(共30张PPT)
冀教版2024教材数学七年级下册
6.2.1 二元一次方程组的解法
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第六章 二元一次方程组
学习目标
1.掌握用代入消元法解二元一次方程组.
2.在解方程组的过程中，体会转化和划归思想，提升运算能力.
我将为你设计一份详细的二元一次方程组教案，重点突出概念讲解、解法推导及实际应用，帮助学生深入理解和掌握相关知识。
# 二元一次方程组教案
## 一、教学目标
1. 知识与技能目标
- 理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 熟练掌握用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。
- 能根据实际问题列出二元一次方程组并求解，体会方程组是刻画现实世界中含有两个未知数的问题的有效数学模型。
2. 过程与方法目标
- 通过对实际问题的分析，经历从实际问题中抽象出数学模型的过程，提高分析问题和解决问题的能力。
- 在探索二元一次方程组解法的过程中，体会消元思想，培养学生的化归意识和运算能力。
3. 情感态度与价值观目标
- 感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
- 在合作交流中，培养学生的团队合作精神和创新意识。
## 二、教学重难点
1. **教学重点**
- 二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。
- 用二元一次方程组解决实际问题。
2. **教学难点**
- 理解消元思想，掌握消元的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程。
- 从实际问题中找出等量关系，列出二元一次方程组。
## 三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
## 四、教学过程
### （一）导入新课（5分钟）
1. 展示问题情境：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分。某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？
2. 引导学生思考：
- 你能根据问题中的等量关系列出方程吗？
- 如果设两个未知数，如何表示这些等量关系？
### （二）讲授新课（30分钟）
1. **二元一次方程的概念**
- 引导学生设胜x场，负y场，根据等量关系列出方程：x + y = 10，2x + y = 16。
- 观察这两个方程的特点，总结二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
- 举例让学生判断哪些是二元一次方程，如3x - 2y = 5，xy = 1等，加深对概念的理解。
2. **二元一次方程组的概念**
- 像这样把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
- 强调二元一次方程组中两个方程共含有两个相同的未知数。
3. **二元一次方程组的解**
- 让学生尝试找出满足方程组x + y = 10，2x + y = 16的x和y的值。
- 给出二元一次方程组的解的定义：一般地，使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
- 通过具体例子，让学生理解方程组的解是一对数，并且要同时满足方程组中的两个方程。
4. **代入消元法解二元一次方程组**
- 以方程组x + y = 10，2x + y = 16为例，讲解代入消元法。
- 分析：由方程x + y = 10可得y = 10 - x，将其代入方程2x + y = 16中，就可以消去y，得到一个关于x的一元一次方程。
- 详细讲解解题步骤：
- 由方程①得：y = 10 - x ③
- 把③代入②得：2x + (10 - x) = 16
- 解这个方程：2x + 10 - x = 16，x = 6
- 把x = 6代入③得：y = 10 - 6 = 4
- 所以方程组的解为x = 6，y = 4
- 总结代入消元法的步骤：
- 变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。
- 代入：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
- 求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
- 回代：将求得的未知数的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值。
- 写解：写出方程组的解。
5. **加减消元法解二元一次方程组**
- 给出方程组2x + 3y = 11，2x - 5y = -1，引导学生观察两个方程中x的系数相同。
- 讲解：可以将两个方程相减，消去x，得到关于y的一元一次方程。
- 具体步骤：
- 用方程① - ②得：(2x + 3y) - (2x - 5y) = 11 - (-1)
- 去括号得：2x + 3y - 2x + 5y = 11 + 1
- 合并同类项得：8y = 12
- 解得：y = 1.5
- 把y = 1.5代入①得：2x + 3×1.5 = 11
- 解这个方程得：2x = 11 - 4.5，2x = 6.5，x = 3.25
- 所以方程组的解为x = 3.25，y = 1.5
- 总结加减消元法的步骤：
- 观察：观察方程组中两个方程相同未知数的系数特点。
- 变形：如果相同未知数的系数相等或互为相反数，则直接进行加减消元；如果系数不相等也不互为相反数，通过乘以适当的数，使某个未知数的系数相等或互为相反数。
