2.2.2 平行四边形的判定
第2课时
知识点1 对角线互相平分的四边形是平行四边形
1.(2024·邵阳绥宁县期中)下列条件中,能判定四边形是平行四边形的是( )
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.对角线互相垂直且相等
2.(2023·河北中考)综合实践课上,嘉嘉画出△ABD,利用尺规作图找一点C,使得四边形ABCD为平行四边形.(1)~(3)是其作图过程.
(1)作BD的垂直平分线交BD于点O;
(2)连接AO,在AO的延长线上截取OC=AO;
(3)连接DC,BC,则四边形ABCD即为所求.
在嘉嘉的作法中,可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( )
A.两组对边分别平行
B.两组对边分别相等
C.对角线互相平分
D.一组对边平行且相等
3.如图,AC,BD相交于点O,AB∥CD,AD∥BC,E,F分别是OB,OD的中点,求证:四边形AFCE是平行四边形.
知识点2 平行四边形判定方法的综合运用
4.(2024·邵阳邵东市质检)如图,四边形ABCD中,AD=BC,下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A.AD∥BC B.∠A+∠B=180°
C.∠A=∠C D.AB=CD
5.将两块相同的含有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放在一起,则四边形ABCD为平行四边形,请你写出判断的依据 .
6.如图所示,在 ABCD中,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,求证:
(1)AE=CF;
(2)四边形AECF是平行四边形.(用两种方法证明)
7.依据所标数据,下列一定为平行四边形的是( )
8.(2023·邵阳邵阳县期末)下列图形中,一定可以拼成平行四边形的是( )
A.两个等腰三角形 B.两个全等三角形
C.两个锐角三角形 D.两个直角三角形
9.图1是某小区倾斜式停车位,图2是车位示意图,工人在绘制时保证AD=BC,∠A=60°,∠B=120°.
(1)请判断四边形ABCD的形状,并说明理由;
(2)若AD为6米,AB为2.8米,求停车位ABCD的面积.
10.如图,在 ABCD中,点O是对角线AC的中点.某数学学习小组要在AC上找两点E,F,使四边形BEDF为平行四边形,现总结出甲、乙两种方案如下:
甲方案 乙方案
分别取AO,CO的中点E,F 作BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F
请回答下列问题:
(1)以上方案能否得到四边形BEDF为平行四边形,请说明理由;
(2)若EF=2AE,S△AED=6,求 ABCD的面积.2.2.2 平行四边形的判定
第1课时
知识点1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1.(教材再开发·P46练习T2改编)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,连接DE,EF,BF,则图中平行四边形(平行四边形ABCD除外)共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(2023·邵阳新邵县期中)如图,在四边形ABCD中,已知AB=CD,在不添加辅助线的情况下,请你再添加一个条件 (写出一个即可),则四边形ABCD是平行四边形.
3.把线段AB沿某一方向平移3个单位长度,该线段移动前后和对应端点连线所组成的图形是 .
4.在 ABCD中,点M,N分别在AB,CD上,AM=CN,连接DM,BN.求证:四边形MBND是平行四边形.
知识点2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
5.下面给出的是四边形ABCD中AB,BC,CD,DA的长度之比,其中能满足四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.1∶2∶3∶4 B.2∶2∶3∶3
C.2∶3∶2∶3 D.2∶3∶3∶2
6.已知一个四边形的四边长顺次为a,b,c,d,且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,则此四边形是( )
A.矩形 B.菱形
C.正方形 D.平行四边形
7.如图,点A是直线l外一点,在l上取两点B,C,分别以A,C为圆心,BC,AB长为半径画弧,两弧交于点D,分别连接AB,AD,CD,则四边形ABCD一定是 .理由是 .
8.(2024·邵阳邵东市期中)如图,在四边形ABCD中,AB=x-5,CD=11-x,AD=5,BC=x-3,对角线AC=4,AC⊥AB,求证:四边形ABCD是平行四边形.
9.(2023·长沙浏阳市期中)下列四组条件中,能判定四边形ABCD是平行四边形的有( )
①AB=CD,AD=BC;②AB=CD,AB∥CD;③AB=CD,AD∥BC;④AB∥CD,AD∥BC.
A.②③④ B.①②④
C.①②③ D.①③④
10.下面给出的四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比,其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是( )
A.3∶4∶3∶4 B.3∶3∶4∶4
C.2∶3∶4∶5 D.3∶4∶4∶3
11.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃,他带了两块碎玻璃,其编号应该是( )
A.①② B.①④
C.③④ D.②③
12.(2024·邵阳期中)在△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,若以A,B,C,P四点为顶点组成一个平行四边形,则这个平行四边形的周长为 .
13.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=15 cm,BC=10 cm,P,Q分别从A,C同时出发,P以3 cm/s的速度由A向D运动,Q以2 cm/s的速度由C出发向B运动,运动 s时,四边形ABQP恰好是平行四边形.
14.如图,四边形ABCD中,AB=DC,将对角线AC向两端分别延长至点E,F,使AE=CF.连接BE,DF,若BE=DF.求证:四边形ABCD是平行四边形.
