第4章 一次函数（120分钟 120分）
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.对于圆的周长公式C=πd,下列说法正确的是( )
A.C是变量,π,d是常量
B.π是变量,C,d是常量
C.C,d是变量,π是常量
D.C,d,π是变量
2.如图所示的图象中,不能表示y是x的函数的是( )
3.(2024·湘潭质检)函数y=自变量x的取值范围是( )
A.x>2 B.x≥2
C.x≠2 D.x>2且x≠0
4.(2023·长沙天心区模拟)油箱中存油20升,油从油箱中均匀流出,流速为0.2升/分钟,则油箱中剩余油量Q(升)与流出时间t(分钟)的函数关系是( )
A.Q=0.2t B.Q=20-0.2t
C.t=0.2Q D.t=20-0.2Q
5.直线y=3x-6与y轴的交点坐标为( )
A.(0,-6) B. (,0) C.(-6,0) D.(2,0)
6.(2024·常德安乡县期末)下列说法正确的是( )
A.y=kx+b一定是一次函数
B.有的实数在数轴上找不到对应的点
C.长为,,的三条线段能组成直角三角形
D.无论x为何值,点P(2,x2+1)总是在第一象限
7.一次函数y=x图象向下平移2个单位长度再向右平移3个单位长度后,对应函数表达式是( )
A.y=2x-8 B.y=x
C.y=x+2 D.y=x-5
8.直线l1:y=kx-b和l2:y=-2kx+b在同一直角坐标系中的图象可能是( )
9.下列一次函数中,y随x的增大而减小的函数是( )
A.y=5x+3 B.y=x-2
C.y=x D.y=-8x-5
10.(2024·永州冷水滩区模拟)如图是1个纸杯和6个纸杯叠放在一起的示意图.小红想探究叠放在一起的杯子的总高度随杯子数量的变化关系.她将50个同样的纸杯叠放在一起,则这50个纸杯的总高度约为( )
A.50 cm B.56 cm C.57 cm D.58 cm
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.在函数表达式y=-x-7中,当自变量x=-5时,函数y的值为 .
12.(2023·常德武陵区期末)已知一次函数y=(k-3)x+1的图象经过第一、二、三象限,则k的值可以是 .(写出满足条件的一个k值即可)
13.已知点(-1,y1),(3,y2)都在直线y=-x+b上,则y1,y2的关系是y1 y2.(填“>”“<”或“=”)
14.(2024·株洲模拟)若直线y=2x向上平移3个单位长度后经过点(2,a),则a的值为 .
15.如图,图中的折线OABC反映了圆圆从家到学校所走的路程S(m)与时间t(min)的函数关系,其中,OA所在直线的表达式为y=k1x(k1≠0),BC所在直线的表达式为y=k2x+b(k2≠0),则k2-k1= .
16.在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点A(3,4),点B(0,5),直线y=kx+5恰好将△OAB平分成面积相等的两部分,则k的值是 .
17.如图,在正方形ABCD中,F在AB上,E在BC的延长线上,AF=CE,连接DF,DE,EF,EF交对角线BD于点N,M为EF的中点,连接MC,下列结论:①△DEF为等腰直角三角形;②∠FDB=∠FEC;③直线MC是BD的垂直平分线;④若BF=2,则MC=.其中正确结论有 .(填序号)
18.(2024·衡阳雁峰区模拟)如图1,动点P从菱形ABCD的顶点A出发,沿A→C→D以1 cm/s的速度运动到点D停止.设点P的运动时间为x(s),△PAB的面积为y(cm2).表示y与x的函数关系的图象如图2所示,则a的值为 .
三、解答题(本大题共8个小题,共66分,第19、20题每题6分,第21、22题每题8分,第23、24题每题9分,第25、26题每题10分)
19.(2024·衡阳蒸湘区期中)已知一次函数y=(m-1)x+m2-1(m≠1).
(1)当m为何值时,这个函数为正比例函数
(2)当m为何值时,这个函数y的值随着x值的增大而减小
20.(2024·长沙开福区质检)已知y与x成正比例,且当x=-2时,y=6.
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)若点(a,-3)在这个函数的图象上,求a的值.
21.将正比例函数y=3x的图象平移后经过点(1,4).
(1)求平移后的函数表达式;
(2)求平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积.
22.(2024·长沙雨花区质检)在学习地理时,我们知道:“海拔越高,气温越低”,如表是海拔h(千米)与此高度处气温t(℃)的关系.