- 加减：将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
- 求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
- 回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的一个方程，求出另一个未知数的值。
- 写解：写出方程组的解。
### （三）课堂练习（15分钟）
1. 给出一些二元一次方程、二元一次方程组，让学生判断并说明理由。
2. 用代入消元法和加减消元法解简单的二元一次方程组，如x - y = 3，3x - 8y = 14等，找学生板演，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。
3. 出示一道实际问题：某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元。如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？引导学生分析问题，找出等量关系，列出二元一次方程组并求解。
### （四）课堂小结（5分钟）
1. 与学生一起回顾本节课所学内容：
- 二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 代入消元法和加减消元法解二元一次方程组的步骤和方法。
- 用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
2. 强调重点和难点，鼓励学生在课后多做练习，巩固所学知识。
### （五）布置作业（5分钟）
1. 基础作业：课本课后练习题，用代入消元法和加减消元法解给定的二元一次方程组。
2. 拓展作业：寻找生活中的实际问题，用二元一次方程组来解决，并写成小报告形式。
## 五、教学反思
在本节课的教学过程中，要注重引导学生从实际问题出发，逐步理解二元一次方程组的相关概念和解法。在讲解代入消元法和加减消元法时，要让学生充分理解消元的思想，通过大量的练习让学生熟练掌握两种解法。同时，在解决实际问题时，要培养学生分析问题、找出等量关系的能力。在教学过程中，要关注学生的反应，及时调整教学节奏和方法，确保学生能够理解和掌握所学内容。
这份教案从导入到作业布置，涵盖教学各环节。你看看是否符合你的教学需求，若有调整方向，如增减某部分内容，可随时告诉我。
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
情境导入
问题1：你能用一元一次方程解决鸡兔同笼的问题吗？
解：设鸡有x只，根据题意列方程，得
2x+4(35-x)=94.
解这个一元一次方程，得 x=23.
从而，得 35-23=12.
即鸡有23只，兔子有12只.
典例讲解
问题2：如何利用二元一次方程组解决鸡兔同笼问题？
解：设鸡有x只，兔子有y只.根据题意，可得方程组
①
②
由①，得
y=35-x. ③
将 ③代入②中，得
2x+4(35-x)=94. ④
典例讲解
①
②
y=35-x
变形
代入
2x+4(35-x)=94
想一想：由方程组 是怎样得出方程 ④的？
从中你体会到怎样解二元一次方程组吗？
求解
x=23
代入
求解
y=12
知识点
用代入消元法解二元一次方程组
知1－讲
1
1. 代入消元法 将二元一次方程组中一个方程的某个未知数，用含另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程；通过解一元一次方程，求得二元一次方程组的解. 这种解二元一次方程组的方法，叫作代入消元法，简称代入法.
知1－练
例 1
用代入法解方程组：(1)
(2)
解题秘方：紧扣代入消元法解二元一次方程组的步骤求解.
考向：利用代入消元法解二元一次方程组
知1－练
解：(1) 由②，得x＝1－5y. ③
把③代入①，得 2(1－5y)＋3y＝－19，解得 y＝3.
把 y＝3代入③，得 x＝－14.
所以这个方程组的解是
知1－练
如果方程组中某一未知数的系数成倍数关系或相同，那么可用整体代入法消去这个未知数后再求解.
变形：用一个未知数表示另一个未知数
代入：消元
解：解一元一次方程得到一个未知数的值
回代：求另一个未知数的值
写出解
代入法解二元一次方程组步骤：
知识点 用代入消元法解二元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
转化
代入消元法
选择方程中未知数系数为±1的方程进行变形.
解题思路
解二元一次方程组的基本思想是“化归思想”，通过“代入消元”法，也就是要消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化成解一元一次方程.
知识点 用代入消元法解二元一次方程组
1. 在解方程组 的过程中，将②代入①可得
( )
C
A. B.
C. D.
返回
2. [2024石家庄长安区期末] 用代入法解二元一次方程组
的过程中，下列变形不正确的是( )
C
A. 由①得 B. 由①得
C. 由②得 D. 由②得
【点拨】由①得或 ，
故A,B正确，不符合题意；
由②得或 ，
故C不正确，符合题意；D正确，不符合题意.
返回
3. [2024秦皇岛期末] 对于二元一次方程组 把
①代入②消去后所得到的方程为 ，则①可以
是( )
A
A. B.
C. D.
返回
4. 若与 的和是单项式，
则, 的值分别是( )
C
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【点拨】由题意，得解得
返回
5. 下面是小明同学解方程组
过程的框图表示，请你帮他补充完整：
其中，①为______，②为_______，③为_______.
