4.5 一次函数的应用
第1课时
【A层 基础夯实】
知识点 一次函数的实际应用
1.(2024·邵东期末)一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,燃烧时剩下的长度y(cm)与燃烧时间x(小时)的函数关系用图象表示为图中的(B)
2.某型号汽车油箱的剩余油量y(L)与行驶时间x(h)之间满足如图所示的一次函数关系,根据图象可知,这辆汽车行驶时每小时的耗油量与能行驶的最长时间分别为(A)
A.5 L,8 h B.5 L,40 h
C.25 L,3 h D.8 L,5 h
3. (教材再开发·P136例2改编)如图,大拇指与小拇指尽量张开时,两指间的距离称为指距.某项研究表明,一般情况下人的身高y(单位:cm)是指距x(单位:cm)的一次函数,现测得指距x与身高y的几组对应值:
指距x/cm 16 18 20 22
身高y/cm 133 151 169 187
小明的身高是160 cm,一般情况下,他的指距约是 19 cm.
4.某公司销售人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系,其图象如图所示.由图中给出的信息可知,销售人员某月的销售量为4件时,收入是 3 000 元.
5.甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠,所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示,则下列结论错误的是 ③ .(填序号)
①甲队挖掘30 m时,用了3 h
②挖掘6 h时甲队比乙队多挖了10 m
③乙队的挖掘速度总是小于甲队
④开挖后甲、乙两队所挖河渠的长度相等时,x=4
6.A,B两地相距50 km,甲于下午1时骑自行车从A地出发到B地,折线PQR和线段MN分别表示甲和乙所行路程与时间之间的关系,回答:
(1)甲出发 1 小时,乙才出发;
(2)乙行驶 0.5 小时,就追上甲,这时两人离B地还有 25 km.
【B层 能力进阶】
7.(2023·镇江中考)小明从家出发到商场购物后返回,如图表示的是小明离家的路程s(m)与时间t(min)之间的函数关系,已知小明购物用时30 min,返回速度是去商场的速度的1.2倍,则a的值为(D)
A.46 B.48 C.50 D.52
8.如图,一束光线从点A(-2,5)出发,经过y轴上的点B(0,1)反射后经过点C(m,n),则2m-n的值是 -1 .
9.(2023·武汉中考)我国古代数学经典著作《九章算术》记载:“今有善行者行一百步,不善行者行六十步,今不善行者先行一百步,善行者追之.问几何步及之 ”如图是善行者与不善行者行走路程s(单位:步)关于善行者的行走时间t的函数图象,则两图象交点P的纵坐标是 250 .
10.如图所示,购买一种苹果,所付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成,则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省 2 元.
【C层 创新挑战(选做)】
11.(2024·衡阳模拟)某学校开展“青少年科技创新比赛”活动,“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC做匀速直线运动的模型.甲、乙两车同时分别从A,B两处出发,沿轨道到达C处,B在AC上,甲的速度是乙的速度的1.5倍,设t分后甲、乙两遥控车与B处的距离分别为d1,d2(单位:米),则d1,d2与t的函数关系如图,试根据图象解决下列问题:
(1)填空:乙的速度v2= 米/分;
(2)写出d1与t的函数表达式;
(3)若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰,试探求什么时间段两遥控车的信号不会产生相互干扰
【解析】(1)乙的速度v2=120÷3=40(米/分);
答案:40
(2)v1=1.5v2=1.5×40=60(米/分),
60÷60=1(分),a=1,
d1=;
(3)d2=40t,
当0≤t<1时,d2+d1>10,
即-60t+60+40t>10,
解得0≤t<2.5,
∵0≤t<1,∴当0≤t<1时,两遥控车的信号不会产生相互干扰;
当1≤t≤3时,d2-d1>10,
即40t-(60t-60)>10,当1≤t<2.5时,两遥控车的信号不会产生相互干扰,
综上所述:当0≤t<2.5时,两遥控车的信号不会产生相互干扰.4.5 一次函数的应用
第1课时
【A层 基础夯实】
知识点 一次函数的实际应用
1.(2024·邵东期末)一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,燃烧时剩下的长度y(cm)与燃烧时间x(小时)的函数关系用图象表示为图中的( )
2.某型号汽车油箱的剩余油量y(L)与行驶时间x(h)之间满足如图所示的一次函数关系,根据图象可知,这辆汽车行驶时每小时的耗油量与能行驶的最长时间分别为( )
A.5 L,8 h B.5 L,40 h
C.25 L,3 h D.8 L,5 h
3. (教材再开发·P136例2改编)如图,大拇指与小拇指尽量张开时,两指间的距离称为指距.某项研究表明,一般情况下人的身高y(单位:cm)是指距x(单位:cm)的一次函数,现测得指距x与身高y的几组对应值:
指距x/cm 16 18 20 22
身高y/cm 133 151 169 187
小明的身高是160 cm,一般情况下,他的指距约是 cm.