海拔h(千米) 0 1 2 3 4 5 …
气温t(℃) 20 14 8 2 -4 -10 …
根据如表,回答以下问题:
(1)当海拔为3千米时,气温是 ℃;当气温为-4℃时,海拔是 千米;
(2)写出气温t与海拔h的表达式:t= ;
(3)当海拔是10千米时,求气温是多少
(4)当气温是-70℃时,求海拔是多少
23.蓝天白云下,青山绿水间,择一处草地,支一顶帐篷,邀亲朋好友,听蝉鸣,闻清风,话家常,好不惬意.某公司准备在周末组织一次露营活动,需要租用A,B两种型号的帐篷.若租用A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶,则需520元;若租用A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶,则需280元.
(1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的租金;
(2)若该公司需要租用A,B两种型号的帐篷共20顶,租用A种型号帐篷数量不超过B种型号帐篷数量的,为使租用帐篷的总费用最低,应租用A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶 租用帐篷的总费用最低为多少元
24.如图,直线y=kx+b经过点A(-5,0),B(-1,4).
(1)求直线AB的表达式;
(2)求直线CE:y=-2x-4与直线AB及y轴围成图形的面积;
(3)根据图象,直接写出关于x的不等式kx+b>-2x-4的解集.
25.定义:我们把一次函数y=kx+b(k≠0)与正比例函数y=x的交点称为一次函数y=kx+b(k≠0)的“不动点”.例如求y=2x-1的“不动点”:联立方程,解得,则y=2x-1的“不动点”为(1,1).
(1)由定义可知,一次函数y=3x+2的“不动点”为 ;
(2)若一次函数y=mx+n的“不动点”为(2,n-1),求m,n的值;
(3)若直线y=kx-3(k≠0)与x轴交于点A,与y轴交于点B,且直线y=kx-3上没有“不动点”,P点为x轴上一个动点,使得S△ABP=3S△ABO,求满足条件的P点坐标.
26.(2024·衡阳衡山县期末)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴、y轴分别交A,B两点,与直线y=-x+b相交于点C(2,m).
(1)求m和b的值;
(2)若直线y=-x+b与x轴相交于点D,动点P从点D开始,以每秒1个单位长度的速度向x轴负方向运动,设点P的运动时间为t秒.
①若点P在线段DA上,且△ACP的面积为10,求t的值;
②是否存在t的值,使△ACP为等腰三角形 若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.第4章 一次函数（120分钟 120分）
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.对于圆的周长公式C=πd,下列说法正确的是(C)
A.C是变量,π,d是常量
B.π是变量,C,d是常量
C.C,d是变量,π是常量
D.C,d,π是变量
2.如图所示的图象中,不能表示y是x的函数的是(A)
3.(2024·湘潭质检)函数y=自变量x的取值范围是(A)
A.x>2 B.x≥2
C.x≠2 D.x>2且x≠0
4.(2023·长沙天心区模拟)油箱中存油20升,油从油箱中均匀流出,流速为0.2升/分钟,则油箱中剩余油量Q(升)与流出时间t(分钟)的函数关系是(B)
A.Q=0.2t B.Q=20-0.2t
C.t=0.2Q D.t=20-0.2Q
5.直线y=3x-6与y轴的交点坐标为(A)
A.(0,-6) B. (,0) C.(-6,0) D.(2,0)
6.(2024·常德安乡县期末)下列说法正确的是(D)
A.y=kx+b一定是一次函数
B.有的实数在数轴上找不到对应的点
C.长为,,的三条线段能组成直角三角形
D.无论x为何值,点P(2,x2+1)总是在第一象限
7.一次函数y=x图象向下平移2个单位长度再向右平移3个单位长度后,对应函数表达式是(D)
A.y=2x-8 B.y=x
C.y=x+2 D.y=x-5
8.直线l1:y=kx-b和l2:y=-2kx+b在同一直角坐标系中的图象可能是(B)
9.下列一次函数中,y随x的增大而减小的函数是(D)
A.y=5x+3 B.y=x-2
C.y=x D.y=-8x-5
10.(2024·永州冷水滩区模拟)如图是1个纸杯和6个纸杯叠放在一起的示意图.小红想探究叠放在一起的杯子的总高度随杯子数量的变化关系.她将50个同样的纸杯叠放在一起,则这50个纸杯的总高度约为(C)
A.50 cm B.56 cm C.57 cm D.58 cm
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.在函数表达式y=-x-7中,当自变量x=-5时,函数y的值为 -2 .
12.(2023·常德武陵区期末)已知一次函数y=(k-3)x+1的图象经过第一、二、三象限,则k的值可以是 4(答案不唯一) .(写出满足条件的一个k值即可)
13.已知点(-1,y1),(3,y2)都在直线y=-x+b上,则y1,y2的关系是y1 > y2.(填“>”“<”或“=”)
14.(2024·株洲模拟)若直线y=2x向上平移3个单位长度后经过点(2,a),则a的值为 7 .