代入
消去
解得
返回
6. 教材P8习题T2 用代入消元法解下列方程组：
（1）
【解】把②代入①,得，解得 ，
把代入②,得 ，
所以方程组的解为
（2）[2024浙江]
由①,得 ，③
把③代入②，得，解得 ，
把代入③，得，解得 ，
所以方程组的解为
返回
7. 已知关于，的二元一次方程组 有正整数
解，则整数 ( )
C
A. 9 B. 10 C. 10或20 D. 20
【点拨】 将②代入①,得
，解得.因为 是正整数，所以
或11.所以或.经检验， 和
时， 的值也为正整数，满足题意.故选C.
返回
8. 定义一种新运算“ ”，规定：
，其中，为常数，且 ，
，则 ( )
B
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【点拨】因为，且， ，
所以解得 所以 .所以
.故选B.
返回
9. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文 密
文（加密），接收方由密文 明文（解密），已知加密规则
为：明文,,,对应密文,,, .例如，明
文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，
则解密得到的明文为( )
B
A. 7,7,1,4 B. 6,4,1,7 C. 4,6,1,7 D. 1,6,4,7
【点拨】由题意可得，, ,
,,解得,,, .所以解
密得到的明文为6，4，1，7.
返回
10.已知方程组和 的解相同，则
___.
5
【点拨】由题意得解得 将 ，
代入，得，将, 代入
，得，所以 .
返回
11.[2024西安新城区校级月考] 已知与 互为相反
数，并且，则 的值为___.
4
【点拨】因为与 互为相反数，所以
，即，所以
解得所以 .
返回
12.[2024沧州期末] 对于关于， 的二元一次方程组
佳佳通过计算发现，无论取何值，
的值始终不变.则这个值是__.
代入消元法
定义
步骤
变形：用一个未知数表示另一个未知数
代入：消元
解：解一元一次方程得到一个未知数的值
回代：求另一个未知数的值
写出解
整体代入法
谢谢观看！(共24张PPT)
冀教版2024教材数学七年级下册
6.2.2 二元一次方程组的解法
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第六章 二元一次方程组
学习目标
1.掌握用代入消元法解二元一次方程组.
2.在解方程组的过程中，体会转化和划归思想，提升运算能力.
我将为你设计一份详细的二元一次方程组教案，重点突出概念讲解、解法推导及实际应用，帮助学生深入理解和掌握相关知识。
# 二元一次方程组教案
## 一、教学目标
1. 知识与技能目标
- 理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 熟练掌握用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。
- 能根据实际问题列出二元一次方程组并求解，体会方程组是刻画现实世界中含有两个未知数的问题的有效数学模型。
2. 过程与方法目标
- 通过对实际问题的分析，经历从实际问题中抽象出数学模型的过程，提高分析问题和解决问题的能力。
- 在探索二元一次方程组解法的过程中，体会消元思想，培养学生的化归意识和运算能力。
3. 情感态度与价值观目标
- 感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
- 在合作交流中，培养学生的团队合作精神和创新意识。
## 二、教学重难点
1. **教学重点**
- 二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。
- 用二元一次方程组解决实际问题。
2. **教学难点**
- 理解消元思想，掌握消元的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程。
- 从实际问题中找出等量关系，列出二元一次方程组。
## 三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
## 四、教学过程
### （一）导入新课（5分钟）
1. 展示问题情境：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分。某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？
2. 引导学生思考：
- 你能根据问题中的等量关系列出方程吗？
- 如果设两个未知数，如何表示这些等量关系？
### （二）讲授新课（30分钟）
1. **二元一次方程的概念**
- 引导学生设胜x场，负y场，根据等量关系列出方程：x + y = 10，2x + y = 16。
- 观察这两个方程的特点，总结二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
- 举例让学生判断哪些是二元一次方程，如3x - 2y = 5，xy = 1等，加深对概念的理解。
2. **二元一次方程组的概念**
- 像这样把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
- 强调二元一次方程组中两个方程共含有两个相同的未知数。
3. **二元一次方程组的解**
- 让学生尝试找出满足方程组x + y = 10，2x + y = 16的x和y的值。
- 给出二元一次方程组的解的定义：一般地，使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
- 通过具体例子，让学生理解方程组的解是一对数，并且要同时满足方程组中的两个方程。
