÷30°=12,
∴这个多边形对角线的总条数是=54.
答:这个多边形对角线的总条数为54.
14.如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数.
【解析】如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=(∠A+∠H)+ (∠B+ ∠C)+(∠D+∠E)+(∠F+∠G)=∠1+∠2+∠3+∠4=360°.
15.(2024·邵阳邵东市期中)几何图形千变万化,但是不同的图形之间往往存在联系,下面让我们一起来探索:
(1)下列有A,B两题,请你选择其中一个进行证明(若两题都证明,按题A给分).
A.如图①,∠1和∠2是△ABC的两个外角,求证:∠1+∠2=180°+∠A;
B.如图②,D,E是△ABC边AB,AC上的点,将△ADE沿DE翻折至△FDE,若点F在△ABC内部,求证:∠1+∠2=2∠A.
我选择 作答.
(2)如图③,BE,CE分别平分四边形ABCD的外角∠CBM,∠BCN.已知∠A=100°,∠D=120°,求∠E的度数;
(3)如图④,已知五边形ABCDE,延长AE至F,延长BC至G,连接CE,点P,Q分别在边DE,CD上,将△DPQ沿PQ翻折至△D'PQ,若∠DEF=∠CEF,∠DCG=∠ECG,∠A=m°,∠B=n°.请你直接写出∠1+∠2的度数(用含m,n的代数式表示).
【解析】(1)选择A,证明如下:
∵∠ABC=180°-∠1,∠ACB=180°-∠2,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠A+180°-∠1+180°-∠2=180°,
∴∠1+∠2=180°+∠A;
选择B,证明如下:
由翻折性质得∠ADE=∠FDE,∠AED=∠FED,
∴∠ADF=2∠ADE,∠AEF=2∠AED,
∴∠ADF+∠AEF=2(∠ADE+∠AED),
∵∠ADE+∠AED=180°-∠A,
∴∠ADF+∠AEF=2(180°-∠A)=360°-2∠A,
又∵∠ADF=180°-∠1,∠AEF=180°-∠2,
∴∠ADF+∠AEF=360°-(∠1+∠2),
∴360°-(∠1+∠2)=360°-2∠A,即∠1+∠2=2∠A;
(2)延长BA,CD交于点K,如图所示:
由(1)A可知:∠BAD+∠CDA=180°+∠K,∠MBC+∠NCB=180°+∠K,
则∠MBC+∠NCB=∠BAD+∠CDA,
∵∠BAD=100°,∠CDA=120°,
∴∠MBC+∠NCB=100°+120°=220°,
∵BE,CE分别平分∠CBM,∠BCN,
∴∠EBC+∠ECB=(∠MBC+∠NCB)=110°,
∴∠E=180°-(∠EBC+∠ECB)=70°;
(3)由(2)可知:∠EAB+∠CBA=∠CEF+∠ECG,
∵∠EAB=m°,∠CBA=n°,
∴∠FEC+∠GCE=m°+n°,
设∠DEF=α,∠DCG=β,
∴∠CEF=3α,∠ECG=3β,
∴∠DEC=2α,∠DCE=2β,
∴3α+3β=m°+n°,即α+β=(m°+n°),
∵∠D=180°-(∠DEC+∠DCE),
∴∠D=180°-2(α+β)=180°-(m°+n°),
由(1)B可知:∠1+∠2=2∠D=360°-m°-n°.2.1 多边形
第2课时
知识点1 多边形的外角和
1.(2024·娄底涟源市模拟)正五边形的外角和为( )
A.72° B.180° C.360° D.540°
2.多边形的边数增加1,其外角和将( )
A.增加60°
B.增加90°
C.增加180°
D.不变
3.(2024·长沙开福区质检)一个多边形的每个外角都等于45°,则这个多边形的边数是( )
A.7 B.8 C.9 D.10
4.正十边形的每个外角都等于 度.
5.已知一个多边形的内角和与外角和的差为1 440°.
(1)求这个多边形的边数;
(2)求这个多边形的对角线条数.
知识点2 四边形的不稳定性
6.四边形具有不稳定性,当一个四边形只有形状改变时,发生变化的是( )
A.四边形的边长
B.四边形的周长
C.四边形某些角的大小
D.四边形的内角和
7.三角形具有稳定性,所以要使如图所示的五边形木架不变形,至少要钉上 根木条.( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.如图,伸缩晾衣架利用的几何原理是四边形的 .
9.一个多边形的外角中,钝角的个数不可能是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.(2024·长沙模拟)下面的多边形中,内角和等于外角和的2倍的是( )
11.如图,在五边形ABCDE中,AB∥CD,∠1,∠2,∠3分别是∠BAE,∠AED,∠EDC的邻补角,则∠1+∠2+∠3等于( )
A.90° B.180° C.210° D.270°
12.(2024·邵阳新邵县模拟)如图,王林从点A出发沿直线前进5米到达点B,向左转45°后又沿直线前进5米到达点C,再向左转45°后又沿直线前进5米到达点D…照这样走下去,王林第一次回到出发点时所走的路程为( )
A.100米 B.80米
C.60米 D.40米
13.(2024·邵阳大祥区期中)已知一个多边形的边数为n,若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多30°,求这个多边形对角线的总条数.
14.如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数.
15.(2024·邵阳邵东市期中)几何图形千变万化,但是不同的图形之间往往存在联系,下面让我们一起来探索:
(1)下列有A,B两题,请你选择其中一个进行证明(若两题都证明,按题A给分).
A.如图①,∠1和∠2是△ABC的两个外角,求证:∠1+∠2=180°+∠A;
B.如图②,D,E是△ABC边AB,AC上的点,将△ADE沿DE翻折至△FDE,若点F在△ABC内部,求证:∠1+∠2=2∠A.
我选择 作答.
(2)如图③,BE,CE分别平分四边形ABCD的外角∠CBM,∠BCN.已知∠A=100°,∠D=120°,求∠E的度数;
(3)如图④,已知五边形ABCDE,延长AE至F,延长BC至G,连接CE,点P,Q分别在边DE,CD上,将△DPQ沿PQ翻折至△D'PQ,若∠DEF=∠CEF,∠DCG=∠ECG,∠A=m°,∠B=n°.请你直接写出∠1+∠2的度数(用含m,n的代数式表示).
