期中素养评估(第1、2章)
(120分钟 120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列图案是我国几家银行的标志,其中是中心对称图形的为( )
2.正五边形的每一个外角是( )
A.360° B.108° C.40° D.72°
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=50°,将△ABC沿AB向右平移得△DEF,则∠F的度数为( )
A.50° B.45° C.40° D.30°
4.(2024·长沙模拟)如图,在边长为1的小正方形网格中,若△ABC和△CDE的顶点都在小正方形网格的格点上,则∠ACB+∠DCE=( )
A.75° B.90° C.120° D.135°
5.(2024·西安模拟)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,点E,F分别为OC,BC的中点.若EF=3,则AC的长为( )
A.3 B.6 C.9 D.12
6.如图,小明准备测量一段水渠的深度,他把一根竹竿AB竖直插到水底,此时竹竿AB离岸边点C处的距离CD为1.5米.竹竿高出水面的部分AD长0.5米,如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处,竿顶和岸边的水面刚好相齐,则水渠的深度BD为( )
A.2米 B.2.5米 C.2.25米 D.3米
7.(2024·长沙望城区期末)如图,是由小正方形组成的3×3的网格,每个小正方形的顶点叫做格点,线段AB的两个端点都是格点,以AB为对角线作平行四边形,使另两个顶点也在格点上,则这样的平行四边形最多可以作_______个.( )
A.3 B.4 C.5 D.6
8.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C,D的面积分别是3,5,2,3,则最大正方形E的面积是( )
A.8 B.10 C.13 D.15
9.如图,已知菱形ABCD的边长为6,点M是对角线AC上的一动点,且∠ABC=120°,则MA+MB+MD的最小值是( )
A.3 B.3+3 C.6+ D.6
10.如图,在正方形ABCD中,P为对角线BD上一动点(不与点B,D重合),连接PC.若∠PDC与∠PCD的平分线交于点Q,则∠DQC的度数可能为( )
A.100° B.105° C.110° D.115°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.如图在△ABC中,∠ACB=90°,点D为斜边AB的中点,CD=1,则AB= .
12.如图所示,第四套人民币中1角硬币边缘馈刻的图形是正九边形,其内角和为 .
13.如图,在 ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若△AOB的面积为5,则 ABCD的面积为 .
14.如果你可以只用一种图形没有重叠、没有间隙地铺满一个平面,那么这种图形就被称为可以“镶嵌”这个平面,完美五边形就是这种图形.如图的五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形.若∠1=75°,则∠2+∠3+∠4+∠5= °.
15.如图,射线OC是∠AOB的平分线,D是射线OC上一点,DP⊥OA于点P,DP=5,若点Q是射线OB上一点,OQ=4,则△ODQ的面积是 .
16.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BC=2,△BOC的周长为5,则AC+BD= .
17.如图,已知矩形ABCD,AB=9,AD=4,E为CD边上一点,CE=6,点P从B点出发,以每秒1个单位长度的速度沿着BA边向终点A运动,连接PE,设点P运动的时间为t秒,则当t的值为 时,△PAE是以PE为腰的等腰三角形.
18.如图,CA⊥AB,垂足为点A,AB=8,AC=4,射线BM⊥AB,垂足为点B,一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动,点D为射线BM上一动点,随着E点运动而运动,且始终保持ED=CB,当点E运动 秒时,△DEB与△BCA全等.
三、解答题(本大题共8个小题,共66分,第19、20题每题6分,第21、22题每题8分,第23、24题每题9分,第25、26题每题10分)
19.如图,AB=BC,∠BAD=∠BCD=90°,点D是EF上一点,AE⊥EF于点E,CF⊥EF于点F,AE=CF,求证:Rt△ADE≌Rt△CDF.
20.如图,菱形ABCD中,过点C分别作边AB,AD上的高CE,CF,求证:BE=DF.
21.(2024·长沙模拟)某次台风来袭时,一棵大树(假定树干AB垂直于地面)被刮倾斜15°后折断倒在地上,树的顶部恰好接触到地面D(如图所示),量得∠BAC=15°,大树被折断部分和地面所成的角∠ADC=60°,AD=4米.