4. **代入消元法解二元一次方程组**
- 以方程组x + y = 10，2x + y = 16为例，讲解代入消元法。
- 分析：由方程x + y = 10可得y = 10 - x，将其代入方程2x + y = 16中，就可以消去y，得到一个关于x的一元一次方程。
- 详细讲解解题步骤：
- 由方程①得：y = 10 - x ③
- 把③代入②得：2x + (10 - x) = 16
- 解这个方程：2x + 10 - x = 16，x = 6
- 把x = 6代入③得：y = 10 - 6 = 4
- 所以方程组的解为x = 6，y = 4
- 总结代入消元法的步骤：
- 变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。
- 代入：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
- 求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
- 回代：将求得的未知数的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值。
- 写解：写出方程组的解。
5. **加减消元法解二元一次方程组**
- 给出方程组2x + 3y = 11，2x - 5y = -1，引导学生观察两个方程中x的系数相同。
- 讲解：可以将两个方程相减，消去x，得到关于y的一元一次方程。
- 具体步骤：
- 用方程① - ②得：(2x + 3y) - (2x - 5y) = 11 - (-1)
- 去括号得：2x + 3y - 2x + 5y = 11 + 1
- 合并同类项得：8y = 12
- 解得：y = 1.5
- 把y = 1.5代入①得：2x + 3×1.5 = 11
- 解这个方程得：2x = 11 - 4.5，2x = 6.5，x = 3.25
- 所以方程组的解为x = 3.25，y = 1.5
- 总结加减消元法的步骤：
- 观察：观察方程组中两个方程相同未知数的系数特点。
- 变形：如果相同未知数的系数相等或互为相反数，则直接进行加减消元；如果系数不相等也不互为相反数，通过乘以适当的数，使某个未知数的系数相等或互为相反数。
- 加减：将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
- 求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
- 回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的一个方程，求出另一个未知数的值。
- 写解：写出方程组的解。
### （三）课堂练习（15分钟）
1. 给出一些二元一次方程、二元一次方程组，让学生判断并说明理由。
2. 用代入消元法和加减消元法解简单的二元一次方程组，如x - y = 3，3x - 8y = 14等，找学生板演，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。
3. 出示一道实际问题：某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元。如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？引导学生分析问题，找出等量关系，列出二元一次方程组并求解。
### （四）课堂小结（5分钟）
1. 与学生一起回顾本节课所学内容：
- 二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 代入消元法和加减消元法解二元一次方程组的步骤和方法。
- 用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
2. 强调重点和难点，鼓励学生在课后多做练习，巩固所学知识。
### （五）布置作业（5分钟）
1. 基础作业：课本课后练习题，用代入消元法和加减消元法解给定的二元一次方程组。
2. 拓展作业：寻找生活中的实际问题，用二元一次方程组来解决，并写成小报告形式。
## 五、教学反思
在本节课的教学过程中，要注重引导学生从实际问题出发，逐步理解二元一次方程组的相关概念和解法。在讲解代入消元法和加减消元法时，要让学生充分理解消元的思想，通过大量的练习让学生熟练掌握两种解法。同时，在解决实际问题时，要培养学生分析问题、找出等量关系的能力。在教学过程中，要关注学生的反应，及时调整教学节奏和方法，确保学生能够理解和掌握所学内容。
这份教案从导入到作业布置，涵盖教学各环节。你看看是否符合你的教学需求，若有调整方向，如增减某部分内容，可随时告诉我。
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
“曹冲称象” 的故事
生活中解决问题的方法
把大象的体重转化
为石块的重量.
情景引入
例1 解方程组
②
①
解：由方程①，得
③
将③代入②，整理，得
解方程，得
将 代入③，得
所以，原方程的解为
知识点1 用代入消元法解二元一次方程组
例2 解方程组
②
①
解：原方程组可化为
③
④
由方程④，得
⑤
将⑤代入③，整理得
解得
将 代入⑤，得
所以，原方程的解为
解法不只一种，独立完成，然后与大家分享哦！
知识点1 用代入消元法解二元一次方程组
知识点1 用代入消元法解二元一次方程组
知识点
用代入消元法解二元一次方程组
1
1. 代入消元法 将二元一次方程组中一个方程的某个未知数，用含另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程；通过解一元一次方程，求得二元一次方程组的解. 这种解二元一次方程组的方法，叫作代入消元法，简称代入法.