15.如图,等边△ABC的边长为8,动点M从点B出发,沿B→A→C→B的方向以
3 cm/s的速度运动,动点N从点C出发,沿C→A→B→C方向以2 cm/s的速度运动.
(1)若动点M,N同时出发,经过几秒两点第一次相遇
(2)若动点M,N同时出发,且其中一点到达终点时,另一点即停止运动.那么运动到第几秒时,点A,M,N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形 求出时间t并请指出此时点D的具体位置.2.2.2 平行四边形的判定
第2课时
知识点1 对角线互相平分的四边形是平行四边形
1.(2024·邵阳绥宁县期中)下列条件中,能判定四边形是平行四边形的是(A)
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.对角线互相垂直且相等
2.(2023·河北中考)综合实践课上,嘉嘉画出△ABD,利用尺规作图找一点C,使得四边形ABCD为平行四边形.(1)~(3)是其作图过程.
(1)作BD的垂直平分线交BD于点O;
(2)连接AO,在AO的延长线上截取OC=AO;
(3)连接DC,BC,则四边形ABCD即为所求.
在嘉嘉的作法中,可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是(C)
A.两组对边分别平行
B.两组对边分别相等
C.对角线互相平分
D.一组对边平行且相等
3.如图,AC,BD相交于点O,AB∥CD,AD∥BC,E,F分别是OB,OD的中点,求证:四边形AFCE是平行四边形.
【证明】∵AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵E,F分别是OB,OD的中点,
∴OE=OB,OF=OD,
∴OE=OF,∴四边形AFCE是平行四边形.
知识点2 平行四边形判定方法的综合运用
4.(2024·邵阳邵东市质检)如图,四边形ABCD中,AD=BC,下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(C)
A.AD∥BC B.∠A+∠B=180°
C.∠A=∠C D.AB=CD
5.将两块相同的含有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放在一起,则四边形ABCD为平行四边形,请你写出判断的依据 两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对角相等的四边形是平行四边形(写出一种即可) .
6.如图所示,在 ABCD中,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,求证:
(1)AE=CF;
(2)四边形AECF是平行四边形.(用两种方法证明)
【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABE=∠CDF.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS),
∴AE=CF.
(2)证法1:∵△ABE≌△CDF,
∴∠AEB=∠CFD,
∴∠AEF=∠CFE,
∴AE∥CF,
∵AE=CF,
∴四边形AECF是平行四边形.
证法2:如图,连接AC,与BD相交于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
又∵BE=DF,∴OB-BE=OD-DF,
∴OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
7.依据所标数据,下列一定为平行四边形的是(D)
8.(2023·邵阳邵阳县期末)下列图形中,一定可以拼成平行四边形的是(B)
A.两个等腰三角形 B.两个全等三角形
C.两个锐角三角形 D.两个直角三角形
9.图1是某小区倾斜式停车位,图2是车位示意图,工人在绘制时保证AD=BC,∠A=60°,∠B=120°.
(1)请判断四边形ABCD的形状,并说明理由;
(2)若AD为6米,AB为2.8米,求停车位ABCD的面积.
【解析】(1)四边形ABCD是平行四边形,理由如下:
∵∠A=60°,∠B=120°,
∴∠A+∠B=180°,
∴AD∥BC,又∵AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形;
(2)如图,过点C作CE⊥AB的延长线于点E,
由(1)可知,四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD=6米,
∵∠ABC=120°,
∴∠CBE=180°-120°=60°,
∴BE=BC=×6=3(米),
在Rt△BCE中,由勾股定理得:CE===3(米),
∴S ABCD=AB·CE=2.8×3=(平方米).
答:停车位ABCD的面积为平方米.
10.如图,在 ABCD中,点O是对角线AC的中点.某数学学习小组要在AC上找两点E,F,使四边形BEDF为平行四边形,现总结出甲、乙两种方案如下:
甲方案 乙方案
分别取AO,CO的中点E,F 作BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F
请回答下列问题:
(1)以上方案能否得到四边形BEDF为平行四边形,请说明理由;
(2)若EF=2AE,S△AED=6,求 ABCD的面积.
【解析】(1)甲方案可以,证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠BAE=∠DCF,
∵O是对角线AC的中点,
∴AO=CO,
∵E,F分别是AO,CO的中点,
∴AE=AO,CF=CO,
∴AE=CF,
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS),
∴BE=DF,∠AEB=∠CFD,
∵∠BEF=180°-∠AEB,
∠DFE=180°-∠CFD,
∴∠BEF=∠DFE,
∴BE∥DF,
∴四边形BEDF是平行四边形.
乙方案可以,证明:∵BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,
∴BE∥DF,∠AEB=∠CFD=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠BAE=∠DCF,
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(AAS),
∴BE=DF,
∴四边形BEDF是平行四边形.
