第2章 四边形（120分钟 120分）
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响.下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中,中心对称图形是(D)
2.(2023·益阳中考)如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,下列结论一定成立的是(C)
A.OA=OB B.OA⊥OB
C.OA=OC D.∠OBA=∠OBC
3.(2024·长沙望城区期末)如图,在△ABC中,AD是△ABC的中线,E,F分别是AC,AD的中点,连接EF,已知BC=12,则EF的长为(A)
A.3 B.4 C.5 D.6
4.在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是(C)
A.AB∥CD B.AD=BC
C.∠A=∠B D.∠A=∠D
5.如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗,其轮廓是一个正八边形,窗外之境如同镶嵌于一个画框之中,如图2是八角形空窗的示意图,它的一个外角∠1=(A)
A.45° B.60° C.110° D.135°
6.如图,已知正方形ABCD的边长为3,点P是对角线BD上的一点,PF⊥AD于点F,PE⊥AB于点E,连接PC,当PE∶PF=1∶2时,则PC=(C)
A. B.2 C. D.
7.(2024·长沙雨花区期末)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AB=AD,连接BD,∠BAD的平分线交BD,BC分别于点O,E,若EC=3,CD=4,则BO的长为(D)
A.4 B.3 C. D.2
8.将两个完全相同的菱形按如图方式放置,若∠BAD=α,∠CBE=β,则β=(D)
A.45°+α B.45°+α C.90°-α D.90°-α
9.如图,矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN分别交AD,BC于点M,N.若AM=1,BN=2,则BD的长为(A)
A.2 B.3 C.2 D.3
10.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,CE交DF于点G,连接AG.下列结论:①CE=DF;②CE⊥DF;③∠EAG=30°;④∠AGE=∠CDF.其中正确的是(C)
A.②③④ B.①③ C.①②④ D.①②③
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.(2023·益阳中考)如图,正六边形ABCDEF中,∠FAB= 120 °.
12.如图, ABCD的周长为36,对角线AC,BD相交于点O.点E是CD的中点,BD=12,则△DOE的周长为 15 .
13.如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD,垂足为E,∠DAE=2∠BAE,若BE=2,则矩形ABCD的面积为 16 .
14.(2024·南宁模拟)如图,将两条宽度都是为2的纸条重叠在一起,使∠ABC=45°,则四边形ABCD的面积为 4 .
15.如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E在AD上,连接EB,EC.则图中阴影部分的面积是 2 .
16.如图,边长相等的正五边形和正六边形拼接在一起,则∠ACB= 24 °.
17.(2023·湘西州中考)如图,在矩形ABCD中,点E在边BC上,点F是AE的中点,AB=8,AD=DE=10,则BF的长为 2 .
18.如图,矩形ABCD中,AD=18,AB=24.点E为边DC上的一个动点,△AD'E与△ADE关于直线AE对称,当△CD'E为直角三角形时,DE的长为 9或18 .
三、解答题(本大题共8个小题,共66分,第19、20题每题6分,第21、22题每题8分,第23、24题每题9分,第25、26题每题10分)
19.已知如图,五边形ABCDE中,AB∥CD,求图中∠AED的值.
【解析】∵AB∥CD,∴∠C+∠B=180°,
∵五边形ABCDE的内角和为(5-2)×180°=540°,
∴∠AED=540°-(∠A+∠D+∠C+∠B)
=540°-(150°+160°+180°)
=540°-490°
=50°.
20.(2024·邵阳隆回县期末节选)如图所示,O是矩形ABCD的对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD.求证:OE⊥DC.
【证明】∵DE∥AC,CE∥BD,∴DE∥OC,CE∥OD,
∴四边形ODEC是平行四边形,
∵四边形ABCD是矩形,∴OD=OC=OA=OB,
∴四边形ODEC是菱形,∴OE⊥DC.
21.如图,线段AC,BD相交于点O,AB∥CD,AB=CD.线段AC上的两点E,F关于点O中心对称.求证:BF=DE.
【证明】如图,连接AD,BC,
∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形,∴BO=DO,
∵点E,F关于点O中心对称,∴OF=OE,
在△BOF和△DOE中,,
∴△BOF≌△DOE(SAS),∴BF=DE.
22.如图,在四边形ABCD中,AC=BD,AC,BD交于点O,E,F分别是AB,CD中点,EF分别交AC,BD于点H,G.求证:OG=OH.
