6.4 三元一次方程组 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
冀教版2024教材数学七年级下册
6.4 三元一次方程组*
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第六章 二元一次方程组
学习目标
1.了解三元一次方程组及其解法，进一步体会转化思想，并能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法.
2.体会用三元一次方程组解决实际问题，进一步提高模型观念，发展应用意识.
我将为你设计一份详细的二元一次方程组教案，重点突出概念讲解、解法推导及实际应用，帮助学生深入理解和掌握相关知识。
# 二元一次方程组教案
## 一、教学目标
1. 知识与技能目标
- 理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 熟练掌握用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。
- 能根据实际问题列出二元一次方程组并求解，体会方程组是刻画现实世界中含有两个未知数的问题的有效数学模型。
2. 过程与方法目标
- 通过对实际问题的分析，经历从实际问题中抽象出数学模型的过程，提高分析问题和解决问题的能力。
- 在探索二元一次方程组解法的过程中，体会消元思想，培养学生的化归意识和运算能力。
3. 情感态度与价值观目标
- 感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
- 在合作交流中，培养学生的团队合作精神和创新意识。
## 二、教学重难点
1. **教学重点**
- 二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。
- 用二元一次方程组解决实际问题。
2. **教学难点**
- 理解消元思想，掌握消元的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程。
- 从实际问题中找出等量关系，列出二元一次方程组。
## 三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
## 四、教学过程
### （一）导入新课（5分钟）
1. 展示问题情境：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分。某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？
2. 引导学生思考：
- 你能根据问题中的等量关系列出方程吗？
- 如果设两个未知数，如何表示这些等量关系？
### （二）讲授新课（30分钟）
1. **二元一次方程的概念**
- 引导学生设胜x场，负y场，根据等量关系列出方程：x + y = 10，2x + y = 16。
- 观察这两个方程的特点，总结二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
- 举例让学生判断哪些是二元一次方程，如3x - 2y = 5，xy = 1等，加深对概念的理解。
2. **二元一次方程组的概念**
- 像这样把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
- 强调二元一次方程组中两个方程共含有两个相同的未知数。
3. **二元一次方程组的解**
- 让学生尝试找出满足方程组x + y = 10，2x + y = 16的x和y的值。
- 给出二元一次方程组的解的定义：一般地，使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
- 通过具体例子，让学生理解方程组的解是一对数，并且要同时满足方程组中的两个方程。
4. **代入消元法解二元一次方程组**
- 以方程组x + y = 10，2x + y = 16为例，讲解代入消元法。
- 分析：由方程x + y = 10可得y = 10 - x，将其代入方程2x + y = 16中，就可以消去y，得到一个关于x的一元一次方程。
- 详细讲解解题步骤：
- 由方程①得：y = 10 - x ③
- 把③代入②得：2x + (10 - x) = 16
- 解这个方程：2x + 10 - x = 16，x = 6
- 把x = 6代入③得：y = 10 - 6 = 4
- 所以方程组的解为x = 6，y = 4
- 总结代入消元法的步骤：
- 变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。
- 代入：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
- 求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
- 回代：将求得的未知数的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值。
- 写解：写出方程组的解。
5. **加减消元法解二元一次方程组**
- 给出方程组2x + 3y = 11，2x - 5y = -1，引导学生观察两个方程中x的系数相同。
- 讲解：可以将两个方程相减，消去x，得到关于y的一元一次方程。
- 具体步骤：
- 用方程① - ②得：(2x + 3y) - (2x - 5y) = 11 - (-1)
- 去括号得：2x + 3y - 2x + 5y = 11 + 1
- 合并同类项得：8y = 12
- 解得：y = 1.5
- 把y = 1.5代入①得：2x + 3×1.5 = 11
- 解这个方程得：2x = 11 - 4.5，2x = 6.5，x = 3.25
- 所以方程组的解为x = 3.25，y = 1.5
- 总结加减消元法的步骤：
- 观察：观察方程组中两个方程相同未知数的系数特点。
- 变形：如果相同未知数的系数相等或互为相反数，则直接进行加减消元；如果系数不相等也不互为相反数，通过乘以适当的数，使某个未知数的系数相等或互为相反数。
- 加减：将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
- 求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
- 回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的一个方程，求出另一个未知数的值。
- 写解：写出方程组的解。
### （三）课堂练习（15分钟）
1. 给出一些二元一次方程、二元一次方程组，让学生判断并说明理由。
2. 用代入消元法和加减消元法解简单的二元一次方程组，如x - y = 3，3x - 8y = 14等，找学生板演，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。
3. 出示一道实际问题：某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元。如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？引导学生分析问题，找出等量关系，列出二元一次方程组并求解。
### （四）课堂小结（5分钟）
1. 与学生一起回顾本节课所学内容：
- 二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 代入消元法和加减消元法解二元一次方程组的步骤和方法。
- 用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
2. 强调重点和难点，鼓励学生在课后多做练习，巩固所学知识。
### （五）布置作业（5分钟）
1. 基础作业：课本课后练习题，用代入消元法和加减消元法解给定的二元一次方程组。
2. 拓展作业：寻找生活中的实际问题，用二元一次方程组来解决，并写成小报告形式。
## 五、教学反思
在本节课的教学过程中，要注重引导学生从实际问题出发，逐步理解二元一次方程组的相关概念和解法。在讲解代入消元法和加减消元法时，要让学生充分理解消元的思想，通过大量的练习让学生熟练掌握两种解法。同时，在解决实际问题时，要培养学生分析问题、找出等量关系的能力。在教学过程中，要关注学生的反应，及时调整教学节奏和方法，确保学生能够理解和掌握所学内容。
这份教案从导入到作业布置，涵盖教学各环节。你看看是否符合你的教学需求，若有调整方向，如增减某部分内容，可随时告诉我。
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
流氓兔比加菲猫大1岁
流氓兔年龄的2倍加上米老鼠的年龄之和比加菲猫大18岁
求
三
个
小
动
物
的年
龄
三个小动物年龄之和为26岁
问题1 题中有哪些未知量？你能找出哪些等量关系？
未知量
流氓兔的年龄
加菲猫的年龄
米老鼠的年龄
（1）流氓兔的年龄+加菲猫的年龄+米老鼠的年龄=26；
（2）流氓兔的年龄-1=加菲猫的年龄；
（3）2×流氓兔的年龄+米老鼠的年龄=加菲猫的年龄+18.
等量关系
知识点1 三元一次方程（组）
问题2 你能用学过的知识计算出三个小动物的年龄吗？
解：设流氓兔的年龄为x岁，加菲猫的年龄为y岁，则米老鼠的年龄为(26-x-y)岁.
根据题意，得
解得
所以 26-x-y=26-8-7=11.
答：流氓兔的年龄为8岁，加菲猫的年龄为7岁，米老鼠的年龄为11岁.
知识点1 三元一次方程（组）
(1)流氓兔的年龄+加菲猫的年龄+米老鼠的年龄=26
(2)流氓兔的年龄-1=加菲猫的年龄
(3)2×流氓兔的年龄+米老鼠的年龄=加菲猫的年龄+18
x+y+z=26.

