第2章 四边形
单元复习课
概览提纲挈领 串线连珠 心绘蓝图
答案:① (n-2)×180° ② 360° ③ 平行且相等 ④ 相等
⑤ 互相平分 ⑥ 平行 ⑦ 平行且相等 ⑧ 互相平分
⑨ 一半 ⑩ 直角 相等 直角 相等
相等 互相垂直 互相垂直 矩形 菱形
考点定向突破 锲而不舍 行而不辍
考点1多边形的有关计算
1.(2024·云南中考)一个七边形的内角和等于(B)
A.540° B.900°
C.980° D.1 080°
2.(2024·河北中考)直线l与正六边形ABCDEF的边AB,EF分别相交于点M,N,如图所示,则α+β=(B)
A.115° B.120° C.135° D.144°
3.(2024·遂宁中考)佩佩在“黄峨古镇”研学时学习扎染技术,得到一个内角和为
1 080°的正多边形图案,这个正多边形的每个外角为(C)
A.36° B.40° C.45° D.60°
4.(2024·威海中考)如图,在正六边形ABCDEF中,AH∥FG,BI⊥AH,垂足为点I.若
∠EFG=20°,则∠ABI= 50° .
考点2平行四边形的性质与判定
5.(2024·贵州中考)如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是(B)
A.AB=BC B.AD=BC
C.OA=OB D.AC⊥BD
6.(2024·眉山中考)如图,在 ABCD中,点O是BD的中点,EF过点O,下列结论:
①AB∥DC;②EO=ED;③∠A=∠C;④S四边形ABOE=S四边形CDOF,其中正确结论的
个数为(C)
A.1 B.2 C.3 D.4
7.(2024·达州中考)如图,线段AC,BD相交于点O,且AB∥CD,AE⊥BD于点E.
(1)尺规作图:过点C作BD的垂线,垂足为点F,连接AF,CE;(不写作法,保留作图痕迹,并标明相应的字母)
(2)若AB=CD,请判断四边形AECF的形状,并说明理由.(若前问未完成,可画草图完成此问)
【解析】(1)如图,CF,AF,CE为所作;
(2)四边形AECF为平行四边形.理由如下:
∵AB∥CD,∴∠B=∠D,
∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴AE∥CF,∠AEB=∠CFD=90°,
在△ABE和△CDF中,,
∴△ABE≌△CDF(AAS),
∴AE=CF,而AE∥CF,
∴四边形AECF为平行四边形.
考点3 中心对称及三角形的中位线
8.(2024·内江中考)2024年6月5日,是二十四节气的芒种,二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产,能反映季节的变化,指导农事活动.下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”,其中是中心对称图形的是(D)
9.1949年,伴随着新中国的诞生,中国科学院(简称“中科院”)成立.下列是中科院部分研究所的图标,其文字上方的图案是中心对称图形的是(A)
10.(2024·广安中考)如图,在△ABC中,点D,E分别是AC,BC的中点,若∠A=45°,
∠CED=70°,则∠C的度数为(D)
A.45° B.50° C.60° D.65°
11.(2024·凉山州中考)如图,四边形ABCD各边中点分别是E,F,G,H,若对角线AC=24,BD=18,则四边形EFGH的周长是 42 .
考点4 矩形的性质与判定
12.(2024·甘肃中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,
∠ABD=60°,AB=2,则AC的长为(C)
A.6 B.5 C.4 D.3
13.(2024·上海中考)四边形ABCD为矩形,过A,C作对角线BD的垂线,过B,D作对角线AC的垂线.如果四个垂线拼成一个四边形,那这个四边形为(A)
A.菱形 B.矩形
C.直角梯形 D.等腰梯形
14.(2024·贵州中考)如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AD∥BC,∠ABC=90°,有下列条件:
①AB∥CD,②AD=BC.
(1)请从以上①②中任选1个作为条件,求证:四边形ABCD是矩形;
(2)在(1)的条件下,若AB=3,AC=5,求四边形ABCD的面积.
【解析】(1)选择①,证明:
∵AD∥BC,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD是矩形;
选择②,证明:∵AD∥BC,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD是矩形;
(2)∵AB=3,AC=5,∠ABC=90°,
∴BC==4,
∴四边形ABCD的面积=AB·BC=3×4=12.
考点5 菱形的性质与判定
15.(2024·自贡中考)如图,以点A为圆心,适当的长为半径画弧,交∠A两边于点M,N,再分别以M,N为圆心,AM的长为半径画弧,两弧交于点B,连接MB,NB.若∠A=40°,则∠MBN=(A)
A.40° B.50° C.60° D.140°
16.(2024·福建中考)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边BC和CD上,且∠AEB=∠AFD.求证:BE=DF.
【证明】∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D.
在△ABE和△ADF中,,
∴△ABE≌△ADF(AAS),∴BE=DF.
17.(2024·重庆中考A卷)在学习了矩形与菱形的相关知识后,智慧小组进行了更深入的研究,他们发现,过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线,与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形,可利用证明三角形全等得到此结论.根据他们的想法与思路,完成以下作图和填空:
(1)如图,在矩形ABCD中,点O是对角线AC的中点.用尺规过点O作AC的垂线,分别交AB,CD于点E,F,连接AF,CE(不写作法,保留作图痕迹).
