第3章 图形与坐标
3.1 平面直角坐标系
知识点1 平面直角坐标系
1.(2024·长沙模拟)在平面直角坐标系中,若点A的坐标为(1,2),则点A在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.(2023·株洲荷塘区模拟)如图的坐标平面上有A,B,C,D四点.根据图中各点位置判断, 点在第二象限( )
A.A B.B C.C D.D
3.已知第三象限的点P(-4,-6),那么点P到x轴的距离为( )
A.-4 B.4
C.-6 D.6
4.若点A(a,b)在第二象限,则点B(a,-b)在第 象限.
知识点2 建立平面直角坐标系描述图形
5.(2024·长沙岳麓区模拟)中国象棋文化历史悠久.如图所示是某次对弈的残图,如果建立平面直角坐标系,使棋子“帅”位于点(-2,-1)的位置,则在同一坐标系下,棋子“马”所在的位置是( )
A.(1,1) B.(1,2)
C.(2,1) D.(2,2)
6.如图是天安门广场周围的主要景点分布示意图,在此图中建立平面直角坐标系,若表示故宫的点的坐标为(0,-1),表示美术馆的点的坐标为(2,2),则人民大会堂的坐标为 .
7.(2023·永州新田县期末)如图,雷达探测器测得六个目标A,B,C,D,E,F出现,按照规定的目标表示方法,目标E,F的位置表示为E(3,300°),F(5,210°),按照此方法在表示目标A,B,C,D的位置时,其中表示不正确的是( )
A.A(4,30°) B.B(2,90°)
C.C(6,120°) D.D(3,240°)
8.小明家的坐标为(1,2),小丽家的坐标为(-2,-1),则小丽家在小明家的( )
A.东偏南方向 B.东偏北方向
C.西偏南方向 D.西偏北方向
9.(2024·常德模拟)在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系,若点B的坐标为(0,1),点C的坐标为(-1,2),则点A的坐标为 .
10.若点P(a,b)在第二象限,则点Q(-b,a-3)一定在第 象限.
11.若点P(x,y)在第四象限,且|x|=3,|y|=4,则x+y= .
12.已知第四象限内点M的坐标为(2-a,3a+6),且M点到两坐标轴的距离相等,则点M的坐标是 .
13.(2023·张家界中考)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABOC是正方形,点A的坐标为(1,1),是以点B为圆心,BA为半径的圆弧;是以点O为圆心,OA1为半径的圆弧;是以点C为圆心,CA2为半径的圆弧;是以点A为圆心,AA3为半径的圆弧,继续以点B,O,C,A为圆心,按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”,则点A2 023的坐标是 .
14.已知在平面直角坐标系(如图)中有三个点A(0,2),B(-3,1),C(4,-3).请解答以下问题:
(1)在坐标系内描出点A,B,C;
(2)画出以A,B,C三点为顶点的三角形,并列式求出该三角形的面积;
(3)若要在y轴上找一个点P,使以A,C,P三点为顶点的三角形的面积为6,请直接写出满足要求的点P的坐标.
15.(2024·邵东模拟)问题情境:
在平面直角坐标系xOy中有不重合的两点A(x1,y1)和点B(x2,y2),小明在学习中发现,若x1=x2,则AB∥y轴,且线段AB的长度为|y1-y2|;若y1=y2,则AB∥x轴,且线段AB的长度为|x1-x2|;
【应用】
(1)若点A(-1,1),B(2,1),则AB∥x轴,AB的长度为 .
(2)若点C(1,0),且CD∥y轴,CD=2,则点D的坐标为 .
【拓展】
我们规定:平面直角坐标系中任意不重合的两点M(x1,y1),N(x2,y2)之间的折线距离为d(M,N)=|x1-x2|+|y1-y2|;例如:图1中,点M(-1,1)与点N(1,-2)之间的折线距离为d(M,N)=|-1-1|+|1-(-2)|=2+3=5.
解决下列问题:
(1)如图2,已知E(2,0),若F(-1,-2),则d(E,F)= ;
(2)如图2,已知E(2,0),H(1,t),若d(E,H)=3,则t= .
(3)如图3,已知P(3,3),点Q在x轴上,且△OPQ的面积为3,则d(P,Q)= . 第3章 图形与坐标
3.1 平面直角坐标系
知识点1 平面直角坐标系
1.(2024·长沙模拟)在平面直角坐标系中,若点A的坐标为(1,2),则点A在(A)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.(2023·株洲荷塘区模拟)如图的坐标平面上有A,B,C,D四点.根据图中各点位置判断, 点在第二象限(A)
A.A B.B C.C D.D
3.已知第三象限的点P(-4,-6),那么点P到x轴的距离为(D)
A.-4 B.4
C.-6 D.6
4.若点A(a,b)在第二象限,则点B(a,-b)在第 三 象限.