x-1=y.

2x+z=y+18.

问题3 若设三个未知数，如何列方程组呢？
设流氓兔的年龄为x岁，加菲猫的年龄为y岁，米老鼠的年龄为z岁
知识点1 三元一次方程（组）
解：设流氓兔的年龄为x岁，加菲猫的年龄为y岁，米老鼠的年龄为z岁，根据题意，得
想一想：对比我们学过的二元一次方程和二元一次方程组，这三个方程及组成的方程组有什么特点？
知识点1 三元一次方程（组）
含有三个未知数，并且含未知数的项以及每个未知数的次数都是1的方程，叫作三元一次方程；
含有三个未知数，并且含未知数的项以及每个未知数的次数都是1的方程组，叫作三元一次方程组.
三元一次方程组中各方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解.
知识点1 三元一次方程（组）
问题1
解二元一次方程组的基本思想是什么？
问题2
解二元一次方程组的基本方法有哪些？
问题3
解二元一次方程组的基本步骤是怎样的？
消元
代入法
加减法
通过代入法或加减法进行消元
求未知数的值
写解
知识点2 三元一次方程组的解法



能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
怎样下面的方程组呢？
解：由方程②得 x=y+1. ④
把④分别代入①③得
2y+z=22. ⑤ 3y-z=18. ⑥
解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得
y=8，z=6.
把y=8代入④，得x=9.
所以原方程组的解是
x=9,
y=8,
z=6.
知识点2 三元一次方程组的解法
解：③+①，消去z之后，得方程组
②×2+⑤，得5x=45，解得 x=9，y=8，
将x=9，y=8代入①得z=6，
所以原方程组的解是
⑤
②
x=9,
y=8,
z=6.
例1 解方程组
①
②
③
解：由①，得
z=x-4. ④
将④分别代入②③，得
⑤
⑥
解这个二元一次方程组，得
将x=4代入由①，得
z=0.
所以,原方程组的解为
知识点2 三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 .
三元一次
方程组
二元一次
方程组
一元一次
方程
消元
消元
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程组
一元一次方程
知识点2 三元一次方程组的解法
1. 下列方程组是三元一次方程组的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
2. 解方程组 时，要使解法较为简便，应
先消去( )
A. B. C. D. 常数
B
返回
3. 教材P23例 已知三元一次方程组
经过步骤和 消去未
知数 后,得到的方程组是( )
A
A. B.
C. D.
返回
4. 若实数，，满足， ，
则， 之间具有的等量关系为( )
A
A. B.
C. D.
【点拨】，得 .
故选A.
返回
5.已知是三元一次方程，则 ___.
1
返回
6.已知单项式与 的和还是单项
式，则___，____， ___.
4
5
【点拨】
由题意知单项式与 是同类项，
所以
，得,即 ，④
，得，解得，把 代入④，得
,解得，把， 代入③，得
,解得 .
返回
7.解方程组：
【解】
把①代入②,得 ，④
联立方程组
由，得，解得 ，
把分别代入①③，得， ，
故原方程组的解为
三元一次方程组
概念
解法
含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组，叫做三元一次方程组.
通过消元，将“三元”转化为“二元”，再将“二元”转化为“一元”，通过求一元一次方程的解，进而求得二元一次方程组的解，最后求得三元一次方程组的解.
谢谢观看！