2.6.2 菱形的判定
知识点1 菱形的判定
1.(2024·湘潭岳塘区期中)如图,下列条件中,不能使 ABCD成为菱形的是(D)
A.AB=AD B.AC⊥BD
C.∠ABD=∠CBD D.AC=BD
2.如图,以O为圆心,OA长为半径画弧分别交OM,ON于A,B两点,再分别以A,B为圆心,以OA长为半径画弧,两弧交于点C,分别连接AC,BC,则四边形OACB一定是(B)
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
3.(2023·深圳中考)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF,若四边形ECDF为菱形时,则a的值为(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.小佳同学在整理菱形的判定方法时,将知识整理成如图所示.请帮她在横线上填上一个适当的条件,该条件可以是 四条边相等(答案不唯一) .
5.(2024·怀化模拟)如图,延长平行四边形ABCD的边AD,AB.作CE⊥AB交AB的延长线于点E,作CF⊥AD交AD的延长线于点F,若CE=CF.求证:四边形ABCD是菱形.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AD∥BC,
∴∠CBE=∠A,∠CDF=∠A,
∴∠CBE=∠CDF,
∵CE⊥AB,CF⊥AD,
∴∠CEB=∠CFD,
在△CBE与△CDF中,
∴△CBE≌△CDF,
∴CB=CD,
∴四边形ABCD是菱形.
知识点2 菱形的性质和判定的综合运用
6.如图,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,∠B=80°,连接AC,那么∠ACD的度数为(B)
A.45° B.50° C.55° D.60°
7.(2024·长沙岳麓区质检)已知,如图,两张等宽的纸条交叉叠放在一起,重合部分构成四边形ABCD,若测得A,C之间的距离为8 cm,B,D之间的距离为6 cm,则线段AB的长为(A)
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm
8.如图,在菱形ABCD中,E,F,G,H分别是菱形四边的中点,连接EG与FH交于点O,则图中共有菱形(B)
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
9.如图,O是菱形ABCD的对角线AC,BD的交点,E,F分别是OA,OC的中点.给出下列结论:
①四边形ABCD的面积大小等于EF·DB;
②四边形BFDE也是菱形;
③∠ABE=∠CBF;④∠ADE=∠EDO;
⑤S△ADE=S△BOF.
其中正确的结论有(C)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
10.如图△ABC中,AD是角平分线,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F,若AE=
4 cm,那么四边形AEDF的周长为 16 cm .
11.如图,在四边形ABCD中,点E,F分别是线段AD,BC的中点,G,H分别是线段BD,AC的中点,当四边形ABCD的边满足 AB=CD 时,四边形EGFH是菱形.
12.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,点O为对角线BD的中点,过点O的直线l分别与AD,BC所在的直线相交于点E,F.(点E不与点D重合)
(1)求证:△DOE≌△BOF;
(2)当直线l⊥BD时,连接BE,DF,试判断四边形EBFD的形状,并说明理由.
【解析】(1)∵AD∥BC,
∴∠ODE=∠OBF,
∵点O为对角线BD的中点,
∴OD=OB,
在△DOE和△BOF中,
∴△DOE≌△BOF(ASA).
(2)四边形EBFD是菱形,理由如下:
∵OD=OB,直线l经过点O且直线l⊥BD,
∴直线l是线段BD的垂直平分线,
∴DE=BE,DF=BF,
∵△DOE≌△BOF,∴DE=BF,
∵DE=BE=DF=BF,
∴四边形EBFD是菱形.
13.(2023·长沙岳麓区质检)如图,在 ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于F,以EC,CF为邻边作 ECFG.
(1)证明 ECFG是菱形;
(2)若∠ABC=120°,连接BD,CG,求∠BDG的度数.
【解析】(1)∵AF平分∠BAD,∴∠BAF=∠DAF,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠CFE,
∴∠CEF=∠CFE,∴CE=CF,
又∵四边形ECFG是平行四边形,
∴四边形ECFG为菱形;
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,AB=DC,AD∥BC,
∵∠ABC=120°,
∴∠BCD=60°,∠BCF=120°,
由(1)知,四边形CEGF是菱形,
∴CE=GE,∠BCG=∠BCF=60°,
∴CG=GE=CE,
△CEG是等边三角形,∠DCG=120°,
∴∠BEG=120°=∠DCG,
∵AE是∠BAD的平分线,∴∠DAE=∠BAE,
∵AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB,
∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE,∴BE=CD,
∴△BEG≌△DCG(SAS),
∴BG=DG,∠BGE=∠DGC,
∴∠BGD=∠CGE,
∵△CEG是等边三角形,
∴∠CGE=60°,∴∠BGD=60°,
∵BG=DG,∴△BDG是等边三角形,
∴∠BDG=60°.2.6.2 菱形的判定
知识点1 菱形的判定
1.(2024·湘潭岳塘区期中)如图,下列条件中,不能使 ABCD成为菱形的是( )
A.AB=AD B.AC⊥BD
C.∠ABD=∠CBD D.AC=BD
2.如图,以O为圆心,OA长为半径画弧分别交OM,ON于A,B两点,再分别以A,B为圆心,以OA长为半径画弧,两弧交于点C,分别连接AC,BC,则四边形OACB一定是( )
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
3.(2023·深圳中考)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF,若四边形ECDF为菱形时,则a的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.小佳同学在整理菱形的判定方法时,将知识整理成如图所示.请帮她在横线上填上一个适当的条件,该条件可以是 .
5.(2024·怀化模拟)如图,延长平行四边形ABCD的边AD,AB.作CE⊥AB交AB的延长线于点E,作CF⊥AD交AD的延长线于点F,若CE=CF.求证:四边形ABCD是菱形.
知识点2 菱形的性质和判定的综合运用
6.如图,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,∠B=80°,连接AC,那么∠ACD的度数为( )
A.45° B.50° C.55° D.60°
7.(2024·长沙岳麓区质检)已知,如图,两张等宽的纸条交叉叠放在一起,重合部分构成四边形ABCD,若测得A,C之间的距离为8 cm,B,D之间的距离为6 cm,则线段AB的长为( )
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm
8.如图,在菱形ABCD中,E,F,G,H分别是菱形四边的中点,连接EG与FH交于点O,则图中共有菱形( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
9.如图,O是菱形ABCD的对角线AC,BD的交点,E,F分别是OA,OC的中点.给出下列结论:
①四边形ABCD的面积大小等于EF·DB;
②四边形BFDE也是菱形;
③∠ABE=∠CBF;④∠ADE=∠EDO;
⑤S△ADE=S△BOF.
其中正确的结论有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
10.如图△ABC中,AD是角平分线,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F,若AE=
4 cm,那么四边形AEDF的周长为 .
11.如图,在四边形ABCD中,点E,F分别是线段AD,BC的中点,G,H分别是线段BD,AC的中点,当四边形ABCD的边满足 时,四边形EGFH是菱形.
12.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,点O为对角线BD的中点,过点O的直线l分别与AD,BC所在的直线相交于点E,F.(点E不与点D重合)
(1)求证:△DOE≌△BOF;
(2)当直线l⊥BD时,连接BE,DF,试判断四边形EBFD的形状,并说明理由.
13.(2023·长沙岳麓区质检)如图,在 ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于F,以EC,CF为邻边作 ECFG.
(1)证明 ECFG是菱形;
(2)若∠ABC=120°,连接BD,CG,求∠BDG的度数.