温馨提示：用代入消元法解二元一次方程组时,消去x或y都可以，为了简便计算,需要对每个方程的未知数系数情况进行比较分析,并根据自己的认识进行选择.
知1－练
例 2
用代入法解方程组：(1)
(2)
解题秘方：紧扣代入消元法解二元一次方程组的步骤求解.
考向：利用代入消元法解二元一次方程组
知1－练
解：(1) 由②，得x＝1－5y. ③
把③代入①，得 2(1－5y)＋3y＝－19，解得 y＝3.
把 y＝3代入③，得 x＝－14.
所以这个方程组的解是
知1－练
如果方程组中某一未知数的系数成倍数关系或相同，那么可用整体代入法消去这个未知数后再求解.
知识点2 整体代入消元
(1) 当方程组中的二元一次方程为ax+by+c=k时，一般先将方程化为ax+by=k-c 的形式.
(2)当相同未知数的系数成整数倍关系时，我们常用整体代入法会使解法更加快捷简便！
1.已知3x-y=7,则用含x的代数式表示y为___________,用含y的代数式表示x为____________.
2.解方程组 的最佳方案是（ ）
②
①
A.由方程①，得 ,再代入②
B.由方程②，得 ,再代入①
C.由方程①，得 ,再代入②
D.由方程①，得 ,再代入②
y=3x-7
1. 教材P11习题T1 用加减消元法解方程组
时，由消去未知数 ，所得到的一元
一次方程是( )
A
A. B. C. D.
返回
2. 用加减消元法解方程组 下列解法不正确
的是( )
D
A. ，消去
B. ，消去
C. ，消去
D. ，消去
【点拨】A项，可消去 ，故A项正确，不符
合题意；B项，可消去 ，故B项正确，不符
合题意；C项，可消去 ，故C项正确，不
符合题意；D项，不能消去 ，故D项不
正确，符合题意.故选D.
返回
3. 下列方程组中，有无数组解的是( )
C
A. B.
C. D.
【点拨】A项解得 方程组有唯一一组
解，故A项不符合题意；B项 易得方程组无解，
故B项不符合题意；C项 ，
得，则, 可取任何值，所以方程组有无数组解，
故C项符合题意；D项解得 方程组有唯
一一组解，故D项不符合题意；故选C.
返回
4.由方程组可得与 的关系式是_________
______.
返回
5. 已知, 都是有理数，观察表中的运算，则
___.
, 的运算
运算的结果 5 9
【点拨】根据题意，得解得 所以
.
3
返回
6.用加减消元法解下列方程组：
（1）
【解】，得，解得 .
把代入①，得,解得 .
所以原方程组的解是
（2）
，得，解得 ，
将代入②，得，解得 ，
故原方程组的解为
（3）
原方程组整理，得
，得，解得 ，
把代入②，得，解得 ，
故原方程组的解为
返回
二元一次方程组
一元一次方程
转化
代入 消元法
变形
代入消元
代入求值
写解
整体代入
谢谢观看！(共26张PPT)
冀教版2024教材数学七年级下册
6.2.3 二元一次方程组的解法
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第六章 二元一次方程组
学习目标
1.掌握用代入消元法解二元一次方程组.
2.在解方程组的过程中，体会转化和划归思想，提升运算能力.
