2.5.2 矩形的判定
知识点1 矩形的判定
1.陈师傅应客户要求加工4个长为4 cm、宽为3 cm的矩形零件.在交付客户之前,陈师傅需要对4个零件进行检测.根据零件的检测结果,图中有可能不合格的零件是( )
2.在数学活动课上,老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形,下面是一个学习小组拟定方案.其中错误的是( )
A.测量对角线是否相等
B.测量对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
C.测量其中三个角是否都为直角
D.测量两组对边是否相等,再测量对角线是否相等
3.(2024·邵阳邵东市模拟)如图,平行四边形ABCD添加一个条件 使得它成为矩形.(任意添加一个符合题意的条件即可)
4.如图,为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直,工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC,BD的长度,若二者长度相等,则该书架的侧边与上、下边都垂直,请你说出其中的数学原理 .
知识点2 矩形的性质与判定的综合运用
5.(2024·长沙期中)如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
A.AB=BE B.BE⊥DC
C.∠ADB=90° D.CE⊥DE
6.(2024·濮阳期中)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,BE=DF,AC=EF.
(1)求证:四边形AECF是矩形;
(2)若AB=AD,且AC=2,EC=2,求四边形ABCD的面积.
7.如图,在 ABCD中,AD=3,CD=2.连接AC,过点B作BE∥AC,交DC的延长线于点E,连接AE,交BC于点F.若∠AFC=2∠D,则四边形ABEC的面积为( )
A. B.2 C.6 D.2
8.(2024·邵东期中)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,P为AB上一动点(不与A,B重合),作PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,连接EF,则EF的最小值是 .
9.如图,在矩形ABCD中,AB=4 cm,AD=12 cm,点P从点A向点D以每秒1 cm的速度运动,Q以每秒4 cm的速度从点C出发,在B,C两点之间做往返运动,两点同时出发,点P到达点D为止(同时点Q也停止),这段时间内,当运动时间为 时,P,Q,C,D四点组成矩形.
10.(2024·岳阳湘阴县期中)如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,延长BC至F点使CF=BE,连接AF,DE,DF.
(1)求证:四边形AEFD是矩形;
(2)若AB=5,DE=12,BF=13,求AE的长.
11.(2024·怀化会同县期中)如图,在△ABC中,O是边AC上一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F,连接AE,AF.
(1)说明OE与OF有什么数量关系;
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形 请说明理由.2.5.2 矩形的判定
知识点1 矩形的判定
1.陈师傅应客户要求加工4个长为4 cm、宽为3 cm的矩形零件.在交付客户之前,陈师傅需要对4个零件进行检测.根据零件的检测结果,图中有可能不合格的零件是(C)
2.在数学活动课上,老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形,下面是一个学习小组拟定方案.其中错误的是(A)
A.测量对角线是否相等
B.测量对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
C.测量其中三个角是否都为直角
D.测量两组对边是否相等,再测量对角线是否相等
3.(2024·邵阳邵东市模拟)如图,平行四边形ABCD添加一个条件 ∠ABC=90°(答案不唯一) 使得它成为矩形.(任意添加一个符合题意的条件即可)
4.如图,为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直,工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC,BD的长度,若二者长度相等,则该书架的侧边与上、下边都垂直,请你说出其中的数学原理 对角线相等的平行四边形是矩形,矩形的四个角都是直角 .
知识点2 矩形的性质与判定的综合运用
5.(2024·长沙期中)如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是(B)
A.AB=BE B.BE⊥DC
C.∠ADB=90° D.CE⊥DE
6.(2024·濮阳期中)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,BE=DF,AC=EF.
(1)求证:四边形AECF是矩形;
(2)若AB=AD,且AC=2,EC=2,求四边形ABCD的面积.
【解析】(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴BC=AD,BC∥AD,
∵BE=DF,∴BC-BE=AD-DF,即CE=AF,∴四边形AECF为平行四边形,
又∵AC=EF,∴平行四边形AECF为矩形;
(2)由(1)可知:四边形AECF为矩形,
∴∠AEC=90°,
在Rt△AEC中,AC=2,EC=2,
由勾股定理得:AE==4,
∵AB=AD,BC=AD,
∴AB=BC=BE+EC=BE+2,
在Rt△ABE中,由勾股定理得:AB2=AE2+BE2,
即(BE+2)2=42+BE2,∴BE=3,
∴BC=BE+CE=5,
∴=BC·AE=×5×4=10.
7.如图,在 ABCD中,AD=3,CD=2.连接AC,过点B作BE∥AC,交DC的延长线于点E,连接AE,交BC于点F.若∠AFC=2∠D,则四边形ABEC的面积为(B)
A. B.2 C.6 D.2
8.(2024·邵东期中)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,P为AB上一动点(不与A,B重合),作PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,连接EF,则EF的最小值是 4.8 .
9.如图,在矩形ABCD中,AB=4 cm,AD=12 cm,点P从点A向点D以每秒1 cm的速度运动,Q以每秒4 cm的速度从点C出发,在B,C两点之间做往返运动,两点同时出发,点P到达点D为止(同时点Q也停止),这段时间内,当运动时间为 2.4 s或
4 s或7.2 s 时,P,Q,C,D四点组成矩形.
10.(2024·岳阳湘阴县期中)如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,延长BC至F点使CF=BE,连接AF,DE,DF.
(1)求证:四边形AEFD是矩形;
(2)若AB=5,DE=12,BF=13,求AE的长.
【解析】(1)∵CF=BE,∴CF+EC=BE+EC,即EF=BC.
∵在 ABCD中,AD∥BC且AD=BC,
∴AD∥EF且AD=EF.
∴四边形AEFD是平行四边形.
∵AE⊥BC,∴∠AEF=90°,
∴四边形AEFD是矩形;
(2)∵四边形AEFD是矩形,DE=12,
∴AF=DE=12.
∵AB=5,AF=12,BF=13,
∴AB2+AF2=52+122=169=BF2,
∴∠BAF=90°,
∵AE⊥BF,
∴S△ABF=AB·AF=BF·AE.
∴AE==.
11.(2024·怀化会同县期中)如图,在△ABC中,O是边AC上一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F,连接AE,AF.
(1)说明OE与OF有什么数量关系;
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形 请说明理由.
【解析】(1)OE=OF,理由:
∵CE平分∠ACB,∴∠ACE=∠ECB,
∵MN∥BC,∴∠ECB=∠OEC,
∴∠ACE=∠OEC,∴OE=OC,
同理可得OC=OF,∴OE=OF;
(2)∵CE,CF分别平分∠ACB和∠ACD,
∴∠ACE=∠ACB,∠ACF=∠ACD,
∴∠ACE+∠ACF=×180°=90°,
∴EF===13,
∴OC=EF=6.5,即OC的长为6.5;
(3)当O在AC的中点时,四边形AECF是矩形,理由如下:
当O为AC的中点时,则OA=OC,
由(1)可知,OC=OE=OF,
∴OA=OC=OE=OF,
∴四边形AECF为平行四边形,AC=EF,
∴平行四边形AECF为矩形.
