2.6 菱形
2.6.1 菱形的性质
知识点1 菱形的性质
1.(2024·岳阳华容县模拟)菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是(D)
A.两组对边分别平行
B.两组对角分别相等
C.对角线互相平分
D.对角线互相垂直
2.(2023·湘潭中考)如图,菱形ABCD中,连接AC,BD,若∠1=20°,则∠2的度数为(C)
A.20° B.60°
C.70° D.80°
3.(2024·岳阳平江县模拟)若菱形的周长为8,高为1,则菱形两邻角的度数比为(C)
A.3∶1 B.4∶1 C.5∶1 D.6∶1
4.已知菱形的边长为6,一个内角为60°,则菱形较长的对角线长是(B)
A.3 B.6 C.3 D.6
5.(2024·邵阳隆回县期末)已知菱形的周长为20,一条对角线长为8,则菱形的面积为 24 .
知识点2 菱形的性质的实际应用
6.如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成,根据实际需要可以调节AE间的距离.若AE间的距离调节到60 cm,菱形的边长AB=20 cm,则∠DAB的度数是(C)
A.90° B.100° C.120° D.150°
7.如图,四边形ABCD是一个菱形绿草地,其周长为40 m,∠ABC=120°,在其内部有一个矩形花坛EFGH,其四个顶点恰好为菱形ABCD各边中点,现准备在花坛中种植茉莉花,其单价为30元/m2,则需投资资金多少元 (取1.732)
【解析】连接AC,BD,AC,BD交于点O,如图:
∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,OA=AC,
OB=BD,AC⊥BD,AB=BC=CD=AD,∵∠ABC=120°,
∴∠BAD=180°-∠ABC=60°,∴△ABD为等边三角形,
∵菱形的周长为40 m,
∴菱形的边长为10 m,∴BD=10 m,
∴OB=BD=5 m,
∵E,H分别是AB,AD边的中点,∴EH是△ABD的中位线,∴EH=BD=5 m,
在Rt△AOB中,∠AOB=90°,
∴OA==5 m,
∴AC=2OA=10 m,∵E,F分别是AB,BC边中点,
∴EF是△ABC的中位线,∴EF=AC=5 m,
∴S矩形=50 m2,则需投资资金50×30≈1 500×1.732=2 598(元).
8.如图,在菱形ABCD中,AE,AF分别垂直平分BC,CD,垂足分别为E,F,则∠EAF的度数是(C)
A.30° B.45° C.60° D.90°
9.如图,菱形ABCD的边长是5,O是两条对角线的交点,过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分,若菱形的一条对角线的长为4,则阴影部分的面积为(A)
A.2 B.4
C.12 D.24
10.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E在线段BO上,连接AE,若CD=2BE,∠DAE=∠DEA,EO=1,则线段AE的长为 2 .
11.如图,菱形ABCD的周长为40,面积为25,P是对角线BD上一点,分别作P点到直线AB,AD的垂线段PE,PF,则PE+PF等于 2.5 .
12.(2024·怀化鹤城区模拟)如图,菱形ABCD中,P是对角线BD上的点,点E在AB上,且PA=PE.
(1)求证:PC=PE;
(2)写出∠CPE与∠ABC之间的数量关系,再说明理由.
【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=AD,AD∥BC,
∴∠ADB=∠ABD=∠DBC,即∠ABP=∠CBP,
在△ABP和△CBP中,
,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴PA=PC,
∵PA=PE,
∴PC=PE;
(2)∠ABC+∠CPE=180°.
理由:∵△ABP≌△CBP,
∴∠BAP=∠BCP,∵PA=PE,
∴∠BAP=∠PEA,
∴∠BCP=∠PEA,
∵∠AEP+∠PEB=180°,
∴∠BCP+∠PEB=180°,
∵∠BCP+∠PEB+∠ABC+∠CPE=360°,
∴∠ABC+∠CPE=180°.
13.(2024·邵阳绥宁县期中)如图,菱形ABCD中,∠B=60°,点E在边BC上,点F在边CD上.