【证明】取BC边的中点M,连接EM,FM,
∵M,F分别是BC,CD的中点,∴MF∥BD,MF=BD,
同理:ME∥AC,ME=AC,
∵AC=BD,∴ME=MF,∴∠MEF=∠MFE,
∵MF∥BD,∴∠MFE=∠OGH,
同理∠MEF=∠OHG,
∴∠OGH=∠OHG,∴OG=OH.
23.如图,已知平行四边形ABCD.
(1)若E,F是BD上两点,且BE=DF,求证:△ABE≌△CDF;
(2)若AE⊥AF,求证:四边形AECF是矩形.
【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABE=∠CDF,
在△ABE和△CDF中,,
∴△ABE≌△CDF(SAS);
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,
∵BE=DF,∴OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形,
又∵AE⊥AF,∴四边形AECF是矩形.
24.如图,在 ABCD中,E,F分别是边AD,BC的中点,连接AF,CE,AC.
(1)求证:四边形AFCE是平行四边形.
(2)若四边形AFCE是菱形,判断△ABC的形状,并说明理由.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,
∵E,F分别是AD,BC的中点,
∴AE=DE=AD,CF=BF=BC,∴AE=CF,
又∵AE∥CF,∴四边形AFCE是平行四边形.
(2)∵四边形AFCE是菱形,∴AF=CF,
∴∠FAC=∠FCA,又∵CF=BF,∴∠FAB=∠FBA,
∵∠FAC+∠FCA+∠FAB+∠FBA=180°,
∴∠FAB+∠FAC=90°,
∴△ABC是直角三角形.
25.如图,Rt△CEF中,∠C=90°,∠CEF,∠CFE外角平分线交于点A,过点A分别作直线CE,CF的垂线,B,D为垂足.
(1)∠EAF= °(直接写出结果不写解答过程);
(2)①求证:四边形ABCD是正方形.
②若BE=EC=3,求DF的长.
【解析】(1)∵∠C=90°,∴∠CFE+∠CEF=90°,
∴∠DFE+∠BEF=360°-90°=270°,
∵AF平分∠DFE,AE平分∠BEF,
∴∠AFE=∠DFE,∠AEF=∠BEF,
∴∠AEF+∠AFE=(∠DFE+∠BEF)=×270°=135°,
∴∠EAF=180°-∠AEF-∠AFE=45°,
答案:45
(2)①作AG⊥EF于点G,如图1所示:
则∠AGE=∠AGF=90°,
∵AB⊥CE,AD⊥CF,∴∠B=∠D=90°=∠C,
∴四边形ABCD是矩形,
∵∠CEF,∠CFE外角平分线交于点A,
∴AB=AG,AD=AG,∴AB=AD,
∴四边形ABCD是正方形;
②解:设DF=x,
∵BE=EC=3,∴BC=6,
由①得四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD=6,
在Rt△ABE与Rt△AGE中,,
∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL),
∴BE=EG=6,
同理,GF=DF=x,
在Rt△CEF中,EC2+FC2=EF2,
即32+(6-x)2=(x+3)2,
解得x=2,
∴DF的长为2.
26.综合与实践
问题情境:
如图①,点E为正方形ABCD内一点,∠AEB=90°,将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°,得到△CBE'(点A的对应点为点C).延长AE交CE'于点F,连接DE.
猜想证明:
(1)试判断四边形BE'FE的形状,并说明理由;
(2)如图②,若AD=DE,请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明.
【解析】(1)结论:四边形BE'FE是正方形.理由如下:
∵△CBE'是由Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到的,
∴∠CE'B=∠AEB=90°,∠EBE'=90°,
又∵∠BEF+∠AEB=180°,∴∠BEF=90°,
∴四边形BE'FE是矩形,
由旋转可知:BE=BE',∴四边形BE'FE是正方形;
(2)结论:CF=FE'.