(1)求大树的根部A到折断后的树干CD的距离;
(2)求这棵大树AB原来的高度.(结果精确到个位,参考数据:≈1.4,≈1.7,≈2.4)
22.数学课外活动小组外出社会实践,发现一块四边形草坪,经过实地测量,并记录数据,画出如图的四边形ABCD,其中AB=CD=4米,AD=BC=6米,∠B=30°.
(1)求证:△ABC≌△CDA;
(2)求四边形草坪的面积.
23.如图,已知 ABCD,AC,BD相交于点O,延长CD到点E,使CD=DE,连接AE.
(1)求证:四边形ABDE是平行四边形;
(2)连接BE,交AD于点F,连接OF,判断CE与OF的数量关系,并说明理由.
24.如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,过点C作CE∥OD,过点D作DE∥AC,CE与DE相交于点E.
(1)求证:四边形OCED是矩形.
(2)若AB=4,∠ABC=60°,求矩形OCED的面积.
25.如图,在矩形ABCD中,AB=4 cm,BC=8 cm,点P从点D出发向点A运动,运动到点A即停止;同时点Q从点B出发向点C运动,运动到点C即停止.点P,Q的速度都是1 cm/s,连接PQ,AQ,CP,设点P,Q运动的时间为t(s).
(1)当t为何值时,四边形ABQP是矩形
(2)当t为何值时,四边形AQCP是菱形
(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积.
26.如图1,P为正方形ABCD内一点,且PA∶PB∶PC=1∶2∶3,求∠APB的度数.
小明同学的想法是:不妨设PA=x,PB=2x,PC=3x,设法把PA,PB,PC相对集中,于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE(如图2),然后连接PE,问题得以解决.
(1)请你回答:图2中∠APB= °.
(2)请你参考小明同学的方法,解答下列问题.
如图3,P是等边△ABC内一点,PA∶PB∶PC=3∶4∶5,那么∠APB= °,请写出推理过程. 期中素养评估(第1、2章)
(120分钟 120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列图案是我国几家银行的标志,其中是中心对称图形的为(A)
2.正五边形的每一个外角是(D)
A.360° B.108° C.40° D.72°
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=50°,将△ABC沿AB向右平移得△DEF,则∠F的度数为(C)
A.50° B.45° C.40° D.30°
4.(2024·长沙模拟)如图,在边长为1的小正方形网格中,若△ABC和△CDE的顶点都在小正方形网格的格点上,则∠ACB+∠DCE=(D)
A.75° B.90° C.120° D.135°
5.(2024·西安模拟)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,点E,F分别为OC,BC的中点.若EF=3,则AC的长为(D)
A.3 B.6 C.9 D.12
6.如图,小明准备测量一段水渠的深度,他把一根竹竿AB竖直插到水底,此时竹竿AB离岸边点C处的距离CD为1.5米.竹竿高出水面的部分AD长0.5米,如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处,竿顶和岸边的水面刚好相齐,则水渠的深度BD为(A)
A.2米 B.2.5米 C.2.25米 D.3米
7.(2024·长沙望城区期末)如图,是由小正方形组成的3×3的网格,每个小正方形的顶点叫做格点,线段AB的两个端点都是格点,以AB为对角线作平行四边形,使另两个顶点也在格点上,则这样的平行四边形最多可以作_______个.(C)
A.3 B.4 C.5 D.6
8.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C,D的面积分别是3,5,2,3,则最大正方形E的面积是(C)
A.8 B.10 C.13 D.15
9.如图,已知菱形ABCD的边长为6,点M是对角线AC上的一动点,且∠ABC=120°,则MA+MB+MD的最小值是(D)
A.3 B.3+3 C.6+ D.6
10.如图,在正方形ABCD中,P为对角线BD上一动点(不与点B,D重合),连接PC.若∠PDC与∠PCD的平分线交于点Q,则∠DQC的度数可能为(D)
A.100° B.105° C.110° D.115°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.如图在△ABC中,∠ACB=90°,点D为斜边AB的中点,CD=1,则AB= 2 .