(2)已知:矩形ABCD,点E,F分别在AB,CD上,EF经过对角线AC的中点O,
且EF⊥AC.求证:四边形AECF是菱形.
证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD.
∴① ,∠FCO=∠EAO.
∵点O是AC的中点,
∴② .
∴△CFO≌△AEO(AAS).
∴③ .
又∵OA=OC,
∴四边形AECF是平行四边形.
∵EF⊥AC,
∴四边形AECF是菱形.
进一步思考,如果四边形ABCD是平行四边形呢 请你模仿题中表述,写出你猜想的结论:④ .
【解析】(1)图形如图所示:
(2)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD.
∴①∠CFO=∠AEO,∠FCO=∠EAO.
∵点O是AC的中点,∴②OC=OA.
∴△CFO≌△AEO(AAS).
∴③OF=OE.
又∵OA=OC,
∴四边形AECF是平行四边形.
∵EF⊥AC,∴四边形AECF是菱形.
猜想的结论:④四边形AECF是菱形.
考点6正方形的性质与判定
18.(2024·重庆中考B卷)如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E是BC上一点,点F是CD延长线上一点,连接AE,AF,AM平分∠EAF交CD于点M.若BE=DF=1,则DM的长度为(D)
A.2 B. C. D.
19.(2024·福建中考)如图,正方形ABCD的面积为4,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD的中点,则四边形EFGH的面积为 2 .
20.(2024·甘肃中考)【模型建立】
(1)如图1,已知△ABE和△BCD,AB⊥BC,AB=BC,CD⊥BD,AE⊥BD.用等式写出线段AE,DE,CD的数量关系,并说明理由.
【模型应用】
(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,F分别在对角线BD和边CD上,AE⊥EF,AE=EF.用等式写出线段BE,AD,DF的数量关系,并说明理由.
【模型迁移】
(3)如图3,在正方形ABCD中,点E在对角线BD上,点F在边CD的延长线上,AE⊥EF,AE=EF.用等式写出线段BE,AD,DF的数量关系,并说明理由.
【解析】(1)DE+CD=AE,理由如下:
∵CD⊥BD,AE⊥BD,AB⊥BC,
∴∠ABC=∠D=∠AEB=90°,
∴∠ABE+∠CBD=∠C+∠CBD=90°,
∴∠ABE=∠C,∵AB=BC,
∴△ABE≌△BCD(AAS),∴BE=CD,AE=BD,
∴DE=BD-BE=AE-CD,∴DE+CD=AE;
(2)AD=BE+DF,理由如下:
过E点作EM⊥AD于点M,过E点作EN⊥CD于点N,如图,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADB=∠CDB=45°,∠ADC=90°,
∴AD=CD=BD,∴DE=BD-BE=AD-BE,
∵EN⊥CD,EM⊥AD,∴EM=EN,
∵AE=EF,∴Rt△AEM≌Rt△FEN(HL),∴AM=NF,
∵EM=EN,EN⊥CD,EM⊥AD,∠ADC=90°,
∴四边形EMDN是正方形,
∴MD=DN=DE,NF=ND-DF=MD-DF,
∵NF=AM=AD-MD=AD-DE,
∴AD-DE=DE-DF,
∴AD=DE-DF,
∵DE=BD-BE=AD-BE,
∴AD=(AD-BE)-DF,
∴AD=BE+DF;
(3)AD=BE-DF,理由如下:
过A点作AH⊥BD于点H,过F点作FG⊥BD,交BD的延长线于点G,如图,
∵AH⊥BD,FG⊥BD,AE⊥EF,
∴∠AHE=∠G=∠AEF=90°,
∴∠AEH+∠HAE=∠AEH+∠FEG=90°,
∴∠HAE=∠FEG,
∵AE=EF,∴△HAE≌△GEF(AAS),
∴HE=FG,
∵在正方形ABCD中,∠BDC=45°,
∴∠FDG=∠BDC=45°,∴∠DFG=45°,
∴△DFG是等腰直角三角形,∴FG=DF,
∴HE=FG=DF,
∵∠ADB=45°,AH⊥HD,∴△ADH是等腰直角三角形,
∴HD=AD,∴DE=HD-HE=AD-DF,
∴BD-BE=DE=AD-DF,
∵BD=AD,∴AD-BE=AD-DF,
∴AD=BE-DF.
阶段测评,请使用 “单元质量评价(二)”
“期中素养评估”第2章 四边形
单元复习课
概览提纲挈领 串线连珠 心绘蓝图
答案:① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
⑨ ⑩
考点定向突破 锲而不舍 行而不辍
考点1多边形的有关计算
1.(2024·云南中考)一个七边形的内角和等于( )
A.540° B.900°
C.980° D.1 080°
2.(2024·河北中考)直线l与正六边形ABCDEF的边AB,EF分别相交于点M,N,如图所示,则α+β=( )
A.115° B.120° C.135° D.144°
3.(2024·遂宁中考)佩佩在“黄峨古镇”研学时学习扎染技术,得到一个内角和为
1 080°的正多边形图案,这个正多边形的每个外角为( )
A.36° B.40° C.45° D.60°
4.(2024·威海中考)如图,在正六边形ABCDEF中,AH∥FG,BI⊥AH,垂足为点I.若
∠EFG=20°,则∠ABI= .
