第3章 图形与坐标(120分钟 120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2023·盐城中考)在平面直角坐标系中,点A(1,2)在(A)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.如图,小明用手盖住的点的坐标可能为(B)
A.(3,2) B.(-3,2) C.(3,-2) D.(-3,-2)
3.(2024·长沙雨花区模拟)在平面直角坐标系中,点P(2 021,2 024)关于原点对称的点在(C)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.(2024·益阳模拟)在平面直角坐标系中,点P(1,-)到原点的距离为(C)
A.1 B. C. D.3
5.已知点P(m+2,2m-4)在x轴上,则点P的坐标是(A)
A.(4,0) B.(0,4) C.(-4,0) D.(0,-4)
6.在平面直角坐标系中,把点(2,3)向上平移1个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到的点的坐标是(B)
A.(3,1) B.(0,4) C.(4,4) D.(1,1)
7.在平面直角坐标系中,若点A(a,b)在第二象限,则点B(ab,-b)所在的象限是(C)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8.如图,四边形OACB是矩形,A,B两点的坐标分别是(8,0),(0,6),点C在第一象限,则点C的坐标为(D)
A.(6,0) B.(0,8) C.(6,8) D.(8,6)
9.如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点A,B的坐标分别为(3,),(4,0),把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE,如果点D的坐标为(6,),则点E的坐标为(B)
A.(6,0) B.(7,0) C.(0,7) D.(8,0)
10.如图所示,在△OAB中,∠AOB=60°,边OB在x轴上,AB=OB=4.将△AOB绕点O顺时针旋转,每次旋转90°,第2024次旋转结束时,点A的落点A2024的坐标为(C)
A.(-2,-2) B.(2,-2)
C.(2,2) D.(-2,2)
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.(2024·邵阳新宁县模拟)如图,线段AB与线段CD关于点P对称,若点A(3,3)、B(5,1)、D(-3,-1),则点C的坐标为 (-1,-3) .
12.在平面直角坐标系中,将点A(-1,2)先向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到点B(a,b),则a+b= -1 .
13.中国象棋文化历史久远.某校开展了以“纵横之间有智慧攻防转换有乐趣”为主题的中国象棋文化节.如图所示是某次对弈的残局图,如果建立平面直角坐标系,使“帥”位于点(-1,-2),“马”位于点(2,-2),那么“兵”在同一坐标系下的坐标是 (-3,1) .
14.若点(m,n)在第二象限,则点(n+1,m)在第 四 象限.
15.已知a为正整数,点P(4,2-a)在第一象限中,则a= 1 .
16.在平面直角坐标系xOy中,已知A(a,-2),B(1,-2),线段AB平行于x轴,且AB=2,则a= -1或3 .
17.在平面直角坐标系中,已知点A(-3,0),点B(0,3),点P在坐标轴上,若△ABP是直角三角形,则点P的坐标是 (0,0)或(3,0)或(0,-3) .
18.(2024·泸州中考)定义:在平面直角坐标系中,将一个图形先向上平移a(a>0)个单位长度,再绕原点按逆时针方向旋转θ角度,这样的图形运动叫做图形的ρ(a,θ)变换.如:点A(2,0)按照ρ(1,90°)变换后得到点A'的坐标为(-1,2),则点B(,-1)按照ρ(2,105°)变换后得到点B'的坐标为 (-,) .
三、解答题(本大题共8个小题,共66分,第19、20题每题6分,第21、22题每题8分,第23、24题每题9分,第25、26题每题10分)
19.(2023·岳阳期末)如图所示,正方形ABCD关于x轴、y轴均成轴对称,若这个正方形的面积为36,请分别写出点A,B,C,D的坐标.
【解析】设正方形的边长为a,则a2=36,则a=6,
又因为正方形ABCD关于x轴、y轴均成轴对称,
所以A,B,C,D到坐标轴的距离都等于3,
故A(3,3),B(-3,3),C(-3,-3),D(3,-3).
20.如图是某中学新校区分布图的一部分,方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形.若教学楼的坐标为A(1,2),图书馆的坐标为B(-2,-1),解答以下问题:
(1)在图中找到坐标系中的原点,并画出平面直角坐标系;
(2)若体育馆的坐标为C(0,-1),食堂坐标为D(3,2),请在图中标出体育馆和食堂的位置.
【解析】(1)如图所示,
(2)C,D位置如图.
21.(2024·常德期末)在平面直角坐标系中,已知点M(m-1,2m+3),分别根据下列条件,求出M点的坐标.
(1)点M在y轴上;
【解析】(1)∵点M(m-1,2m+3)在y轴上,∴m-1=0,
解得:m=1,∴2m+3=5,∴M(0,5);
(2)点M到x轴的距离为1;
【解析】(2)∵点M(m-1,2m+3)到x轴的距离为1,则2m+3=±1,
解得:m=-1或m=-2,∴M(-2,1)或(-3,-1);
(3)点N的坐标为(5,-1),且MN∥x轴.
