2.2 平行四边形
2.2.1 平行四边形的性质
第1课时
知识点1 平行四边形的定义
1.(教材再开发·P49习题2.2T1改编)如图,平行四边形ABCD中,EF∥AB,则图中平行四边形共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图,剪两张对边平行的纸条,随意交叉叠放在一起,转动其中的一张,重合部分构成一个四边形,则判定这个四边形是平行四边形的理由是 .
知识点2 平行四边形的对边相等,对角相等
3.在平行四边形ABCD中,∠A+∠C=100°,则∠D等于( )
A.50° B.80° C.100° D.130°
4.(2024·湘潭岳塘区期中)在 ABCD中,AB=2 cm,BC=3 cm,则 ABCD的周长为( )
A.10 cm B.8 cm C.6 cm D.5 cm
5.如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.若∠BAD=130°,则∠EAF=
.
6.(2023·福建中考)如图,在 ABCD中,O为BD的中点,EF过点O且分别交AB,CD于点E,F.若AE=10,则CF的长为 .
7.(2024·长沙模拟)如图,在平行四边形ABCD中,∠B=∠AFE,EA是∠BEF的平分线.求证:
(1)△ABE≌△AFE;
(2)∠AFD=∠ECD.
8.如图,在 ABCD中,∠A=125°,则∠1=( )
A.65° B.55° C.50° D.45°
9.(2023·岳阳期中)如图,某广场上有一个形状是平行四边形的花坛,分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花.如果有AB∥EF∥DC,BC∥GH∥AD,那么下列说法错误的是( )
A.红花、绿花种植面积一定相等
B.紫花、橙花种植面积一定相等
C.红花、蓝花种植面积一定相等
D.蓝花、黄花种植面积一定相等
10.如图,在 ABCD中,CE平分∠BCD,交AB于点E,EA=3,EB=5,ED=4.则CE的长是( )
A.5 B.6 C.4 D.5
11.一个梯形的上底长是a,下底长是3a,如图,把它分成一个三角形和一个平行四边形,那么三角形的面积和平行四边形的面积相比( )
A.三角形的面积大
B.平行四边形的面积大
C.面积一样大
D.无法确定谁大
12.如图,在 ABCD中,E为BC边上一点,且AB=AE,∠B=65°,∠EAC=25°,则∠AED的度数为( )
A.25° B.40° C.65° D.75°
13.如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,E,F分别是垂足,已知AB=4,BC=6,∠EAF=60°,则平行四边形ABCD的面积是 .
14.(2023·长沙中考)如图,在 ABCD中,DF平分∠ADC,交BC于点E,交AB的延长线于点F.
(1)求证:AD=AF;
(2)若AD=6,AB=3,∠A=120°,求BF的长和△ADF的面积.
15.如图,AB=AC,D是BC上任意一点,作DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于F,四边形AEDF为平行四边形.
(1)当点D在BC上运动时,∠EDF的大小是否发生变化 为什么
(2)当AB=10 cm时,求 AEDF的周长;
(3)通过计算(2),你能否得出类似于(1)的结论 写出你的猜想.2.2.1 平行四边形的性质
第2课时
知识点1 平行四边形的对角线互相平分
1.(2023·益阳中考)如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,下列结论一定成立的是(C)
A.OA=OB
B.OA⊥OB
C.OA=OC
D.∠OBA=∠OBC
2.已知 ABCD的一边长为5,则对角线AC,BD的长可取下列数据中的(D)
A.2和4 B.3和4 C.4和5 D.5和6
3.平行四边形ABCD的周长为20 cm,对角线AC,BD相交于点O,若△BOC的周长比△AOB的周长大2 cm,则CD= 4 cm.
4.(2024·永州祁阳市质检)如图所示,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点O任作一条直线分别交AB,CD于点E,F.
(1)求证:OE=OF;
(2)若AB=7,BC=5,OE=2,求四边形BCFE的周长.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AB∥CD,∴∠OAE=∠OCF,
在△OAE和△OCF中,
∴△OAE≌△OCF(ASA),∴OE=OF;
(2)∵△OAE≌△OCF,
∴AE=CF,OE=OF,
∵AB=7,BC=5,OE=2,∴EF=2OE=4,BE+CF=BE+AE=AB=7,
∴四边形BCFE的周长为EF+BE+BC+CF=4+7+5=16.
知识点2 平行四边形性质的综合应用
5.如图,点A在平行四边形的对角线上,试判断S1,S2之间的大小关系(A)
A.S1=S2 B.S1>S2
C.S16.(2023·邵阳新邵县模拟)如图, ABCD的周长为30 cm,△ABC的周长为27 cm,则对角线AC的长为(C)
A.27 cm B.17 cm
C.12 cm D.10 cm
7.(2024·郴州汝城县质检)如图,在 ABCD中,BE垂直平分CD于点E,∠BAD=45°,AD=12,则 ABCD的对角线AC的长为(B)
A.8 B.12 C.20 D.20
8.如图,E,F分别是 ABCD的边AB,CD上的点,AF与DE相交于点P,BF与CE相交于点Q.若S△APD=15,S△BQC=25,则阴影部分的面积为(A)
A.40 B.45 C.50 D.55
9.(2023·长沙天心区质检)如图,△ABC中,∠BAC=45°,AB=AC=8,P为AB边上的一动点,以PA,PC为边作平行四边形PAQC,则线段AQ长度的最小值为(D)
A.6 B.8 C.2 D.4
10.(2023·邵阳洞口县期末)如图,在等腰△ABC中,∠C=30°,顶点B在平行四边形ODEF的边DE上,已知∠2=110°,则∠1= 40° .