证明:如图,过点D作DH⊥AE于点H,
则∠AHD=90°,∠DAH+∠ADH=90°,
∵DA=DE,∴AH=EH=AE,
∵四边形ABCD是正方形,∴AB=DA,∠DAB=90°,
∴∠DAH+∠EAB=90°,
∴∠ADH=∠EAB,
在△ADH和△BAE中,,
∴△ADH≌△BAE(AAS),∴AH=BE,
由旋转可知:AE=CE',
由(1)可知:四边形BE'FE是正方形,∴BE=E'F,
∴E'F=AH=AE=CE',∴CF=FE'.第2章 四边形（120分钟 120分）
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响.下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中,中心对称图形是( )
2.(2023·益阳中考)如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,下列结论一定成立的是( )
A.OA=OB B.OA⊥OB
C.OA=OC D.∠OBA=∠OBC
3.(2024·长沙望城区期末)如图,在△ABC中,AD是△ABC的中线,E,F分别是AC,AD的中点,连接EF,已知BC=12,则EF的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4.在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是( )
A.AB∥CD B.AD=BC
C.∠A=∠B D.∠A=∠D
5.如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗,其轮廓是一个正八边形,窗外之境如同镶嵌于一个画框之中,如图2是八角形空窗的示意图,它的一个外角∠1=( )
A.45° B.60° C.110° D.135°
6.如图,已知正方形ABCD的边长为3,点P是对角线BD上的一点,PF⊥AD于点F,PE⊥AB于点E,连接PC,当PE∶PF=1∶2时,则PC=( )
A. B.2 C. D.
7.(2024·长沙雨花区期末)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AB=AD,连接BD,∠BAD的平分线交BD,BC分别于点O,E,若EC=3,CD=4,则BO的长为( )
A.4 B.3 C. D.2
8.将两个完全相同的菱形按如图方式放置,若∠BAD=α,∠CBE=β,则β=( )
A.45°+α B.45°+α C.90°-α D.90°-α
9.如图,矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN分别交AD,BC于点M,N.若AM=1,BN=2,则BD的长为( )
A.2 B.3 C.2 D.3
10.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,CE交DF于点G,连接AG.下列结论:①CE=DF;②CE⊥DF;③∠EAG=30°;④∠AGE=∠CDF.其中正确的是( )
A.②③④ B.①③ C.①②④ D.①②③
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.(2023·益阳中考)如图,正六边形ABCDEF中,∠FAB= °.
12.如图, ABCD的周长为36,对角线AC,BD相交于点O.点E是CD的中点,BD=12,则△DOE的周长为 .
13.如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD,垂足为E,∠DAE=2∠BAE,若BE=2,则矩形ABCD的面积为 .
14.(2024·南宁模拟)如图,将两条宽度都是为2的纸条重叠在一起,使∠ABC=45°,则四边形ABCD的面积为 .
15.如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E在AD上,连接EB,EC.则图中阴影部分的面积是 .
16.如图,边长相等的正五边形和正六边形拼接在一起,则∠ACB= °.
17.(2023·湘西州中考)如图,在矩形ABCD中,点E在边BC上,点F是AE的中点,AB=8,AD=DE=10,则BF的长为 .
18.如图,矩形ABCD中,AD=18,AB=24.点E为边DC上的一个动点,△AD'E与△ADE关于直线AE对称,当△CD'E为直角三角形时,DE的长为 .
三、解答题(本大题共8个小题,共66分,第19、20题每题6分,第21、22题每题8分,第23、24题每题9分,第25、26题每题10分)
19.已知如图,五边形ABCDE中,AB∥CD,求图中∠AED的值.
20.(2024·邵阳隆回县期末节选)如图所示,O是矩形ABCD的对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD.求证:OE⊥DC.
21.如图,线段AC,BD相交于点O,AB∥CD,AB=CD.线段AC上的两点E,F关于点O中心对称.求证:BF=DE.
22.如图,在四边形ABCD中,AC=BD,AC,BD交于点O,E,F分别是AB,CD中点,EF分别交AC,BD于点H,G.求证:OG=OH.
23.如图,已知平行四边形ABCD.
(1)若E,F是BD上两点,且BE=DF,求证:△ABE≌△CDF;
(2)若AE⊥AF,求证:四边形AECF是矩形.
24.如图,在 ABCD中,E,F分别是边AD,BC的中点,连接AF,CE,AC.
(1)求证:四边形AFCE是平行四边形.
(2)若四边形AFCE是菱形,判断△ABC的形状,并说明理由.
25.如图,Rt△CEF中,∠C=90°,∠CEF,∠CFE外角平分线交于点A,过点A分别作直线CE,CF的垂线,B,D为垂足.
(1)∠EAF= °(直接写出结果不写解答过程);
(2)①求证:四边形ABCD是正方形.
②若BE=EC=3,求DF的长.
26.综合与实践
问题情境:
如图①,点E为正方形ABCD内一点,∠AEB=90°,将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°,得到△CBE'(点A的对应点为点C).延长AE交CE'于点F,连接DE.
猜想证明:
(1)试判断四边形BE'FE的形状,并说明理由;
(2)如图②,若AD=DE,请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明.