【解析】(3)∵N(5,-1),M(m-1,2m+3),且MN∥x轴.
∴2m+3=-1,解得:m=-2,∴M(-3,-1).
22.如图:A(1,0),B(0,2),若将线段AB平移至A1B1,求a与b的值.
【解析】∵A(1,0),A1(3,b),B(0,2),B1(a,4),
∴平移规律为向右平移3-1=2个单位长度,向上平移4-2=2个单位长度,
∴a=0+2=2,b=0+2=2.
23.平面直角坐标系中,有一个点P(a-1,5-a)
(1)若点P在x轴上,则a=5则此时点P的坐标为(4,0);
【解析】(1)因为点P在x轴上,可得:5-a=0,解得:a=5,所以点P的坐标为(4,0);
(2)若点P是第一象限的整点(横纵坐标都是整数的点,称为整点),则这样的整点有几个 并求出这些整点的坐标.
【解析】(2)因为点P是第一象限,可得:,解得:1
因为是整数,所以a可以取2,3,4,共3个,
此时坐标分别为(1,3),(2,2),(3,1);
(3)点P可能在第三象限吗 为什么
【解析】(3)若点P在第三象限,可得:,
此不等式组无解,所以点P不可能在第三象限.
24.(2024·邵阳新邵县期末)平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,4),B(3,4),C(3,-1).
(1)试在平面直角坐标系中,标出A,B,C三点;
【解析】(1)如图所示,点A,B,C即为所求;
(2)求△ABC的面积;
【解析】(2)△ABC的面积为:×(3-1)×(4+1)=5;
(3)若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称,写出A1,B1,C1的坐标.
【解析】(3)若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称,则A1(1,-4),B1(3,-4),C1(3,1).
25.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-1,0),(3,0).现将线段AB向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到AB的对应线段CD,连接AC,BD.
(1)点D的坐标为(4,2);
【解析】(1)∵点A,B的坐标分别为(-1,0),(3,0),
∵AB向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到AB的对应线段CD,
∴点D的坐标为(3+1,0+2),即点D的坐标为(4,2).
(2)在y轴上存在一点P,连接PA,PB,且S△PAB=2,求点P的坐标.
【解析】(2)设P坐标为(0,y),则AB=3-(-1)=4,PO=|y|,
∵S△PAB=×4×|y|=2,∴|y|=1,
解得:y=±1,∴点P坐标为(0,1)或(0,-1).
26.(2024·长沙岳麓区期末)在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y),若点Q的坐标为(ax+y,x+ay),则称点Q是点P的“a阶派生点”(其中a为常数,且a≠0).例如:点P(1,4)的“2阶派生点”为点Q(2×1+4,1+2×4),即点Q(6,9).
(1)若点P的坐标为(-1,5),则它的“3阶派生点”的坐标为(2,14);
【解析】(1)3×(-1)+5=2;-1+3×5=14,
∵点P的坐标为(-1,5),则它的“3阶派生点”的坐标为(2,14).
(2)若点P的“5阶派生点”的坐标为(-9,3),求点P的坐标;
【解析】(2)设点P的坐标为(a,b),由题意可知,
解得:,
∴点P的坐标为(-2,1);
(3)若点P(c+1,2c-1)先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到了点P1,点P1的“-3阶派生点”P2位于坐标轴上,求点P2的坐标.
【解析】(3)∵点P(c+1,2c-1)先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到了点P1,∴P1(c-1,2c),
∴P1的“-3阶派生点”P2为:(-3(c-1)+2c,c-1-6c),
即(-c+3,-5c-1),
∵P2在坐标轴上,∴-c+3=0或-5c-1=0,
∴c=3或c=-,
∴P2(0,-16)或(,0).第3章 图形与坐标(120分钟 120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2023·盐城中考)在平面直角坐标系中,点A(1,2)在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.如图,小明用手盖住的点的坐标可能为( )
A.(3,2) B.(-3,2) C.(3,-2) D.(-3,-2)
3.(2024·长沙雨花区模拟)在平面直角坐标系中,点P(2 021,2 024)关于原点对称的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.(2024·益阳模拟)在平面直角坐标系中,点P(1,-)到原点的距离为( )
A.1 B. C. D.3
5.已知点P(m+2,2m-4)在x轴上,则点P的坐标是( )
A.(4,0) B.(0,4) C.(-4,0) D.(0,-4)
6.在平面直角坐标系中,把点(2,3)向上平移1个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到的点的坐标是( )
A.(3,1) B.(0,4) C.(4,4) D.(1,1)
7.在平面直角坐标系中,若点A(a,b)在第二象限,则点B(ab,-b)所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8.如图,四边形OACB是矩形,A,B两点的坐标分别是(8,0),(0,6),点C在第一象限,则点C的坐标为( )
A.(6,0) B.(0,8) C.(6,8) D.(8,6)
9.如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点A,B的坐标分别为(3,),(4,0),把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE,如果点D的坐标为(6,),则点E的坐标为( )
A.(6,0) B.(7,0) C.(0,7) D.(8,0)
10.如图所示,在△OAB中,∠AOB=60°,边OB在x轴上,AB=OB=4.将△AOB绕点O顺时针旋转,每次旋转90°,第2024次旋转结束时,点A的落点A2024的坐标为( )
A.(-2,-2) B.(2,-2)
C.(2,2) D.(-2,2)
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.(2024·邵阳新宁县模拟)如图,线段AB与线段CD关于点P对称,若点A(3,3)、B(5,1)、D(-3,-1),则点C的坐标为 .
