2.7 正方形
知识点1 正方形的性质
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是(B)
A.对角线相等
B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直
D.对角线互相垂直平分
2.(2023·怀化中考)如图,点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点,PE⊥AD于点E,PE=3.则点P到直线AB的距离为 3 .
3.如图,点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点,∠1=∠2,则∠BPC的度数为 135 °.
4.(2024·怀化新晃县期中)如图,正方形ABCD中,BD为对角线,且BE为∠ABD的平分线,并交CD延长线于点E,则∠E= 22.5° .
知识点2 正方形的判定
5.(2024·岳阳模拟)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,添加下列一个条件,能使菱形ABCD成为正方形的是(C)
A.BD=AB
B.AC=AD
C.∠ABC=90°
D.OD=AC
6.(2024·永州新田县期中)已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中错误的是(D)
A.当∠ABC=90°时,它是矩形
B.当AB=BC时,它是菱形
C.当AC⊥BD时,它是菱形
D.当AC=BD时,它是正方形
7.(2024·长沙雨花区质检)已知,如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为E,连接DE交AC于F.
(1)试判断四边形ADCE的形状,并证明你的结论.
(2)线段DF与AB有怎样的关系 请写出并证明你的结论.
(3)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形 简述你的理由.
【解析】(1)四边形ADCE为矩形.理由如下:
∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD,
又∵AN平分∠MAC,∴∠NAC=∠MAN,
∵∠NAC+∠MAN+∠BAD+∠CAD=180°,∴∠DAE=∠CAD+∠CAN=×180°=90°,又CE⊥AN,AD⊥BC,∴∠ADC=∠AEC=90°,∴四边形ADCE为矩形;
(2)DF∥AB,DF=AB,
理由是:∵四边形ADCE为矩形,对角线DE与AC相交于点F,∴F是AC的中点,
∵AB=AC,AD⊥BC,∴D是BC的中点,
∴DF为△ABC的中位线,
∴DF=AB,DF∥AB.
(3)当∠BAC=90°时,四边形ADCE是一个正方形,理由如下:
∵∠BAC=90°且AB=AC,AD⊥BC,
∴∠CAD=∠BAC=45°,∠ADC=90°,
∴∠ACD=∠CAD=45°,∴AD=CD.
∵四边形ADCE为矩形,
∴矩形ADCE是正方形.
8.(2023·常德中考)如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为AO,DO上的一点,且EF∥AD,连接AF,DE.若∠FAC=15°,则∠AED的度数为(C)
A.80° B.90° C.105° D.115°
9.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=7,F为DE的中点,若△CEF的周长为32,则OF的长为 .
10.我们都知道,四边形具有不稳定性.老师制作了一个正方形教具用于课堂教学,数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变(如图),若正方形道具边长为10 cm,∠D'=30°,则四边形的面积减少了 50 cm2 .
11.(2024·长沙雨花区质检)如图,正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作射线OM,ON,分别交CD,BC于点E,F,且∠EOF=90°,连接EF给出下列结论:
①△COE≌△BOF;②四边形OECF的面积为正方形ABCD面积的;③EF平分
∠OEC;④DE2+BF2=EF2.
其中正确的是 ①②④ (填序号).
12.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF.连接DE,DF,BE,BF.
(1)证明:△ADE≌△CBF;
(2)若AB=4,AE=2,求四边形BEDF的周长.
【解析】(1)由正方形对角线平分每一组对角可知:∠DAE=∠BCF=45°,
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)∵AB=AD=4,
∴BD===8,
由正方形对角线相等且互相垂直平分可得:AC=BD=8,DO=BO=4,OA=OC=4,
又AE=CF=2,∴OA-AE=OC-CF,
即OE=OF=4-2=2,
故四边形BEDF为菱形.
∵∠DOE=90°,
∴DE===2.
∴4DE=8.
故四边形BEDF的周长为8.
13.已知:正方形ABCD,E是BC的中点,连接AE,过点B作射线BM交正方形的一边于点F,交AE于点O.
(1)若BF⊥AE,
①求证:BF=AE;
②连接OD,确定OD与AB的数量关系,并证明;
(2)若正方形的边长为4,且BF=AE,求BO的长.
