2.5 矩形
2.5.1 矩形的性质
【A层 基础夯实】
知识点 矩形的性质
1.如图所示,工人师傅做一个矩形铝合金窗框按下面步骤进行.
先摆放成如图①所示的平行四边形形状,再将直尺紧靠窗框的一个角(如图②),调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图③),说明窗框合格,这时窗框是矩形,它的依据是 .
2.(2024·娄底双峰县期末)如图,为了体验四边形的不稳定性,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,B与C两点之间用一根橡皮筋拉直固定,然后向右扭动框架,给出如下的判断:
①四边形ABCD为平行四边形;
②BD的长度增大;
③四边形ABCD的面积不变;
④四边形ABCD的周长不变.
其中正确的序号是 .
3.(2024·邵阳邵东市期中)矩形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A.对边相等 B.对角相等
C.对角线相等 D.对角线互相平分
4.如图,矩形ABCD中,∠AOB=60°,AB=2,则AC的长为( )
A.2 B.4 C.2 D.4
5.如果矩形的一边与对角线的夹角为50°,则两条对角线相交所成的锐角的度数为( )
A.60° B.70° C.80° D.90°
6.(2024·湘西州凤凰县质检)已知一矩形的两边长分别为7 cm和12 cm,其中一个内角的平分线分长边为两部分,这两部分的长分别为( )
A.6 cm和6 cm B.7 cm和5 cm
C.4 cm和8 cm D.3 cm和9 cm
7.(2024·邵阳双清区模拟)如图,矩形ABCD中,E,F是BC上的点,∠DAE=∠ADF.
求证:BF=CE.
【B层 能力进阶】
8.如图,在矩形ABCD中,点E为BA延长线上一点,F为CE的中点,以B为圆心,BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G,连接BG.若AB=4,CE=10,则AG=( )
A.2 B.2.5 C.3 D.3.5
9.(2024·邵阳邵东市模拟)小明同学在喝水时发现了这样一个有趣的现象:当水杯保持某一静止状态时,水面始终与桌面保持平行.如图所示,矩形ABCD为静止状态的某水杯的截面图,杯中水面与CD的交点为E,当水杯侧面AB与桌面的夹角为54°时,则∠CBE的度数为( )
A.46° B.36° C.54° D.56°
10.如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点B,C分别在边OM,ON上,当B在OM上运动时,点C随之在ON上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中CD=5,BC=24,运动过程中,点D到点O的最大距离是( )
A.24 B.25 C.2 D.26
11.如图,矩形ABCD中,AC和BD相交于点O,AD=3,AB=4,点E是CD边上一点.过点E作EH⊥BD于点H,EG⊥AC于点G,则EH+EG的值是 .
12.如图,矩形ABCD中,AC,BD相交于O,AE平分∠BAD交BC于E,若∠CAE=15°,则∠BOE= .
【C层 创新挑战(选做)】
13.(2024·邵阳新宁县期末)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6.延长BC到点E,使CE=3,连接DE.
(1)动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿BC-CD-DA向终点A运动,设点P运动的时间为t秒,求当t为何值时,△ABP和△DCE全等
(2)若动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度仅沿着BE向终点E运动,连接DP.设点P运动的时间为t秒,是否存在t,使△PDE为等腰三角形 若存在,请求出t的值;否则,说明理由.2.5 矩形
2.5.1 矩形的性质
【A层 基础夯实】
知识点 矩形的性质
1.如图所示,工人师傅做一个矩形铝合金窗框按下面步骤进行.
先摆放成如图①所示的平行四边形形状,再将直尺紧靠窗框的一个角(如图②),调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图③),说明窗框合格,这时窗框是矩形,它的依据是 有一个角是直角的平行四边形是矩形 .
2.(2024·娄底双峰县期末)如图,为了体验四边形的不稳定性,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,B与C两点之间用一根橡皮筋拉直固定,然后向右扭动框架,给出如下的判断:
①四边形ABCD为平行四边形;
②BD的长度增大;
③四边形ABCD的面积不变;
④四边形ABCD的周长不变.