(1)如图1,若E是BC的中点,∠AEF=60°,求证:BE=DF;
(2)如图2,若∠EAF=60°,求证:△AEF是等边三角形;
(3)在(2)的条件下,如果AB=10,那么△AEF的周长是否存在最小值 如果存在,请求出来.
【解析】(1)如图1所示:连接AC.
∵在菱形ABCD中,∠B=60°,
∴AB=BC=CD,∠BCD=180°-∠B=120°.
∴△ABC是等边三角形.
∵E是BC的中点,∴AE⊥BC.
∵∠AEF=60°,
∴∠FEC=90°-∠AEF=30°.
∴∠CFE=180°-∠FEC-∠ECF=180°-30°-120°=30°.
∴∠FEC=∠CFE.∴EC=CF.
∴BE=DF.
(2)如图2所示:连接AC.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠ACB=60°,∠BAC=60°.
∴∠B=∠ACF=60°.
∵∠BAC=∠EAF=60°,∴∠BAE=∠CAF.
在△ABE和△ACF中,
∴△ABE≌△ACF.∴AE=AF.
∵∠EAF=60°,∴△AEF是等边三角形.
(3)由垂线段最短可知:当AE⊥BC时,AE有最小值.
∵AE⊥BC,∠B=60°,∴∠BAE=30°,
∴AB=2BE=10,∴BE=5,
∴AE==5,
∴△AEF周长的最小值为3×5=15.2.6 菱形
2.6.1 菱形的性质
知识点1 菱形的性质
1.(2024·岳阳华容县模拟)菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )
A.两组对边分别平行
B.两组对角分别相等
C.对角线互相平分
D.对角线互相垂直
2.(2023·湘潭中考)如图,菱形ABCD中,连接AC,BD,若∠1=20°,则∠2的度数为( )
A.20° B.60°
C.70° D.80°
3.(2024·岳阳平江县模拟)若菱形的周长为8,高为1,则菱形两邻角的度数比为( )
A.3∶1 B.4∶1 C.5∶1 D.6∶1
4.已知菱形的边长为6,一个内角为60°,则菱形较长的对角线长是( )
A.3 B.6 C.3 D.6
5.(2024·邵阳隆回县期末)已知菱形的周长为20,一条对角线长为8,则菱形的面积为 .
知识点2 菱形的性质的实际应用
6.如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成,根据实际需要可以调节AE间的距离.若AE间的距离调节到60 cm,菱形的边长AB=20 cm,则∠DAB的度数是( )
A.90° B.100° C.120° D.150°
7.如图,四边形ABCD是一个菱形绿草地,其周长为40 m,∠ABC=120°,在其内部有一个矩形花坛EFGH,其四个顶点恰好为菱形ABCD各边中点,现准备在花坛中种植茉莉花,其单价为30元/m2,则需投资资金多少元 (取1.732)
8.如图,在菱形ABCD中,AE,AF分别垂直平分BC,CD,垂足分别为E,F,则∠EAF的度数是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
9.如图,菱形ABCD的边长是5,O是两条对角线的交点,过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分,若菱形的一条对角线的长为4,则阴影部分的面积为( )
A.2 B.4
C.12 D.24
10.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E在线段BO上,连接AE,若CD=2BE,∠DAE=∠DEA,EO=1,则线段AE的长为 .
11.如图,菱形ABCD的周长为40,面积为25,P是对角线BD上一点,分别作P点到直线AB,AD的垂线段PE,PF,则PE+PF等于 .
12.(2024·怀化鹤城区模拟)如图,菱形ABCD中,P是对角线BD上的点,点E在AB上,且PA=PE.
(1)求证:PC=PE;
(2)写出∠CPE与∠ABC之间的数量关系,再说明理由.
13.(2024·邵阳绥宁县期中)如图,菱形ABCD中,∠B=60°,点E在边BC上,点F在边CD上.
(1)如图1,若E是BC的中点,∠AEF=60°,求证:BE=DF;
(2)如图2,若∠EAF=60°,求证:△AEF是等边三角形;
(3)在(2)的条件下,如果AB=10,那么△AEF的周长是否存在最小值 如果存在,请求出来.