【解析】(1)①∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠ABE=∠C=90°,
∴∠BAE+∠AEB=90°,
∵BF⊥AE,∴∠CBF+∠AEB=90°,
∴∠BAE=∠CBF,
在△ABE和△BCF中,
∴△ABE≌△BCF(ASA),∴BF=AE;
②OD=AB.
证明:延长AD,交射线BM于点G,如图,
∵△ABE≌△BCF,∴BE=CF.
∵E为BC的中点,∴CF=BE=BC=DC,
∴CF=DF.∵DG∥BC,∴∠DGF=∠CBF.
在△DGF和△CBF中,
∴△DGF≌△CBF,∴DG=BC,∴DG=AD.
∵BF⊥AE,∴OD=AG=AD=AB;
(2)①若点F在CD上,如图,
在Rt△ABE和Rt△BCF中,,
∴Rt△ABE≌Rt△BCF(HL),
∴∠BAE=∠CBF,
∵∠BAE+∠AEB=90°,
∴∠CBF+∠AEB=90°,
∴∠AOB=90°.
∵∠ABE=90°,AB=4,BE=2,
∴AE==2.
∵S△ABE=AB·BE=AE·BO,
∴BO===.
②若点F在AD上,如图,
在Rt△ABE和Rt△BAF中,,
∴Rt△ABE≌Rt△BAF(HL),
∴∠BAE=∠ABF,∴OB=OA.
∵∠BAE+∠AEB=90°,∠ABF+∠EBF=90°,
∴∠AEB=∠EBF,∴OB=OE,∴OA=OB=OE.
∵∠ABE=90°,AB=4,BE=2,
∴AE==2,
∴OB=AE=.
综上所述:BO的长为或.2.7 正方形
知识点1 正方形的性质
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是( )
A.对角线相等
B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直
D.对角线互相垂直平分
2.(2023·怀化中考)如图,点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点,PE⊥AD于点E,PE=3.则点P到直线AB的距离为 .
3.如图,点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点,∠1=∠2,则∠BPC的度数为 °.
4.(2024·怀化新晃县期中)如图,正方形ABCD中,BD为对角线,且BE为∠ABD的平分线,并交CD延长线于点E,则∠E= .
知识点2 正方形的判定
5.(2024·岳阳模拟)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,添加下列一个条件,能使菱形ABCD成为正方形的是( )
A.BD=AB
B.AC=AD
C.∠ABC=90°
D.OD=AC
6.(2024·永州新田县期中)已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中错误的是( )
A.当∠ABC=90°时,它是矩形
B.当AB=BC时,它是菱形
C.当AC⊥BD时,它是菱形
D.当AC=BD时,它是正方形
7.(2024·长沙雨花区质检)已知,如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为E,连接DE交AC于F.
(1)试判断四边形ADCE的形状,并证明你的结论.
(2)线段DF与AB有怎样的关系 请写出并证明你的结论.
(3)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形 简述你的理由.
8.(2023·常德中考)如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为AO,DO上的一点,且EF∥AD,连接AF,DE.若∠FAC=15°,则∠AED的度数为( )
A.80° B.90° C.105° D.115°
9.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=7,F为DE的中点,若△CEF的周长为32,则OF的长为 .
10.我们都知道,四边形具有不稳定性.老师制作了一个正方形教具用于课堂教学,数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变(如图),若正方形道具边长为10 cm,∠D'=30°,则四边形的面积减少了 .
11.(2024·长沙雨花区质检)如图,正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作射线OM,ON,分别交CD,BC于点E,F,且∠EOF=90°,连接EF给出下列结论:
①△COE≌△BOF;②四边形OECF的面积为正方形ABCD面积的;③EF平分
∠OEC;④DE2+BF2=EF2.
其中正确的是 (填序号).
12.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF.连接DE,DF,BE,BF.
(1)证明:△ADE≌△CBF;
(2)若AB=4,AE=2,求四边形BEDF的周长.
13.已知:正方形ABCD,E是BC的中点,连接AE,过点B作射线BM交正方形的一边于点F,交AE于点O.
(1)若BF⊥AE,
①求证:BF=AE;
②连接OD,确定OD与AB的数量关系,并证明;
(2)若正方形的边长为4,且BF=AE,求BO的长.