12.在平面直角坐标系中,将点A(-1,2)先向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到点B(a,b),则a+b= .
13.中国象棋文化历史久远.某校开展了以“纵横之间有智慧攻防转换有乐趣”为主题的中国象棋文化节.如图所示是某次对弈的残局图,如果建立平面直角坐标系,使“帥”位于点(-1,-2),“马”位于点(2,-2),那么“兵”在同一坐标系下的坐标是 .
14.若点(m,n)在第二象限,则点(n+1,m)在第 象限.
15.已知a为正整数,点P(4,2-a)在第一象限中,则a= .
16.在平面直角坐标系xOy中,已知A(a,-2),B(1,-2),线段AB平行于x轴,且AB=2,则a= .
17.在平面直角坐标系中,已知点A(-3,0),点B(0,3),点P在坐标轴上,若△ABP是直角三角形,则点P的坐标是 .
18.(2024·泸州中考)定义:在平面直角坐标系中,将一个图形先向上平移a(a>0)个单位长度,再绕原点按逆时针方向旋转θ角度,这样的图形运动叫做图形的ρ(a,θ)变换.如:点A(2,0)按照ρ(1,90°)变换后得到点A'的坐标为(-1,2),则点B(,-1)按照ρ(2,105°)变换后得到点B'的坐标为 .
三、解答题(本大题共8个小题,共66分,第19、20题每题6分,第21、22题每题8分,第23、24题每题9分,第25、26题每题10分)
19.(2023·岳阳期末)如图所示,正方形ABCD关于x轴、y轴均成轴对称,若这个正方形的面积为36,请分别写出点A,B,C,D的坐标.
20.如图是某中学新校区分布图的一部分,方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形.若教学楼的坐标为A(1,2),图书馆的坐标为B(-2,-1),解答以下问题:
(1)在图中找到坐标系中的原点,并画出平面直角坐标系;
(2)若体育馆的坐标为C(0,-1),食堂坐标为D(3,2),请在图中标出体育馆和食堂的位置.
21.(2024·常德期末)在平面直角坐标系中,已知点M(m-1,2m+3),分别根据下列条件,求出M点的坐标.
(1)点M在y轴上;
(2)点M到x轴的距离为1;
(3)点N的坐标为(5,-1),且MN∥x轴.
22.如图:A(1,0),B(0,2),若将线段AB平移至A1B1,求a与b的值.
23.平面直角坐标系中,有一个点P(a-1,5-a)
(1)若点P在x轴上,则a= 则此时点P的坐标为 ;
(2)若点P是第一象限的整点(横纵坐标都是整数的点,称为整点),则这样的整点有几个 并求出这些整点的坐标.
(3)点P可能在第三象限吗 为什么
24.(2024·邵阳新邵县期末)平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,4),B(3,4),C(3,-1).
(1)试在平面直角坐标系中,标出A,B,C三点;
(2)求△ABC的面积;
(3)若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称,写出A1,B1,C1的坐标.
25.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-1,0),(3,0).现将线段AB向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到AB的对应线段CD,连接AC,BD.
(1)点D的坐标为 ;
(2)在y轴上存在一点P,连接PA,PB,且S△PAB=2,求点P的坐标.
26.(2024·长沙岳麓区期末)在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y),若点Q的坐标为(ax+y,x+ay),则称点Q是点P的“a阶派生点”(其中a为常数,且a≠0).例如:点P(1,4)的“2阶派生点”为点Q(2×1+4,1+2×4),即点Q(6,9).
(1)若点P的坐标为(-1,5),则它的“3阶派生点”的坐标为 ;
(2)若点P的“5阶派生点”的坐标为(-9,3),求点P的坐标;
(3)若点P(c+1,2c-1)先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到了点P1,点P1的“-3阶派生点”P2位于坐标轴上,求点P2的坐标.