考点2平行四边形的性质与判定
5.(2024·贵州中考)如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是( )
A.AB=BC B.AD=BC
C.OA=OB D.AC⊥BD
6.(2024·眉山中考)如图,在 ABCD中,点O是BD的中点,EF过点O,下列结论:
①AB∥DC;②EO=ED;③∠A=∠C;④S四边形ABOE=S四边形CDOF,其中正确结论的
个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.(2024·达州中考)如图,线段AC,BD相交于点O,且AB∥CD,AE⊥BD于点E.
(1)尺规作图:过点C作BD的垂线,垂足为点F,连接AF,CE;(不写作法,保留作图痕迹,并标明相应的字母)
(2)若AB=CD,请判断四边形AECF的形状,并说明理由.(若前问未完成,可画草图完成此问)
考点3 中心对称及三角形的中位线
8.(2024·内江中考)2024年6月5日,是二十四节气的芒种,二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产,能反映季节的变化,指导农事活动.下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”,其中是中心对称图形的是( )
9.1949年,伴随着新中国的诞生,中国科学院(简称“中科院”)成立.下列是中科院部分研究所的图标,其文字上方的图案是中心对称图形的是( )
10.(2024·广安中考)如图,在△ABC中,点D,E分别是AC,BC的中点,若∠A=45°,
∠CED=70°,则∠C的度数为( )
A.45° B.50° C.60° D.65°
11.(2024·凉山州中考)如图,四边形ABCD各边中点分别是E,F,G,H,若对角线AC=24,BD=18,则四边形EFGH的周长是 .
考点4 矩形的性质与判定
12.(2024·甘肃中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,
∠ABD=60°,AB=2,则AC的长为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
13.(2024·上海中考)四边形ABCD为矩形,过A,C作对角线BD的垂线,过B,D作对角线AC的垂线.如果四个垂线拼成一个四边形,那这个四边形为( )
A.菱形 B.矩形
C.直角梯形 D.等腰梯形
14.(2024·贵州中考)如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AD∥BC,∠ABC=90°,有下列条件:
①AB∥CD,②AD=BC.
(1)请从以上①②中任选1个作为条件,求证:四边形ABCD是矩形;
(2)在(1)的条件下,若AB=3,AC=5,求四边形ABCD的面积.
考点5 菱形的性质与判定
15.(2024·自贡中考)如图,以点A为圆心,适当的长为半径画弧,交∠A两边于点M,N,再分别以M,N为圆心,AM的长为半径画弧,两弧交于点B,连接MB,NB.若∠A=40°,则∠MBN=( )
A.40° B.50° C.60° D.140°
16.(2024·福建中考)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边BC和CD上,且∠AEB=∠AFD.求证:BE=DF.
17.(2024·重庆中考A卷)在学习了矩形与菱形的相关知识后,智慧小组进行了更深入的研究,他们发现,过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线,与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形,可利用证明三角形全等得到此结论.根据他们的想法与思路,完成以下作图和填空:
(1)如图,在矩形ABCD中,点O是对角线AC的中点.用尺规过点O作AC的垂线,分别交AB,CD于点E,F,连接AF,CE(不写作法,保留作图痕迹).
(2)已知:矩形ABCD,点E,F分别在AB,CD上,EF经过对角线AC的中点O,
且EF⊥AC.求证:四边形AECF是菱形.
证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD.
∴① ,∠FCO=∠EAO.
∵点O是AC的中点,
∴② .
∴△CFO≌△AEO(AAS).
∴③ .
又∵OA=OC,
∴四边形AECF是平行四边形.
∵EF⊥AC,
∴四边形AECF是菱形.
进一步思考,如果四边形ABCD是平行四边形呢 请你模仿题中表述,写出你猜想的结论:④ .
考点6正方形的性质与判定
18.(2024·重庆中考B卷)如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E是BC上一点,点F是CD延长线上一点,连接AE,AF,AM平分∠EAF交CD于点M.若BE=DF=1,则DM的长度为( )
A.2 B. C. D.
19.(2024·福建中考)如图,正方形ABCD的面积为4,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD的中点,则四边形EFGH的面积为 .
20.(2024·甘肃中考)【模型建立】
(1)如图1,已知△ABE和△BCD,AB⊥BC,AB=BC,CD⊥BD,AE⊥BD.用等式写出线段AE,DE,CD的数量关系,并说明理由.
【模型应用】
(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,F分别在对角线BD和边CD上,AE⊥EF,AE=EF.用等式写出线段BE,AD,DF的数量关系,并说明理由.
【模型迁移】
(3)如图3,在正方形ABCD中,点E在对角线BD上,点F在边CD的延长线上,AE⊥EF,AE=EF.用等式写出线段BE,AD,DF的数量关系,并说明理由.
