2.4 三角形的中位线
知识点1 三角形的中位线定理
1.(2024·长沙宁乡市期中)如图,在△ABC中,D和E分别为所在边的中点,若DE=3,则AC的长为(A)
A.6 B.5 C.4 D.3
2.(2024·长沙浏阳市期中)如图,为测量池塘边A,B两点的距离,小宇同学在池塘的一侧选取一点O,测得OA,OB的中点分别是点D,E,且DE=18米,则A,B两点的距离是(C)
A.9米 B.18米 C.36米 D.54米
3.如图,已知点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,△ABC的周长为12,则△DEF的周长是(A)
A.6 B.7 C.8 D.10
4.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,点D,E分别是直角边AC,BC的中点,连接DE,则∠CED的度数是(B)
A.70° B.60° C.30° D.20°
5.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是BC的中点,CE=3, ABCD的周长为20,则OE的长为(A)
A.2 B.3 C.4 D.5
知识点2 中点四边形
6.如图,四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点O,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD和AD的中点,顺次连接EF,FG,GH和HE得到四边形EFGH.则∠FEH的度数为
90° .
7.已知:如图,四边形ABCD四条边上的中点分别为E,F,G,H,且AC=BD,顺次连接EF,FG,GH,HE,得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形).求证:EH=HG.
【证明】∵E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,∴HG为△ADC的中位线,所以HG∥AC且HG=AC;同理可得EH=BD,∵AC=BD,∴EH=HG.
8.(2024·衡阳衡山县期中)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,在边AC上截取AD=AB,连接BD,过点A作AE⊥BD于点E.已知AB=3,BC=4,如果F是边BC的中点,连接EF,那么EF的长是(A)
A.1 B.2 C.3 D.5
9.(2024·长沙岳麓区模拟)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,∠DAB=50°,
∠CBA=70°,P,M,N分别是AB,AC,BD的中点,若BC=8.则△PMN的周长是(B)
A.10 B.12 C.16 D.18
10.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F分别是AC,BD的中点,已知AB=12,CD=6,则EF= 3 .
11.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点N是BC边上一点,点M为AB边上的动点,点D,E分别为CN,MN的中点,则DE的最小值是 .
12.(2023·长沙天心区期中)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=2 cm,
E,F分别是AB,AC的中点,动点P从点E出发,沿EF方向匀速运动,速度为1 cm/s,同时动点Q从点B出发,沿BF方向匀速运动,速度为2 cm/s,连接PQ,设运动时间为t s(013.(2024·常德期中)如图,在四边形ABCD中,点P是对角线BD的中点,点E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,∠PEF=30°,求∠FPE的度数.
【解析】∵在四边形ABCD中,点P是BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,
∴FP,PE分别是△CDB与△DAB的中位线,∴PF=BC,PE=AD,
∵AD=BC,∴PF=PE,∴△EPF是等腰三角形.
∵∠PEF=30°,∴∠PEF=∠PFE=30°,
∴∠FPE=180°-∠PEF-∠PFE
=180°-30°-30°=120°.
14.(2024·邵阳邵东市期中)如图1,BD,CE是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别为F,G,连接FG,延长AF,AG,与直线BC相交于M,N.
(1)试说明:FG=(AB+BC+AC);
(2)如图2,若BD,CE是△ABC的内角平分线,则线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系 请写出你的猜想并说明理由;
(3)如图3,若BD为△ABC的内角平分线,CE为△ABC的外角平分线,则线段FG与△ABC三边的数量关系是 .
【解析】(1)∵BD⊥AF,
∴∠AFB=∠MFB=90°,
在△ABF和△MBF中
∴△ABF≌△MBF(ASA),∴MB=AB,
∴AF=MF,
同理:CN=AC,AG=NG,
∴FG是△AMN的中位线,
∴FG=MN
=(MB+BC+CN)
=(AB+BC+AC).
(2)FG=(AB+AC-BC).
理由:如图,延长AF,AG,与直线BC相交于M,N,
∵AF⊥BD,∴∠AFB=∠MFB,在△ABF和△MBF中
∵
∴△ABF≌△MBF(ASA),
∴MB=AB,AF=MF,
同理:CN=AC,AG=NG,
∴FG=MN
=(BM+CN-BC)
=(AB+AC-BC),
故线段FG与△ABC三边的数量关系是FG=(AB+AC-BC).
(3)如图,延长AF,AG,与直线BC相交于M,N,
∵AF⊥BD,∴∠AFB=∠MFB,
在△ABF和△MBF中,
∴△ABF≌△MBF(ASA),
∴MB=AB,AF=MF,
同理:CN=AC,AG=NG,
∴FG=MN
=(CN+BC-BM)
=(AC+BC-AB).
答案:FG=(AC+BC-AB)2.4 三角形的中位线
知识点1 三角形的中位线定理
1.(2024·长沙宁乡市期中)如图,在△ABC中,D和E分别为所在边的中点,若DE=3,则AC的长为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
2.(2024·长沙浏阳市期中)如图,为测量池塘边A,B两点的距离,小宇同学在池塘的一侧选取一点O,测得OA,OB的中点分别是点D,E,且DE=18米,则A,B两点的距离是( )
A.9米 B.18米 C.36米 D.54米
3.如图,已知点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,△ABC的周长为12,则△DEF的周长是( )
A.6 B.7 C.8 D.10
4.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,点D,E分别是直角边AC,BC的中点,连接DE,则∠CED的度数是( )
A.70° B.60° C.30° D.20°
5.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是BC的中点,CE=3, ABCD的周长为20,则OE的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
知识点2 中点四边形
6.如图,四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点O,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD和AD的中点,顺次连接EF,FG,GH和HE得到四边形EFGH.则∠FEH的度数为
.
7.已知:如图,四边形ABCD四条边上的中点分别为E,F,G,H,且AC=BD,顺次连接EF,FG,GH,HE,得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形).求证:EH=HG.
8.(2024·衡阳衡山县期中)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,在边AC上截取AD=AB,连接BD,过点A作AE⊥BD于点E.已知AB=3,BC=4,如果F是边BC的中点,连接EF,那么EF的长是( )
A.1 B.2 C.3 D.5
9.(2024·长沙岳麓区模拟)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,∠DAB=50°,
∠CBA=70°,P,M,N分别是AB,AC,BD的中点,若BC=8.则△PMN的周长是( )
A.10 B.12 C.16 D.18
10.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F分别是AC,BD的中点,已知AB=12,CD=6,则EF= .
11.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点N是BC边上一点,点M为AB边上的动点,点D,E分别为CN,MN的中点,则DE的最小值是 .
12.(2023·长沙天心区期中)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=2 cm,
E,F分别是AB,AC的中点,动点P从点E出发,沿EF方向匀速运动,速度为1 cm/s,同时动点Q从点B出发,沿BF方向匀速运动,速度为2 cm/s,连接PQ,设运动时间为t s(013.(2024·常德期中)如图,在四边形ABCD中,点P是对角线BD的中点,点E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,∠PEF=30°,求∠FPE的度数.
14.(2024·邵阳邵东市期中)如图1,BD,CE是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别为F,G,连接FG,延长AF,AG,与直线BC相交于M,N.
(1)试说明:FG=(AB+BC+AC);
(2)如图2,若BD,CE是△ABC的内角平分线,则线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系 请写出你的猜想并说明理由;
(3)如图3,若BD为△ABC的内角平分线,CE为△ABC的外角平分线,则线段FG与△ABC三边的数量关系是 .