11.如图,m∥n,点C,D,E在直线m上,四边形ABED为平行四边形,若△ABC的面积为5,则平行四边形ABED的面积是 10 .
12.平行四边形的一个内角平分线将对边分成3和5两个部分,则该平行四边形的周长是 22或26 .
13.(2023·长沙岳麓区质检)如图,在 ABCD中,∠BAD,∠ADC的平分线AF,DE分别与线段BC交于点F,E,AF与DE交于点G.
(1)求证:AF⊥DE;
(2)求证:BF=CE.
【证明】(1)在平行四边形ABCD中,AB∥DC,∴∠BAD+∠ADC=180°.
∵AF,DE分别是∠BAD,∠ADC的平分线,∴∠DAF=∠BAF=∠BAD,∠ADE=∠CDE=∠ADC.
∴∠DAF+∠ADE=∠BAD+∠ADC=90°,∴∠AGD=90°,∴AF⊥DE.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB=CD,∴∠DAF=∠AFB,
又∵∠DAF=∠BAF,∴∠BAF=∠AFB,∴AB=BF,同理可得CD=CE,∴BF=CE.
14.平行四边形ABCD的对角线交于点O,分别过点A,C作直线l的垂线,垂足分别为E,F,连接OE,OF.
(1)如图1,若直线l恰好经过点O,试判断线段OE与OF的数量关系并证明;
(2)若直线l不经过点O,请结合图2情形判断(1)中的结论是否仍然成立 若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
【解析】(1)OE=OF,证明如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,
∵AE⊥EF,CF⊥EF,∴∠AEF=∠CFE,
在△AEO和△CFO中,
∴△AEO≌△CFO(AAS),∴OE=OF;
(2)仍然成立,证明如下:
如图,延长FO与AE相交于点G,
∵AE⊥EF,CF⊥EF,
∴∠AEF=∠CFE=90°,∴AE∥CF,
∴∠GAO=∠FCO,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,
在△AGO和△CFO中,
∴△AGO≌△CFO(ASA),
∴OG=OF,∴点O为GF的中点,
又∵∠AEF=90°,∴OE=OF=GF.2.2 平行四边形
2.2.1 平行四边形的性质
第1课时
知识点1 平行四边形的定义
1.(教材再开发·P49习题2.2T1改编)如图,平行四边形ABCD中,EF∥AB,则图中平行四边形共有(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图,剪两张对边平行的纸条,随意交叉叠放在一起,转动其中的一张,重合部分构成一个四边形,则判定这个四边形是平行四边形的理由是 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 .
知识点2 平行四边形的对边相等,对角相等
3.在平行四边形ABCD中,∠A+∠C=100°,则∠D等于(D)
A.50° B.80° C.100° D.130°
4.(2024·湘潭岳塘区期中)在 ABCD中,AB=2 cm,BC=3 cm,则 ABCD的周长为(A)
A.10 cm B.8 cm C.6 cm D.5 cm
5.如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.若∠BAD=130°,则∠EAF=
50° .
6.(2023·福建中考)如图,在 ABCD中,O为BD的中点,EF过点O且分别交AB,CD于点E,F.若AE=10,则CF的长为 10 .
7.(2024·长沙模拟)如图,在平行四边形ABCD中,∠B=∠AFE,EA是∠BEF的平分线.求证:
(1)△ABE≌△AFE;
(2)∠AFD=∠ECD.
【证明】(1)∵EA是∠BEF的平分线,
∴∠BEA=∠AEF,
在△ABE和△AFE中,
,
∴△ABE≌△AFE(AAS);
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B+∠ECD=180°,
∵∠B=∠AFE,∠AFE+∠AFD=180°,
∴∠AFD=∠ECD.
8.如图,在 ABCD中,∠A=125°,则∠1=(B)
A.65° B.55° C.50° D.45°
9.(2023·岳阳期中)如图,某广场上有一个形状是平行四边形的花坛,分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花.如果有AB∥EF∥DC,BC∥GH∥AD,那么下列说法错误的是(C)
A.红花、绿花种植面积一定相等
B.紫花、橙花种植面积一定相等
C.红花、蓝花种植面积一定相等
D.蓝花、黄花种植面积一定相等
10.如图,在 ABCD中,CE平分∠BCD,交AB于点E,EA=3,EB=5,ED=4.则CE的长是(C)
A.5 B.6 C.4 D.5
11.一个梯形的上底长是a,下底长是3a,如图,把它分成一个三角形和一个平行四边形,那么三角形的面积和平行四边形的面积相比(C)
A.三角形的面积大
B.平行四边形的面积大
C.面积一样大
D.无法确定谁大
12.如图,在 ABCD中,E为BC边上一点,且AB=AE,∠B=65°,∠EAC=25°,则∠AED的度数为(D)
A.25° B.40° C.65° D.75°
13.如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,E,F分别是垂足,已知AB=4,BC=6,∠EAF=60°,则平行四边形ABCD的面积是 12 .