12.如图所示,第四套人民币中1角硬币边缘馈刻的图形是正九边形,其内角和为 1 260° .
13.如图,在 ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若△AOB的面积为5,则 ABCD的面积为 20 .
14.如果你可以只用一种图形没有重叠、没有间隙地铺满一个平面,那么这种图形就被称为可以“镶嵌”这个平面,完美五边形就是这种图形.如图的五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形.若∠1=75°,则∠2+∠3+∠4+∠5= 285 °.
15.如图,射线OC是∠AOB的平分线,D是射线OC上一点,DP⊥OA于点P,DP=5,若点Q是射线OB上一点,OQ=4,则△ODQ的面积是 10 .
16.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BC=2,△BOC的周长为5,则AC+BD= 6 .
17.如图,已知矩形ABCD,AB=9,AD=4,E为CD边上一点,CE=6,点P从B点出发,以每秒1个单位长度的速度沿着BA边向终点A运动,连接PE,设点P运动的时间为t秒,则当t的值为 3或 时,△PAE是以PE为腰的等腰三角形.
18.如图,CA⊥AB,垂足为点A,AB=8,AC=4,射线BM⊥AB,垂足为点B,一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动,点D为射线BM上一动点,随着E点运动而运动,且始终保持ED=CB,当点E运动 0,2,6,8 秒时,△DEB与△BCA全等.
三、解答题(本大题共8个小题,共66分,第19、20题每题6分,第21、22题每题8分,第23、24题每题9分,第25、26题每题10分)
19.如图,AB=BC,∠BAD=∠BCD=90°,点D是EF上一点,AE⊥EF于点E,CF⊥EF于点F,AE=CF,求证:Rt△ADE≌Rt△CDF.
【证明】连接BD,∵∠BAD=∠BCD=90°,
在Rt△ABD和Rt△CBD中,,
∴Rt△ABD≌Rt△CBD(HL),∴AD=CD,
∵AE⊥EF,CF⊥EF,∴∠E=∠F=90°,
在Rt△ADE和Rt△CDF中,,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).
20.如图,菱形ABCD中,过点C分别作边AB,AD上的高CE,CF,求证:BE=DF.
【证明】∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=CD,∠B=∠D,
∵CE,CF分别是边AB,AD上的高,∴∠BEC=∠DFC=90°,
在△BCE和△DCF中,,
∴△BCE≌△DCF(AAS),∴BE=DF.
21.(2024·长沙模拟)某次台风来袭时,一棵大树(假定树干AB垂直于地面)被刮倾斜15°后折断倒在地上,树的顶部恰好接触到地面D(如图所示),量得∠BAC=15°,大树被折断部分和地面所成的角∠ADC=60°,AD=4米.
(1)求大树的根部A到折断后的树干CD的距离;
【解析】(1)过点A作AE⊥CD于点E,
∵∠ADC=60°,∴∠EAD=30°,
∴DE=AD=2米,
∴AE==2(米).
答:大树的根部A到折断后的树干CD的距离为2米;
(2)求这棵大树AB原来的高度.(结果精确到个位,参考数据:≈1.4,≈1.7,≈2.4)
【解析】(2)∵∠BAC=15°,∴∠DAC=90°-15°=75°,
∵∠ADC=60°,∴∠ACD=180°-∠DAC-∠ADC=45°,
∵∠AEC=90°,∴AE=CE=2米,
∴AC==2(米),
∴AB=2+2+2≈2×2.4+2×1.7+2=10.2≈10(米).
答:这棵大树AB原来的高度是10米.
22.数学课外活动小组外出社会实践,发现一块四边形草坪,经过实地测量,并记录数据,画出如图的四边形ABCD,其中AB=CD=4米,AD=BC=6米,∠B=30°.
(1)求证:△ABC≌△CDA;
【解析】(1)在△ABC和△CDA中,
∵∴△ABC≌△CDA(SSS);
(2)求四边形草坪的面积.