知识点2 建立平面直角坐标系描述图形
5.(2024·长沙岳麓区模拟)中国象棋文化历史悠久.如图所示是某次对弈的残图,如果建立平面直角坐标系,使棋子“帅”位于点(-2,-1)的位置,则在同一坐标系下,棋子“马”所在的位置是(B)
A.(1,1) B.(1,2)
C.(2,1) D.(2,2)
6.如图是天安门广场周围的主要景点分布示意图,在此图中建立平面直角坐标系,若表示故宫的点的坐标为(0,-1),表示美术馆的点的坐标为(2,2),则人民大会堂的坐标为 (-1,-3) .
7.(2023·永州新田县期末)如图,雷达探测器测得六个目标A,B,C,D,E,F出现,按照规定的目标表示方法,目标E,F的位置表示为E(3,300°),F(5,210°),按照此方法在表示目标A,B,C,D的位置时,其中表示不正确的是(D)
A.A(4,30°) B.B(2,90°)
C.C(6,120°) D.D(3,240°)
8.小明家的坐标为(1,2),小丽家的坐标为(-2,-1),则小丽家在小明家的(C)
A.东偏南方向 B.东偏北方向
C.西偏南方向 D.西偏北方向
9.(2024·常德模拟)在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系,若点B的坐标为(0,1),点C的坐标为(-1,2),则点A的坐标为 (-2,0) .
10.若点P(a,b)在第二象限,则点Q(-b,a-3)一定在第 三 象限.
11.若点P(x,y)在第四象限,且|x|=3,|y|=4,则x+y= -1 .
12.已知第四象限内点M的坐标为(2-a,3a+6),且M点到两坐标轴的距离相等,则点M的坐标是 (6,-6) .
13.(2023·张家界中考)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABOC是正方形,点A的坐标为(1,1),是以点B为圆心,BA为半径的圆弧;是以点O为圆心,OA1为半径的圆弧;是以点C为圆心,CA2为半径的圆弧;是以点A为圆心,AA3为半径的圆弧,继续以点B,O,C,A为圆心,按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”,则点A2 023的坐标是 (-2 023,1) .
14.已知在平面直角坐标系(如图)中有三个点A(0,2),B(-3,1),C(4,-3).请解答以下问题:
(1)在坐标系内描出点A,B,C;
(2)画出以A,B,C三点为顶点的三角形,并列式求出该三角形的面积;
(3)若要在y轴上找一个点P,使以A,C,P三点为顶点的三角形的面积为6,请直接写出满足要求的点P的坐标.
【解析】(1)如图,
(2)如图,三角形ABC为所作,三角形ABC的面积S=7×5-×3×1-×7×4-×4×5=;
(3)设P(0,t),∵以A,C,P三点为顶点的三角形的面积为6,∴×|t-2|×4=6,
解得t=5或t=-1,
∴点P的坐标为(0,5)或(0,-1).
15.(2024·邵东模拟)问题情境:
在平面直角坐标系xOy中有不重合的两点A(x1,y1)和点B(x2,y2),小明在学习中发现,若x1=x2,则AB∥y轴,且线段AB的长度为|y1-y2|;若y1=y2,则AB∥x轴,且线段AB的长度为|x1-x2|;
【应用】
(1)若点A(-1,1),B(2,1),则AB∥x轴,AB的长度为 .
(2)若点C(1,0),且CD∥y轴,CD=2,则点D的坐标为 .
【拓展】
我们规定:平面直角坐标系中任意不重合的两点M(x1,y1),N(x2,y2)之间的折线距离为d(M,N)=|x1-x2|+|y1-y2|;例如:图1中,点M(-1,1)与点N(1,-2)之间的折线距离为d(M,N)=|-1-1|+|1-(-2)|=2+3=5.
解决下列问题:
(1)如图2,已知E(2,0),若F(-1,-2),则d(E,F)= ;
(2)如图2,已知E(2,0),H(1,t),若d(E,H)=3,则t= .
(3)如图3,已知P(3,3),点Q在x轴上,且△OPQ的面积为3,则d(P,Q)= .
【解析】【应用】
(1)AB的长度为|-1-2|=3.
答案:3
(2)由CD∥y轴,可设点D的坐标为(1,m),
∵CD=2,∴|0-m|=2,解得m=±2,
∴点D的坐标为(1,2)或(1,-2).
答案:(1,2)或(1,-2)
【拓展】
(1)d(E,F)=|2-(-1)|+|0-(-2)|=5.
答案:5
(2)∵E(2,0),H(1,t),d(E,H)=3,
∴|2-1|+|0-t|=3,解得t=±2.
答案:2或-2
(3)由点Q在x轴上,可设点Q的坐标为(x,0),
∵△OPQ的面积为3,
∴|x|×3=3,解得x=±2.
当点Q的坐标为(2,0)时,d(P,Q)=|3-2|+|3-0|=4;
当点Q的坐标为(-2,0)时,d(P,Q)=|3-(-2)|+|3-0|=8.
答案:4或8