(2)由(1)得△ABE≌△CDF,
∴AE=CF,∴AO-AE=CO-CF,
∴OE=OF,∴EF=2OE,
∵EF=2AE,∴OE=AE,
∴OE=AE=CF=OF,
∴S△ABC=S△ADC=4S△AED=4×6=24,
∴S ABCD=2×24=48.2.2.2 平行四边形的判定
第1课时
知识点1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1.(教材再开发·P46练习T2改编)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,连接DE,EF,BF,则图中平行四边形(平行四边形ABCD除外)共有(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(2023·邵阳新邵县期中)如图,在四边形ABCD中,已知AB=CD,在不添加辅助线的情况下,请你再添加一个条件 AB∥CD(答案不唯一) (写出一个即可),则四边形ABCD是平行四边形.
3.把线段AB沿某一方向平移3个单位长度,该线段移动前后和对应端点连线所组成的图形是 平行四边形 .
4.在 ABCD中,点M,N分别在AB,CD上,AM=CN,连接DM,BN.求证:四边形MBND是平行四边形.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∵AM=CN,∴AB-AM=CD-CN,即BM=DN,又∵BM∥DN,
∴四边形MBND是平行四边形.
知识点2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
5.下面给出的是四边形ABCD中AB,BC,CD,DA的长度之比,其中能满足四边形ABCD是平行四边形的是(C)
A.1∶2∶3∶4 B.2∶2∶3∶3
C.2∶3∶2∶3 D.2∶3∶3∶2
6.已知一个四边形的四边长顺次为a,b,c,d,且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,则此四边形是(D)
A.矩形 B.菱形
C.正方形 D.平行四边形
7.如图,点A是直线l外一点,在l上取两点B,C,分别以A,C为圆心,BC,AB长为半径画弧,两弧交于点D,分别连接AB,AD,CD,则四边形ABCD一定是 平行四边形 .理由是 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 .
8.(2024·邵阳邵东市期中)如图,在四边形ABCD中,AB=x-5,CD=11-x,AD=5,BC=x-3,对角线AC=4,AC⊥AB,求证:四边形ABCD是平行四边形.
【证明】∵AC⊥AB,∴∠BAC=90°,
∴AB2+AC2=BC2,
∴(x-5)2+42=(x-3)2,解得x=8,
∴AB=3,CD=3,BC=5,∵AD=5,
∴DC=AB,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
9.(2023·长沙浏阳市期中)下列四组条件中,能判定四边形ABCD是平行四边形的有(B)
①AB=CD,AD=BC;②AB=CD,AB∥CD;③AB=CD,AD∥BC;④AB∥CD,AD∥BC.
A.②③④ B.①②④
C.①②③ D.①③④
10.下面给出的四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比,其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是(A)
A.3∶4∶3∶4 B.3∶3∶4∶4
C.2∶3∶4∶5 D.3∶4∶4∶3
11.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃,他带了两块碎玻璃,其编号应该是(D)
A.①② B.①④
C.③④ D.②③
12.(2024·邵阳期中)在△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,若以A,B,C,P四点为顶点组成一个平行四边形,则这个平行四边形的周长为 14或16或18 .
13.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=15 cm,BC=10 cm,P,Q分别从A,C同时出发,P以3 cm/s的速度由A向D运动,Q以2 cm/s的速度由C出发向B运动,运动 2 s时,四边形ABQP恰好是平行四边形.
14.如图,四边形ABCD中,AB=DC,将对角线AC向两端分别延长至点E,F,使AE=CF.连接BE,DF,若BE=DF.求证:四边形ABCD是平行四边形.
【证明】在△BEA和△DFC中,
∴△BEA≌△DFC(SSS),
∴∠EAB=∠FCD,
∴∠BAC=∠DCA,
∴AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
15.如图,等边△ABC的边长为8,动点M从点B出发,沿B→A→C→B的方向以
3 cm/s的速度运动,动点N从点C出发,沿C→A→B→C方向以2 cm/s的速度运动.
(1)若动点M,N同时出发,经过几秒两点第一次相遇
(2)若动点M,N同时出发,且其中一点到达终点时,另一点即停止运动.那么运动到第几秒时,点A,M,N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形 求出时间t并请指出此时点D的具体位置.
【解析】(1)设经过t s两点第一次相遇.
由题意得3t+2t=2×8,解得t=;
(2)①当0≤t≤时,点M,N,D的位置如图1所示:
∵四边形ANDM为平行四边形,
∴DM=AN,DM∥AN,DN∥AB,
∴∠MDB=∠C=60°,∠NDC=∠B=60°,
∴∠NDC=∠C,∴ND=NC,∴DM+DN=AN+NC=AC=8,
即3t+2t=8,t=,
此时点D在BC上,且BD=(或CD=);
②当③4∵四边形ANDM为平行四边形,
∴DN=AM,AM∥DN.
∴∠NDB=∠ACB=60°,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠B=60°,∴∠NDB=∠B,∴ND=NB.
∴NB+MC=AM+CM=8,3t-8+2t-8=8,解得t=,
此时点D在BC上,且BD=(或CD=);
④当则BN=16-2t,BM=24-3t,
由题意可知:△BNM为等边三角形,
∴BN=BM,即:16-2t=24-3t,解得t=8,此时M,N重合,不能构成平行四边形.
答:运动了 s或 s时,A,M,N,D四点能构成平行四边形,此时点D在BC上,且BD=或.