15.如图,图中的折线OABC反映了圆圆从家到学校所走的路程S(m)与时间t(min)的函数关系,其中,OA所在直线的表达式为y=k1x(k1≠0),BC所在直线的表达式为y=k2x+b(k2≠0),则k2-k1= 50 .
16.在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点A(3,4),点B(0,5),直线y=kx+5恰好将△OAB平分成面积相等的两部分,则k的值是 -2 .
17.如图,在正方形ABCD中,F在AB上,E在BC的延长线上,AF=CE,连接DF,DE,EF,EF交对角线BD于点N,M为EF的中点,连接MC,下列结论:①△DEF为等腰直角三角形;②∠FDB=∠FEC;③直线MC是BD的垂直平分线;④若BF=2,则MC=.其中正确结论有 ①②③④ .(填序号)
18.(2024·衡阳雁峰区模拟)如图1,动点P从菱形ABCD的顶点A出发,沿A→C→D以1 cm/s的速度运动到点D停止.设点P的运动时间为x(s),△PAB的面积为y(cm2).表示y与x的函数关系的图象如图2所示,则a的值为 .
三、解答题(本大题共8个小题,共66分,第19、20题每题6分,第21、22题每题8分,第23、24题每题9分,第25、26题每题10分)
19.(2024·衡阳蒸湘区期中)已知一次函数y=(m-1)x+m2-1(m≠1).
(1)当m为何值时,这个函数为正比例函数
【解析】(1)y=(m-1)x+m2-1(m≠1).
∵函数为正比例函数,
∴m2-1=0,且m-1≠0,
解得m=-1,
答:当m=-1时,这个函数为正比例函数;
(2)当m为何值时,这个函数y的值随着x值的增大而减小
【解析】(2)一次函数y=(m-1)x+m2-1(m≠1).
∵函数y的值随着x值的增大而减小,
∴m-1<0,
∴m<1,
答:当m<1时,函数y的值随着x值的增大而减小.
20.(2024·长沙开福区质检)已知y与x成正比例,且当x=-2时,y=6.
(1)求y与x之间的函数表达式;
【解析】(1)∵y与x成正比例,
∴设y=kx,
∵当x=-2时,y=6,
∴6=-2k,
解得k=-3,
∴y与x之间的函数表达式为y=-3x;
(2)若点(a,-3)在这个函数的图象上,求a的值.
【解析】(2)∵点(a,-3)在这个函数的图象上,
∴-3=-3a,
解得a=1.
21.将正比例函数y=3x的图象平移后经过点(1,4).
(1)求平移后的函数表达式;
【解析】(1)设平移后的函数表达式为y=3x+b,
则由题意,得4=3×1+b,
解得b=1.
∴平移后的函数表达式为y=3x+1.
(2)求平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积.
【解析】(2)令x=0,则y=1;
令y=0,则3x+1=0,
解得x=-,
∴直线y=3x+1与两坐标轴的交点坐标分别为(-,0),(0,1);
∴平移后函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为××1=.
22.(2024·长沙雨花区质检)在学习地理时,我们知道:“海拔越高,气温越低”,如表是海拔h(千米)与此高度处气温t(℃)的关系.
海拔h(千米) 0 1 2 3 4 5 …
气温t(℃) 20 14 8 2 -4 -10 …
根据如表,回答以下问题:
(1)当海拔为3千米时,气温是 ℃;当气温为-4℃时,海拔是 千米;
【解析】(1)观察表格可得,
当海拔为3千米时,气温是2℃;
当气温为-4℃时,海拔是4千米;
答案:2 4
(2)写出气温t与海拔h的表达式:t= ;
【解析】(2)观察表格可得,h每增加1千米,气温就下降6℃,所以t=20-6h,
气温t与海拔h的表达式:t=20-6h;
答案:20-6h
(3)当海拔是10千米时,求气温是多少
【解析】(3)当h=10时,即t=20-6×10=-40,
答:气温是-40℃;
(4)当气温是-70℃时,求海拔是多少
【解析】(4)当t=-70时,即20-6h=-70,
解得h=15,
答:海拔是15千米.
23.蓝天白云下,青山绿水间,择一处草地,支一顶帐篷,邀亲朋好友,听蝉鸣,闻清风,话家常,好不惬意.某公司准备在周末组织一次露营活动,需要租用A,B两种型号的帐篷.若租用A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶,则需520元;若租用A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶,则需280元.
