6.1 二元一次方程组 课件（共36张PPT）

(共36张PPT)
冀教版2024教材数学七年级下册
6.1 二元一次方程组
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第六章 二元一次方程组
学习目标
1.通过具体实例，理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的意义，发展抽象能力.
2.会检验一对数值是不是某个二元一次方程(组)的解.
3.能根据实际问题中的数量关系列出简单的二元一次方程(组),体会方程是刻画现实世界数量关系的有效的数学模型，形成应用意识.
我将为你设计一份详细的二元一次方程组教案，重点突出概念讲解、解法推导及实际应用，帮助学生深入理解和掌握相关知识。
# 二元一次方程组教案
## 一、教学目标
1. 知识与技能目标
- 理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 熟练掌握用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。
- 能根据实际问题列出二元一次方程组并求解，体会方程组是刻画现实世界中含有两个未知数的问题的有效数学模型。
2. 过程与方法目标
- 通过对实际问题的分析，经历从实际问题中抽象出数学模型的过程，提高分析问题和解决问题的能力。
- 在探索二元一次方程组解法的过程中，体会消元思想，培养学生的化归意识和运算能力。
3. 情感态度与价值观目标
- 感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
- 在合作交流中，培养学生的团队合作精神和创新意识。
## 二、教学重难点
1. **教学重点**
- 二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。
- 用二元一次方程组解决实际问题。
2. **教学难点**
- 理解消元思想，掌握消元的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程。
- 从实际问题中找出等量关系，列出二元一次方程组。
## 三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
## 四、教学过程
### （一）导入新课（5分钟）
1. 展示问题情境：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分。某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？
2. 引导学生思考：
- 你能根据问题中的等量关系列出方程吗？
- 如果设两个未知数，如何表示这些等量关系？
### （二）讲授新课（30分钟）
1. **二元一次方程的概念**
- 引导学生设胜x场，负y场，根据等量关系列出方程：x + y = 10，2x + y = 16。
- 观察这两个方程的特点，总结二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
- 举例让学生判断哪些是二元一次方程，如3x - 2y = 5，xy = 1等，加深对概念的理解。
2. **二元一次方程组的概念**
- 像这样把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
- 强调二元一次方程组中两个方程共含有两个相同的未知数。
3. **二元一次方程组的解**
- 让学生尝试找出满足方程组x + y = 10，2x + y = 16的x和y的值。
- 给出二元一次方程组的解的定义：一般地，使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
- 通过具体例子，让学生理解方程组的解是一对数，并且要同时满足方程组中的两个方程。
4. **代入消元法解二元一次方程组**
- 以方程组x + y = 10，2x + y = 16为例，讲解代入消元法。
- 分析：由方程x + y = 10可得y = 10 - x，将其代入方程2x + y = 16中，就可以消去y，得到一个关于x的一元一次方程。
- 详细讲解解题步骤：
- 由方程①得：y = 10 - x ③
- 把③代入②得：2x + (10 - x) = 16
- 解这个方程：2x + 10 - x = 16，x = 6
- 把x = 6代入③得：y = 10 - 6 = 4
- 所以方程组的解为x = 6，y = 4
- 总结代入消元法的步骤：
- 变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。
- 代入：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
- 求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
- 回代：将求得的未知数的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值。
- 写解：写出方程组的解。
5. **加减消元法解二元一次方程组**
- 给出方程组2x + 3y = 11，2x - 5y = -1，引导学生观察两个方程中x的系数相同。
- 讲解：可以将两个方程相减，消去x，得到关于y的一元一次方程。
- 具体步骤：
- 用方程① - ②得：(2x + 3y) - (2x - 5y) = 11 - (-1)
- 去括号得：2x + 3y - 2x + 5y = 11 + 1
- 合并同类项得：8y = 12
- 解得：y = 1.5
- 把y = 1.5代入①得：2x + 3×1.5 = 11
- 解这个方程得：2x = 11 - 4.5，2x = 6.5，x = 3.25
- 所以方程组的解为x = 3.25，y = 1.5
- 总结加减消元法的步骤：
- 观察：观察方程组中两个方程相同未知数的系数特点。