我将为你设计一份详细的二元一次方程组教案，重点突出概念讲解、解法推导及实际应用，帮助学生深入理解和掌握相关知识。
# 二元一次方程组教案
## 一、教学目标
1. 知识与技能目标
- 理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 熟练掌握用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。
- 能根据实际问题列出二元一次方程组并求解，体会方程组是刻画现实世界中含有两个未知数的问题的有效数学模型。
2. 过程与方法目标
- 通过对实际问题的分析，经历从实际问题中抽象出数学模型的过程，提高分析问题和解决问题的能力。
- 在探索二元一次方程组解法的过程中，体会消元思想，培养学生的化归意识和运算能力。
3. 情感态度与价值观目标
- 感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
- 在合作交流中，培养学生的团队合作精神和创新意识。
## 二、教学重难点
1. **教学重点**
- 二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。
- 用二元一次方程组解决实际问题。
2. **教学难点**
- 理解消元思想，掌握消元的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程。
- 从实际问题中找出等量关系，列出二元一次方程组。
## 三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
## 四、教学过程
### （一）导入新课（5分钟）
1. 展示问题情境：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分。某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？
2. 引导学生思考：
- 你能根据问题中的等量关系列出方程吗？
- 如果设两个未知数，如何表示这些等量关系？
### （二）讲授新课（30分钟）
1. **二元一次方程的概念**
- 引导学生设胜x场，负y场，根据等量关系列出方程：x + y = 10，2x + y = 16。
- 观察这两个方程的特点，总结二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
- 举例让学生判断哪些是二元一次方程，如3x - 2y = 5，xy = 1等，加深对概念的理解。
2. **二元一次方程组的概念**
- 像这样把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
- 强调二元一次方程组中两个方程共含有两个相同的未知数。
3. **二元一次方程组的解**
- 让学生尝试找出满足方程组x + y = 10，2x + y = 16的x和y的值。
- 给出二元一次方程组的解的定义：一般地，使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
- 通过具体例子，让学生理解方程组的解是一对数，并且要同时满足方程组中的两个方程。
4. **代入消元法解二元一次方程组**
- 以方程组x + y = 10，2x + y = 16为例，讲解代入消元法。
- 分析：由方程x + y = 10可得y = 10 - x，将其代入方程2x + y = 16中，就可以消去y，得到一个关于x的一元一次方程。
- 详细讲解解题步骤：
- 由方程①得：y = 10 - x ③
- 把③代入②得：2x + (10 - x) = 16
- 解这个方程：2x + 10 - x = 16，x = 6
- 把x = 6代入③得：y = 10 - 6 = 4
- 所以方程组的解为x = 6，y = 4
- 总结代入消元法的步骤：
- 变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。
- 代入：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
- 求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
- 回代：将求得的未知数的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值。
- 写解：写出方程组的解。
5. **加减消元法解二元一次方程组**
- 给出方程组2x + 3y = 11，2x - 5y = -1，引导学生观察两个方程中x的系数相同。
- 讲解：可以将两个方程相减，消去x，得到关于y的一元一次方程。
- 具体步骤：
- 用方程① - ②得：(2x + 3y) - (2x - 5y) = 11 - (-1)
- 去括号得：2x + 3y - 2x + 5y = 11 + 1
- 合并同类项得：8y = 12
- 解得：y = 1.5
- 把y = 1.5代入①得：2x + 3×1.5 = 11
- 解这个方程得：2x = 11 - 4.5，2x = 6.5，x = 3.25
- 所以方程组的解为x = 3.25，y = 1.5
- 总结加减消元法的步骤：
- 观察：观察方程组中两个方程相同未知数的系数特点。
- 变形：如果相同未知数的系数相等或互为相反数，则直接进行加减消元；如果系数不相等也不互为相反数，通过乘以适当的数，使某个未知数的系数相等或互为相反数。
- 加减：将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
- 求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
- 回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的一个方程，求出另一个未知数的值。
- 写解：写出方程组的解。
### （三）课堂练习（15分钟）
1. 给出一些二元一次方程、二元一次方程组，让学生判断并说明理由。
2. 用代入消元法和加减消元法解简单的二元一次方程组，如x - y = 3，3x - 8y = 14等，找学生板演，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。
3. 出示一道实际问题：某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元。如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？引导学生分析问题，找出等量关系，列出二元一次方程组并求解。
### （四）课堂小结（5分钟）
1. 与学生一起回顾本节课所学内容：
- 二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 代入消元法和加减消元法解二元一次方程组的步骤和方法。
- 用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
2. 强调重点和难点，鼓励学生在课后多做练习，巩固所学知识。
### （五）布置作业（5分钟）
1. 基础作业：课本课后练习题，用代入消元法和加减消元法解给定的二元一次方程组。
2. 拓展作业：寻找生活中的实际问题，用二元一次方程组来解决，并写成小报告形式。
## 五、教学反思
在本节课的教学过程中，要注重引导学生从实际问题出发，逐步理解二元一次方程组的相关概念和解法。在讲解代入消元法和加减消元法时，要让学生充分理解消元的思想，通过大量的练习让学生熟练掌握两种解法。同时，在解决实际问题时，要培养学生分析问题、找出等量关系的能力。在教学过程中，要关注学生的反应，及时调整教学节奏和方法，确保学生能够理解和掌握所学内容。
这份教案从导入到作业布置，涵盖教学各环节。你看看是否符合你的教学需求，若有调整方向，如增减某部分内容，可随时告诉我。
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
买3瓶苹果汁和2瓶橙汁共需23元
买5瓶苹果汁和2瓶橙汁共需33元.