【解析】(2)过点A作AE⊥BC于点E,
∵AB=4米,∠B=30°,∴AE=2米,
∴S△ABC=×6×2=6(平方米),
则S△CDA=6平方米,
∴四边形草坪的面积为2×6=12(平方米).
23.如图,已知 ABCD,AC,BD相交于点O,延长CD到点E,使CD=DE,连接AE.
(1)求证:四边形ABDE是平行四边形;
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∵CD=DE,∴AB=DE,∴四边形ABDE是平行四边形;
(2)连接BE,交AD于点F,连接OF,判断CE与OF的数量关系,并说明理由.
【解析】(2)CE与OF的数量关系为:CE=4OF,理由如下:
由(1)得:四边形ABDE是平行四边形,∴BF=EF,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,
∴OF是△BDE的中位线,∴DE=2OF,
∵CD=DE,∴CE=2DE,∴CE=4OF.
24.如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,过点C作CE∥OD,过点D作DE∥AC,CE与DE相交于点E.
(1)求证:四边形OCED是矩形.
【解析】(1)∵CE∥OD,DE∥AC,∴四边形OCED是平行四边形.
又∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,即∠COD=90°,
∴四边形OCED是矩形.
(2)若AB=4,∠ABC=60°,求矩形OCED的面积.
【解析】(2)∵在菱形ABCD中,AB=4,∴AB=BC=CD=4.
又∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AC=4,
∴OC=AC=2,
∴OD==2,
∴矩形OCED的面积是2×2=4.
25.如图,在矩形ABCD中,AB=4 cm,BC=8 cm,点P从点D出发向点A运动,运动到点A即停止;同时点Q从点B出发向点C运动,运动到点C即停止.点P,Q的速度都是1 cm/s,连接PQ,AQ,CP,设点P,Q运动的时间为t(s).
(1)当t为何值时,四边形ABQP是矩形
【解析】(1)当四边形ABQP是矩形时,BQ=AP,即:t=8-t,解得t=4.
答:当t=4 s时,四边形ABQP是矩形;
(2)当t为何值时,四边形AQCP是菱形
【解析】(2)设t s时,四边形AQCP是菱形,
当AQ=CQ,即=8-t时,四边形AQCP为菱形.
解得t=3.
答:当t=3 s时,四边形AQCP是菱形;
(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积.
【解析】(3)当t=3 s时,CQ=5,则周长为4CQ=20 cm,
面积为4×8-2××3×4=20(cm2).
答:(2)中菱形AQCP的周长是20 cm,面积是20 cm2.
26.如图1,P为正方形ABCD内一点,且PA∶PB∶PC=1∶2∶3,求∠APB的度数.
小明同学的想法是:不妨设PA=x,PB=2x,PC=3x,设法把PA,PB,PC相对集中,于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE(如图2),然后连接PE,问题得以解决.
(1)请你回答:图2中∠APB=135°.
【解析】(1)根据旋转的性质知∠PBE=90°,△BCP≌△BAE,
∴BP=BE,PC=AE,∴∠BPE=∠BEP=45°,PE=PB.
∵PA=x,PB=2x,PC=3x,
∴AE=PC=3x,PE=2x,
∴AE2=AP2+PE2,∴∠APE=90°,
∴∠APB=∠APE+∠BPE=90°+45°=135°.
(2)请你参考小明同学的方法,解答下列问题.
如图3,P是等边△ABC内一点,PA∶PB∶PC=3∶4∶5,那么∠APB=150°,请写出推理过程.
【解析】(2)如图,将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△BAM,然后连接PM,
根据旋转的性质知∠PBM=60°,△BCP≌△BAM,
∴PB=BM,
∴△PBM是等边三角形,
∴∠BPM=∠PBM=60°.
∵PA∶PB∶PC=3∶4∶5,
∴PA=3x,则PB=4x,PC=5x,
∴AM=PC=5x,BM=PB=PM=4x,
∴AM2=PA2+PM2,∴∠APM=90°,
∴∠APB=90°+60°=150°.