- 变形：如果相同未知数的系数相等或互为相反数，则直接进行加减消元；如果系数不相等也不互为相反数，通过乘以适当的数，使某个未知数的系数相等或互为相反数。
- 加减：将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
- 求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
- 回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的一个方程，求出另一个未知数的值。
- 写解：写出方程组的解。
### （三）课堂练习（15分钟）
1. 给出一些二元一次方程、二元一次方程组，让学生判断并说明理由。
2. 用代入消元法和加减消元法解简单的二元一次方程组，如x - y = 3，3x - 8y = 14等，找学生板演，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。
3. 出示一道实际问题：某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元。如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？引导学生分析问题，找出等量关系，列出二元一次方程组并求解。
### （四）课堂小结（5分钟）
1. 与学生一起回顾本节课所学内容：
- 二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 代入消元法和加减消元法解二元一次方程组的步骤和方法。
- 用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
2. 强调重点和难点，鼓励学生在课后多做练习，巩固所学知识。
### （五）布置作业（5分钟）
1. 基础作业：课本课后练习题，用代入消元法和加减消元法解给定的二元一次方程组。
2. 拓展作业：寻找生活中的实际问题，用二元一次方程组来解决，并写成小报告形式。
## 五、教学反思
在本节课的教学过程中，要注重引导学生从实际问题出发，逐步理解二元一次方程组的相关概念和解法。在讲解代入消元法和加减消元法时，要让学生充分理解消元的思想，通过大量的练习让学生熟练掌握两种解法。同时，在解决实际问题时，要培养学生分析问题、找出等量关系的能力。在教学过程中，要关注学生的反应，及时调整教学节奏和方法，确保学生能够理解和掌握所学内容。
这份教案从导入到作业布置，涵盖教学各环节。你看看是否符合你的教学需求，若有调整方向，如增减某部分内容，可随时告诉我。
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
用载质量不同的两种货车来运货.已知4辆轻型货车和5辆中型货车一次最多能运货52 t, 10辆轻型货车和3辆中型货车一次最多能运货 54 t. 那么，这两种货车每辆的载质量分别是多少吨
情境引入
设一个未知数
解：设每辆轻型货车的载质量为 x t，则每辆中型货车的载质量为 t.
根据题意，得
10x+3×=54.
解这个一元一次方程，得x=3.从而=8.
答：每辆轻型货车的载质量为 3t，每辆中型货车的载质量为8 t.
4辆轻型货车的载质量+5辆中型货车的载质量=52 t
10辆轻型货车的载质量+3辆中型货车的载质量=54 t
新知讲解
设两个未知数
解：设每辆轻型货车的载质量为 x t，
则每辆中型货车的载质量为 t.
根据题意，得
4x+5y=52， ①
10x+3y=54. ②
这两种货车每辆的载质量应当是同
时满足方程①和②的未知数的值.
4辆轻型货车的载质量+5辆中型货车的载质量=52 t
10辆轻型货车的载质量+3辆中型货车的载质量=54 t
问题1、比较方程10x+3×=54和方程4x+5y=52和10x+3y=54 ,它们的共同点是什么，不同点是什么？
共同点：
1.都是方程；
2.含有未知数的项的次数都是1；
3.都可以表示本题中的等量关系.
不同点：
1.前者含有有一个未知数，后者含有两个未知数；
2.解法一用一个方程来表示数量关系，解法二是用两个方程来表示数量关系的.
知识点1 二元一次方程的概念
知识点1 二元一次方程的概念
知识点
二元一次方程
1
1. 定义：含有两个未知数，并 且含有未知数的项以及每个未知数的次数都是 1 的方程，叫作二元一次方程 ..
2. 二元一次方程的条件：
原方程：(1)整式方程；(2)只含有两个未知数 .
化简后的方程：(1)两个未知数的系数都不为0；
(2)含有未知数的项以及每个未知数的次数都是 1 .
3. 关于x，y的 二元一次方程的一般形式：ax＋by＝c (a ≠ 0，b ≠ 0).
知1－练
例 1
已知下列方程：① 2xy＝3； ② x2+y=1； ③ －y ＝2；
④ x - 2y＝3z；⑤ - 6y=0. 其中，二元一次方程有( )
A. 1 个　　　　 B. 2 个　　　　
C. 3 个　　　　 D. 4 个
考向：利用二元一次方程的定义进行识别
知1－练
解题秘方：紧扣二元一次方程必备的条件去识别 .
解：根据二元一次方程的定义进行判断.
①含未知数的项2xy 的次数是2；
②含未知数的项x2，y 中，x2 的次数不是1；③不是整式方程；
④含有3 个未知数x，y，z；
⑤满足二元一次方程的定义.
答案：A
知识点2 二元一次方程的解
知识点
二元一次方程的解
2
1. 二元一次方程的解 使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的一组解.
2. 判断一对数值是不是二元一次方程的解的方法
将这对数值分别代入方程的左右两边，
若左边= 右边，则这对数值是这个方程的解，
若左边≠右边，则这对数值不是这个方程的解.
例2：x＝－3，y＝1为下列哪一个二元一次方程的解(　　)
A．x＋2y＝－1
B．x－2y＝1
C．2x＋3y＝6
D．2x－3y＝－6
A
知识点2 二元一次方程的解
知识点3 二元一次方程组的概念
知识点
二元一次方程组
3
1. 方程组 由几个方程组成的一组方程叫作方程组.