信息一：
已知买3瓶苹果汁和2瓶橙汁共需23元；
信息二：
又知买5瓶苹果汁和2瓶橙汁共需33元.
解：设苹果汁的单价为x元，橙汁的单价为y元，
根据题意得，
你会解这个方程组吗？
3x+2y=23,
5x+2y=33.
解：由①得 .
将③代入②,得
③
解得y=4.
把y=4代入③ ，得x=5.
所以原方程组的解为
除代入消元，
还有其他方法吗？
①
②
3x+2y=23,
5x+2y=33.
x =5，
y =4.
知识点
用加减消元法解二元一次方程组
2
1. 加减消元法 将二元一次方程组中两个方程相加(或相减，或进行适当变形后再相加减)，消去一个未知数，得到一元一次方程；通过解一元一次方程，求得二元一次方程组的解. 这种解二元一次方程组的方法，叫作加减消元法，简称加减法.
知2－练
用加减法解下面的方程组：
例 2
考向：利用加减消元法解二元一次方程组
类型1 利用加减消元法解二元一次方程组
题型1 系数相等或相反
知2－练
解：①＋②，得6x＝12，解得x＝2.
把x＝2 代入②，得3×2＋7y＝13，
解得y＝1.
所以原方程组的解为
知2－练
用加减法解下面的方程组：
解题秘方：方程组的两个方程中，y 的系数的绝对值成倍数关系，方程②乘3 就可与方程①相加消去y.
例 3
题型2 系数的绝对值成倍数关系
知2－练
解：②×3，得51x－9y＝222. ③
①＋③，得59x＝295，解得x＝5.
把x＝5 代入①，得8×5＋9y＝73，解得y＝.
所以原方程组的解为
知2－练
用加减法解方程组：
例 4
题型3 系数的绝对值既不相等又不成倍数关系
解题秘方：方程①和②中x，y 的系数的绝对值既不相等又不成倍数关系，则应取系数的绝对值的最小公倍数，可以先消去x，也可以先消去y.
知2－练
解：(方法一)①×3，得6x＋9y＝9. ③
②×2，得6x＋4y＝22. ④
③－④，得5y＝－13，解得 y＝－.
把y＝－代入①，得2x+3× (- )=3，解得x＝.
所以这个方程组的解为
知2－练
(方法二) ① ×2，得4x+6y=6. ⑤
② ×3，得9x+6y=33. ⑥
⑥－ ⑤，得5x＝27，解得x＝.
把x＝代入① ，得2 × +3y=3，解得y＝－.
所以这个方程组的解为
主要步骤：
基本思路：
写解
求解
加减
消去一个元
求出两个未知数的值
写出方程组的解
加减消元法解方程组基本思路和主要步骤：
变形
同一个未知数的系数相同或互为相反数
消元: 二元
一元
知识点1 用加减消元法解二元一次方程组
8. 若关于，的二元一次方程组 的
解满足，则 的值等于( )
C
A. 2 024 B. 2 025 C. 2 026 D. 2 027
返回
9. 规定：形如与 的
两个方程互为共轭二元一次方程，其中,为常数， ，
,为未知数；由这两个方程组成的方程组 称为
共轭方程组.若关于，的方程组
为共轭方程组，则， 的值为( )
A
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【点拨】由题意可得, ,解得
, .
返回
10.已知方程组与 有相同的解，则
的值为____.
28
【点拨】因为方程组与 有相同的
解，所以方程组 与题干两个方程组有相同的解.
解方程组得将 代入
得解得 所以 .
返回
11.[2024长沙校级期中] 甲、乙两人同时解方程组
甲正确解得 乙只抄错 ，而其他运
算全正确，解得 则 ___.
1
【点拨】把代入方程组得解得 .
把代入，得 .
联立解得
所以 .
返回
12.关于，的二元一次方程组 的解是正整数，
则符合题意的整数 的所有值的和为____.
14
【点拨】解二元一次方程组 得 因
为关于，的二元一次方程组 的解是正整数，
所以为正整数且为正整数.所以整数 或8.所以
符合题意的整数的所有值的和为 .
返回
加减消元法
定义
步骤
条件
方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍
变形 加减 求解 回代 写出解
谢谢观看！