(1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的租金;
【解析】(1)设每顶A种型号帐篷租金为m元,每顶B种型号帐篷租金为n元,
,
,
∴每顶A种型号帐篷租金为60元,每顶B种型号帐篷租金为100元;
(2)若该公司需要租用A,B两种型号的帐篷共20顶,租用A种型号帐篷数量不超过B种型号帐篷数量的,为使租用帐篷的总费用最低,应租用A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶 租用帐篷的总费用最低为多少元
【解析】(2)设租用A种型号帐篷x顶,则租用B种型号帐篷(20-x)顶,总费用为w元,
∵租用A种型号帐篷数量不超过B种型号帐篷数量的,
∴x≤(20-x),解得x≤5,
根据题意得w=60x+100(20-x)=-40x+2 000,
∵k=-40<0,∴w随x的增大而减小,
∴当x=5时,w取最小值,最小值为-40×5+2 000=1 800(元),
∴20-x=20-5=15(顶),
答:应租用A种型号帐篷5顶,B种型号帐篷15顶,总费用最低为1 800元.
24.如图,直线y=kx+b经过点A(-5,0),B(-1,4).
(1)求直线AB的表达式;
【解析】(1)∵直线y=kx+b经过点A(-5,0),B(-1,4),
则,解得,
∴y=x+5
(2)求直线CE:y=-2x-4与直线AB及y轴围成图形的面积;
【解析】(2)∵直线y=-2x-4与直线AB相交于点C,
∴,解得,故点C(-3,2).
∵y=-2x-4与y=x+5分别交y轴于点E和点D,
∴D(0,5),E(0,-4),
直线CE:y=-2x-4与直线AB及y轴围成图形的面积为×9×3=.
(3)根据图象,直接写出关于x的不等式kx+b>-2x-4的解集.
【解析】(3)根据图象可得不等式的解集为x>-3.
25.定义:我们把一次函数y=kx+b(k≠0)与正比例函数y=x的交点称为一次函数y=kx+b(k≠0)的“不动点”.例如求y=2x-1的“不动点”:联立方程,解得,则y=2x-1的“不动点”为(1,1).
(1)由定义可知,一次函数y=3x+2的“不动点”为 ;
【解析】(1)联立,
解得,
∴一次函数y=3x+2的“不动点”为(-1,-1);
答案:(-1,-1)
(2)若一次函数y=mx+n的“不动点”为(2,n-1),求m,n的值;
【解析】(2)∵一次函数y=mx+n的“不动点”为(2,n-1),
∴n-1=2,
∴n=3,
∴“不动点”为(2,2),
∴2=2m+3,
解得m=-;
(3)若直线y=kx-3(k≠0)与x轴交于点A,与y轴交于点B,且直线y=kx-3上没有“不动点”,P点为x轴上一个动点,使得S△ABP=3S△ABO,求满足条件的P点坐标.
【解析】(3)∵直线y=kx-3上没有“不动点”,
∴直线y=kx-3与直线y=x平行,
∴k=1,∴y=x-3,
∴A(3,0),B(0,-3),
设P(t,0),
∴AP=|t-3|,
∴S△ABP=×|t-3|×3,
S△ABO=×3×3,
∵S△ABP=3S△ABO,
∴|t-3|=9,
∴t=12或t=-6,
∴P(-6,0)或P(12,0).
26.(2024·衡阳衡山县期末)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴、y轴分别交A,B两点,与直线y=-x+b相交于点C(2,m).
(1)求m和b的值;
【解析】(1)∵点C在直线y=x+2上,C(2,m),
∴m=2+2=4,
又∵点C(2,4)也在直线y=-x+b上,
∴-×2+b=4,
解得b=5;
(2)若直线y=-x+b与x轴相交于点D,动点P从点D开始,以每秒1个单位长度的速度向x轴负方向运动,设点P的运动时间为t秒.
①若点P在线段DA上,且△ACP的面积为10,求t的值;
②是否存在t的值,使△ACP为等腰三角形 若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(2)在y=x+2中,当x=0时,y=2,
当y=0时,x=-2,∴A(-2,0),B(0,2),
在y=-x+5中,当y=0时,x=10,
∴D(10,0),
∴OD=10,
∵A(-2,0),
∴OA=2,
∴AD=OA+OD=12;
①设PD=t,则AP=12-t,过C作CE⊥AP于E,如图1所示:
则CE=4,
∵△ACP的面积为10,
∴(12-t)×4=10,
解得t=7;
②存在,理由如下:
由①知,CE=4,OE=2,
∴AE=OA+OE=4,
∴AC===4;
当AC=PC时,AP=2AE=8,
∴PD=AD-AP=4,
∴t=4;
当AP=AC时,如图2所示:
则AP1=AP2=AC=4,
∴DP1=12+4,DP2=12-4,
∴t=12+4,或t=12-4;
当PC=PA时,如图3所示:
设EP=m,则CP=,AP=m+4,
∴=m+4,
解得m=0,
∴P与E重合,AP=4,
∴PD=8,
∴t=8;
综上所述,存在t的值,使△ACP为等腰三角形,t的值为4或12-4或12+4或8.