其中正确的序号是 ①②④ .
3.(2024·邵阳邵东市期中)矩形具有而平行四边形不具有的性质是(C)
A.对边相等 B.对角相等
C.对角线相等 D.对角线互相平分
4.如图,矩形ABCD中,∠AOB=60°,AB=2,则AC的长为(B)
A.2 B.4 C.2 D.4
5.如果矩形的一边与对角线的夹角为50°,则两条对角线相交所成的锐角的度数为(C)
A.60° B.70° C.80° D.90°
6.(2024·湘西州凤凰县质检)已知一矩形的两边长分别为7 cm和12 cm,其中一个内角的平分线分长边为两部分,这两部分的长分别为(B)
A.6 cm和6 cm B.7 cm和5 cm
C.4 cm和8 cm D.3 cm和9 cm
7.(2024·邵阳双清区模拟)如图,矩形ABCD中,E,F是BC上的点,∠DAE=∠ADF.
求证:BF=CE.
【证明】∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠B=∠C=90°,AB=CD,
∴∠DAE=∠BEA,∠ADF=∠CFD,
又∵∠DAE=∠ADF,∴∠BEA=∠CFD,
在△BEA和△CFD中,
∴△BEA≌△CFD(AAS),
∴BE=CF,∴BF=CE.
【B层 能力进阶】
8.如图,在矩形ABCD中,点E为BA延长线上一点,F为CE的中点,以B为圆心,BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G,连接BG.若AB=4,CE=10,则AG=(C)
A.2 B.2.5 C.3 D.3.5
9.(2024·邵阳邵东市模拟)小明同学在喝水时发现了这样一个有趣的现象:当水杯保持某一静止状态时,水面始终与桌面保持平行.如图所示,矩形ABCD为静止状态的某水杯的截面图,杯中水面与CD的交点为E,当水杯侧面AB与桌面的夹角为54°时,则∠CBE的度数为(B)
A.46° B.36° C.54° D.56°
10.如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点B,C分别在边OM,ON上,当B在OM上运动时,点C随之在ON上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中CD=5,BC=24,运动过程中,点D到点O的最大距离是(B)
A.24 B.25 C.2 D.26
11.如图,矩形ABCD中,AC和BD相交于点O,AD=3,AB=4,点E是CD边上一点.过点E作EH⊥BD于点H,EG⊥AC于点G,则EH+EG的值是 .
12.如图,矩形ABCD中,AC,BD相交于O,AE平分∠BAD交BC于E,若∠CAE=15°,则∠BOE= 75° .
【C层 创新挑战(选做)】
13.(2024·邵阳新宁县期末)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6.延长BC到点E,使CE=3,连接DE.
(1)动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿BC-CD-DA向终点A运动,设点P运动的时间为t秒,求当t为何值时,△ABP和△DCE全等
(2)若动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度仅沿着BE向终点E运动,连接DP.设点P运动的时间为t秒,是否存在t,使△PDE为等腰三角形 若存在,请求出t的值;否则,说明理由.
【解析】(1)若△ABP与△DCE全等,则BP=CE或AP=CE,
当BP=CE=3时,则t=3÷1=3,
当AP=CE=3时,则t=(6+6+4-3)÷1=13,
∴当t为3或13时,△ABP和△DCE全等;
(2)∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=4,AD=BC=6,CD⊥BC,
在Rt△DCE中,CE=3,∴DE==5,
若△PDE为等腰三角形,则PD=DE或PE=DE或PD=PE,
当PD=DE时,∵PD=DE,DC⊥BE,
∴PC=CE=3,∵BP=BC-CP=3,∴t=3÷1=3,
当PE=DE=5时,
∵BP=BE-PE,∴BP=9-5=4,∴t=4÷1=4,
当PD=PE时,PE=PC+CE=3+PC,
∴PD=3+PC,在Rt△PDC中,DP2=CD2+PC2.
∴(3+PC)2=16+PC2,
∴PC=,∵BP=BC-PC,
∴BP=,
∴t=÷1=,
综上所述:当t=3或4或时,△PDE为等腰三角形.