14.(2023·长沙中考)如图,在 ABCD中,DF平分∠ADC,交BC于点E,交AB的延长线于点F.
(1)求证:AD=AF;
(2)若AD=6,AB=3,∠A=120°,求BF的长和△ADF的面积.
【解析】(1)在 ABCD中,
∵AB∥CD,∴∠CDE=∠F,
∵DF平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE,
∴∠F=∠ADF,∴AD=AF;
(2)∵AD=AF=6,AB=3,∴BF=AF-AB=3;
过D作DH⊥AF交FA的延长线于H,
∵∠BAD=120°,
∴∠DAH=60°,
∴∠ADH=30°,
∴AH=AD=3,
∴DH==3,
∴△ADF的面积=AF·DH=×6×3=9.
15.如图,AB=AC,D是BC上任意一点,作DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于F,四边形AEDF为平行四边形.
(1)当点D在BC上运动时,∠EDF的大小是否发生变化 为什么
(2)当AB=10 cm时,求 AEDF的周长;
(3)通过计算(2),你能否得出类似于(1)的结论 写出你的猜想.
【解析】(1)不变,因为四边形AEDF为平行四边形,平行四边形的对角相等,∴∠EDF始终与∠A相等;
(2)在 AEDF中,DF=AE,AF=DE,ED∥AC,
∴∠EDB=∠C,
∵在△ABC中,AB=AC,∴∠B=∠C,
∴∠B=∠EDB,∴BE=ED=AF,
∴C AEDF=2(AE+DE)=2(AE+BE)=2AB=20 cm,
即 AEDF的周长等于等腰三角形两腰长之和,周长为20 cm;
(3) AEDF的周长保持不变,周长等于等腰三角形两腰长之和.2.2.1 平行四边形的性质
第2课时
知识点1 平行四边形的对角线互相平分
1.(2023·益阳中考)如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,下列结论一定成立的是( )
A.OA=OB
B.OA⊥OB
C.OA=OC
D.∠OBA=∠OBC
2.已知 ABCD的一边长为5,则对角线AC,BD的长可取下列数据中的( )
A.2和4 B.3和4 C.4和5 D.5和6
3.平行四边形ABCD的周长为20 cm,对角线AC,BD相交于点O,若△BOC的周长比△AOB的周长大2 cm,则CD= cm.
4.(2024·永州祁阳市质检)如图所示,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点O任作一条直线分别交AB,CD于点E,F.
(1)求证:OE=OF;
(2)若AB=7,BC=5,OE=2,求四边形BCFE的周长.
知识点2 平行四边形性质的综合应用
5.如图,点A在平行四边形的对角线上,试判断S1,S2之间的大小关系( )
A.S1=S2 B.S1>S2
C.S16.(2023·邵阳新邵县模拟)如图, ABCD的周长为30 cm,△ABC的周长为27 cm,则对角线AC的长为( )
A.27 cm B.17 cm
C.12 cm D.10 cm
7.(2024·郴州汝城县质检)如图,在 ABCD中,BE垂直平分CD于点E,∠BAD=45°,AD=12,则 ABCD的对角线AC的长为( )
A.8 B.12 C.20 D.20
8.如图,E,F分别是 ABCD的边AB,CD上的点,AF与DE相交于点P,BF与CE相交于点Q.若S△APD=15,S△BQC=25,则阴影部分的面积为( )
A.40 B.45 C.50 D.55
9.(2023·长沙天心区质检)如图,△ABC中,∠BAC=45°,AB=AC=8,P为AB边上的一动点,以PA,PC为边作平行四边形PAQC,则线段AQ长度的最小值为( )
A.6 B.8 C.2 D.4
10.(2023·邵阳洞口县期末)如图,在等腰△ABC中,∠C=30°,顶点B在平行四边形ODEF的边DE上,已知∠2=110°,则∠1= .
11.如图,m∥n,点C,D,E在直线m上,四边形ABED为平行四边形,若△ABC的面积为5,则平行四边形ABED的面积是 .
12.平行四边形的一个内角平分线将对边分成3和5两个部分,则该平行四边形的周长是 .
13.(2023·长沙岳麓区质检)如图,在 ABCD中,∠BAD,∠ADC的平分线AF,DE分别与线段BC交于点F,E,AF与DE交于点G.
(1)求证:AF⊥DE;
(2)求证:BF=CE.
14.平行四边形ABCD的对角线交于点O,分别过点A,C作直线l的垂线,垂足分别为E,F,连接OE,OF.
(1)如图1,若直线l恰好经过点O,试判断线段OE与OF的数量关系并证明;
(2)若直线l不经过点O,请结合图2情形判断(1)中的结论是否仍然成立 若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