4.某公司销售人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系,其图象如图所示.由图中给出的信息可知,销售人员某月的销售量为4件时,收入是 元.
5.甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠,所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示,则下列结论错误的是 .(填序号)
①甲队挖掘30 m时,用了3 h
②挖掘6 h时甲队比乙队多挖了10 m
③乙队的挖掘速度总是小于甲队
④开挖后甲、乙两队所挖河渠的长度相等时,x=4
6.A,B两地相距50 km,甲于下午1时骑自行车从A地出发到B地,折线PQR和线段MN分别表示甲和乙所行路程与时间之间的关系,回答:
(1)甲出发 小时,乙才出发;
(2)乙行驶 小时,就追上甲,这时两人离B地还有 km.
【B层 能力进阶】
7.(2023·镇江中考)小明从家出发到商场购物后返回,如图表示的是小明离家的路程s(m)与时间t(min)之间的函数关系,已知小明购物用时30 min,返回速度是去商场的速度的1.2倍,则a的值为( )
A.46 B.48 C.50 D.52
8.如图,一束光线从点A(-2,5)出发,经过y轴上的点B(0,1)反射后经过点C(m,n),则2m-n的值是 .
9.(2023·武汉中考)我国古代数学经典著作《九章算术》记载:“今有善行者行一百步,不善行者行六十步,今不善行者先行一百步,善行者追之.问几何步及之 ”如图是善行者与不善行者行走路程s(单位:步)关于善行者的行走时间t的函数图象,则两图象交点P的纵坐标是 .
10.如图所示,购买一种苹果,所付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成,则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省 元.
【C层 创新挑战(选做)】
11.(2024·衡阳模拟)某学校开展“青少年科技创新比赛”活动,“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC做匀速直线运动的模型.甲、乙两车同时分别从A,B两处出发,沿轨道到达C处,B在AC上,甲的速度是乙的速度的1.5倍,设t分后甲、乙两遥控车与B处的距离分别为d1,d2(单位:米),则d1,d2与t的函数关系如图,试根据图象解决下列问题:
(1)填空:乙的速度v2= 米/分;
(2)写出d1与t的函数表达式;
(3)若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰,试探求什么时间段两遥控车的信号不会产生相互干扰 4.5 一次函数的应用
第2课时
【A层 基础夯实】
知识点1 一次函数与一元一次方程
1.直线y=3x-m-4经过点A(m,0),则关于x的方程3x-m-4=0的解是 .
2.(2024·衡阳衡山县期中)已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,则关于x的方程kx+b=0的解是 .
3.一次函数y=kx+b(k≠0,k,b是常数)的图象如图所示,则关于x的方程kx+b=4的解是 .
4.如图,函数y=2x+b与函数y=kx-1的图象交于点P,则关于x的方程kx-1=2x+b的解是 .
知识点2 一次函数与二元一次方程组
5.如图,根据函数图象回答问题:方程组的解为 .
6.已知二元一次方程组的解为,则在同一平面直角坐标系中,直线l1:y=x+5与直线l2:y=-x-1的交点坐标为 .
知识点3 一次函数与一元一次不等式(组)
7.函数y=kx+b(k,b为常数)的图象如图所示,则关于x的不等式kx+b>0的解集是( )
A.x>0 B.x<0 C.x<2 D.x>2
8.直线l1:y=k1x+b与直线l2:y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x的不等式k2xA.x<-1 B.x>-1 C.x>2 D.x<2
【B层 能力进阶】
9.(2023·长沙天心区质检)无论m为何实数,直线y=-x+2m与y=x+4的交点不可能在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
10. (2023·邵东期末)如图,直线y=kx+b经过A(3,1)和B(6,0)两点,则不等式组0A.33
C.x<6 D.x>3或x<6
11.如图,直线y1=ax+2与y2=bx+4交于点N(1,a+2),将直线y1=ax+2向下平移后得到y3=ax-5,则能使得y3A.1,2,3 B.2,3 C.2,3,4 D.3,4,5
12.(2024·邵阳双清区模拟)如图,直线y=kx+b经过点A(-1,3),B(-,0)两点,则不等式组013.若不论k为何值,直线y=(2k-1)x+k+1均经过一定点,则这个定点坐标为 .
【C层 创新挑战(选做)】
14.(2024·衡阳祁东县期末)阅读材料:在平面直角坐标系中,二元一次方程x-y=0的一个解可以用一个点(1,1)表示,二元一次方程有无数个解,以方程x-y=0的解为坐标的点的全体叫作方程x-y=0的图象.一般地,在平面直角坐标系中,任何一个二元一次方程的图象都是一条直线,我们可以把方程x-y=0的图象称为直线x-y=0.