2. 二元一次方程组 含有两个未知数，并且含有未知数的项以及每个未知数的次数都是1 的一组方程，叫作二元一次方程组.
3. 二元一次方程组应满足的条件
(1)一共含有两个未知数；
(2)每个方程都是一次方程.
例 3 下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A. B.
C. D.
B
知识点3 二元一次方程组的概念
注意： 也是二元一次方程组.
练一练：下列方程组中，哪些是二元一次方程组？
知识点3 二元一次方程组的概念
做一做 已知甲数的2倍和乙数的3倍之和是12，甲数的3倍与乙数的2倍之差是5.求这两个数.
(1) 列一元一次方程求解；
解：设甲数为x，则乙数为 .根据题意，得
解得
从而
答：甲数为3，乙数为2.
知识点4 二元一次方程组的解
(2) 如果设甲数为x，乙数为y,请根据问题中的等量关系，列出含有两个未知数的一组方程.
2x+3y=12, ①
3x-2y=5. ②
想一想：方程 2x+3y=12 和 3x-2y=5中，x的含义相同吗？y呢？
x,y所代表的对象分别相同,因而x,y必须同时满足方程2x+3y=12 和 3x-2y=5 ,把它们联立起来,得
知识点4 二元一次方程组的解
探究：对于二元一次方程，任意给定未知数x的一个值，你能求出满足方程的未知数y的值吗？填写下表.
2x+3y=12 x … 2 4 5 …
y … …
3x-2y=5 x … 2 4 5 …
y … …
看一看：是否有同时满足这两个方程的一组解？
3
3
2
知识点4 二元一次方程组的解
知4－讲
知识点
二元一次方程组的解
4
1. 二元一次方程组的解 二元一次方程组中方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解.
知4－讲
2. 判断一对数值是不是二元一次方程组的解的方法
判断一对数值是否为一个二元一次方程组的解，必须将这对数值分别代入方程组中的每一个方程进行检验，若满足每一个方程，则这对数值就是这个方程组的解；只要不满足其中任何一个方程，这对数值就不是这个方程组的解.
二元一次方程组的解：二元一次方程组中方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解.
一般地，二元一次方程组记作 的形式，
而 是这个方程组的解.
知识点4 二元一次方程组的解
既是方程①5x+y=28的一组解， 也是方程
② x+5y=20的一组解.因此， 就是二元一次方
程组 的解 .
例如
知识点4 二元一次方程组的解
例4：以 为解的二元一次方程组是 ( )
A. B.
C. D.
C
知识点4 二元一次方程组的解
1. [2024邢台期中] 若方程组 是二元一次方程组，
则“……”不可能是( )
C
A. B.
C. D.
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2. 下列说法中，不正确的是( )
B
A. 方程 是二元一次方程
B. 任何一个二元一次方程都只有一组解
C. 方程 有无数组解
D. 是方程 的解
返回
3. [2024沧州期中] 下列是二元一次方程 的解的
是( )
D
A. B.
C. D.
返回
4. 为了庆祝2024年11月4日神舟十八号载
人飞船在东风着陆场成功着陆，某学校组织学生开展有关航
空航天的知识竞赛.竞赛共有60道题，小荣同学答对了 道题，
答错了 道题（不答视为答错），且答对题数比答错题数的7
倍还多4道，那么下面列出的方程组中正确的是( )
A
A. B.
C. D.
返回
5. 教材P4练习T1 将方程写成用含 的代数
式表示 的形式：___________.
6.[2024北京大兴区期末] 已知方程 是关
于，的二元一次方程，则 的值为___.
7. 写出二元一次方程 的一组整
数解：_ _____________________.
1
（答案不唯一）
返回
8. 教材P3一起探究 已知方程组
（1）分别取, ,0,2,填写下表：
0 2
___ ___ ____ ____
0 2
_ _ ___ _ _ ___
8
2
2
4
（2）根据（1）中的数据写出方程组的解.
方程组的解为
返回
9. 如果方程组的解为那么被“★， ”遮
住的两个数分别为( )
C
A. 3，10 B. 4，10 C. 10，4 D. 10，3
返回
10. 我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”
问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果
共一千个，若 ， ，试问买甜果、苦果各几个？若设买
甜果个，买苦果 个，可列出符合题意的二元一次方程组
根据已有信息，题中用“ ， ”表示的
缺失的条件应为( )
A. 甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱
B. 甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C. 甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱
D. 甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
√
返回
二元一次方程组
二元一次方程
二元一次方程的解
二元一次方程的定义
二元一次方程组
二元一次方程组的定义
二元一次方程组的解
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