直线x-y=0把坐标平面分成直线上方区域、直线上、直线下方区域三部分,如果点M(x0,y0)的坐标满足不等式x-y<0,那么点M(x0,y0)就在直线x-y=0的上方区域内.特别地,x=k(k常数)表示横坐标为k的点的全体组成的一条直线,y=m(m为常数)表示纵坐标为m的点的全体组成的一条直线.
请根据以上材料,探索完成以下问题:
(1)已知点A(2,1),B(,),C(,),D(4,),其中在直线3x-2y=4上的点有 (只填字母);请再写出直线3x-2y=4上一个点的坐标 ;
(2)已知点P(x,y)的坐标满足不等式组,则所有的点P组成的图形的面积是 ;
(3)已知点P(x,y)的坐标满足不等式组,请在平面直角坐标系中画出所有的点P组成的图形(涂上阴影),并求出上述图形的面积.4.5 一次函数的应用
第2课时
【A层 基础夯实】
知识点1 一次函数与一元一次方程
1.直线y=3x-m-4经过点A(m,0),则关于x的方程3x-m-4=0的解是 x=2 .
2.(2024·衡阳衡山县期中)已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,则关于x的方程kx+b=0的解是 x=3 .
3.一次函数y=kx+b(k≠0,k,b是常数)的图象如图所示,则关于x的方程kx+b=4的解是 x=3 .
4.如图,函数y=2x+b与函数y=kx-1的图象交于点P,则关于x的方程kx-1=2x+b的解是 x=1 .
知识点2 一次函数与二元一次方程组
5.如图,根据函数图象回答问题:方程组的解为 .
6.已知二元一次方程组的解为,则在同一平面直角坐标系中,直线l1:y=x+5与直线l2:y=-x-1的交点坐标为 (-4,1) .
知识点3 一次函数与一元一次不等式(组)
7.函数y=kx+b(k,b为常数)的图象如图所示,则关于x的不等式kx+b>0的解集是(C)
A.x>0 B.x<0 C.x<2 D.x>2
8.直线l1:y=k1x+b与直线l2:y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x的不等式k2xA.x<-1 B.x>-1 C.x>2 D.x<2
【B层 能力进阶】
9.(2023·长沙天心区质检)无论m为何实数,直线y=-x+2m与y=x+4的交点不可能在(D)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
10. (2023·邵东期末)如图,直线y=kx+b经过A(3,1)和B(6,0)两点,则不等式组0A.33
C.x<6 D.x>3或x<6
11.如图,直线y1=ax+2与y2=bx+4交于点N(1,a+2),将直线y1=ax+2向下平移后得到y3=ax-5,则能使得y3A.1,2,3 B.2,3 C.2,3,4 D.3,4,5
12.(2024·邵阳双清区模拟)如图,直线y=kx+b经过点A(-1,3),B(-,0)两点,则不等式组013.若不论k为何值,直线y=(2k-1)x+k+1均经过一定点,则这个定点坐标为 (-,) .
【C层 创新挑战(选做)】
14.(2024·衡阳祁东县期末)阅读材料:在平面直角坐标系中,二元一次方程x-y=0的一个解可以用一个点(1,1)表示,二元一次方程有无数个解,以方程x-y=0的解为坐标的点的全体叫作方程x-y=0的图象.一般地,在平面直角坐标系中,任何一个二元一次方程的图象都是一条直线,我们可以把方程x-y=0的图象称为直线x-y=0.
直线x-y=0把坐标平面分成直线上方区域、直线上、直线下方区域三部分,如果点M(x0,y0)的坐标满足不等式x-y<0,那么点M(x0,y0)就在直线x-y=0的上方区域内.特别地,x=k(k常数)表示横坐标为k的点的全体组成的一条直线,y=m(m为常数)表示纵坐标为m的点的全体组成的一条直线.
请根据以上材料,探索完成以下问题:
(1)已知点A(2,1),B(,),C(,),D(4,),其中在直线3x-2y=4上的点有 (只填字母);请再写出直线3x-2y=4上一个点的坐标 ;
(2)已知点P(x,y)的坐标满足不等式组,则所有的点P组成的图形的面积是 ;
(3)已知点P(x,y)的坐标满足不等式组,请在平面直角坐标系中画出所有的点P组成的图形(涂上阴影),并求出上述图形的面积.
【解析】(1)将点A(2,1),B(,),C(,),D(4,)分别代入3x-2y=4中,满足方程的有A,C,
当x=0时,-2y=4,∴y=-2,
∴(0,-2)在直线3x-2y=4上;
答案:A,C (0,-2)(答案不唯一)
(2)如图,
面积为:4×3=12;
答案:12
(3)如图,
阴影部分的面积为×1×1=.
