(共20张PPT)
冀教版2024教材数学七年级下册
7.1 命 题
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第七章 相交线与平行线
学习目标
1.了解命题、真命题和假命题的定义,结合具体实例，能区分命题的条件与结论.
2.了解反例的作用,知道利用反例可以说明一个命题是假命题.
我将为你设计一份详细的二元一次方程组教案，重点突出概念讲解、解法推导及实际应用，帮助学生深入理解和掌握相关知识。
# 二元一次方程组教案
## 一、教学目标
1. 知识与技能目标
- 理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 熟练掌握用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。
- 能根据实际问题列出二元一次方程组并求解，体会方程组是刻画现实世界中含有两个未知数的问题的有效数学模型。
2. 过程与方法目标
- 通过对实际问题的分析，经历从实际问题中抽象出数学模型的过程，提高分析问题和解决问题的能力。
- 在探索二元一次方程组解法的过程中，体会消元思想，培养学生的化归意识和运算能力。
3. 情感态度与价值观目标
- 感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
- 在合作交流中，培养学生的团队合作精神和创新意识。
## 二、教学重难点
1. **教学重点**
- 二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。
- 用二元一次方程组解决实际问题。
2. **教学难点**
- 理解消元思想，掌握消元的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程。
- 从实际问题中找出等量关系，列出二元一次方程组。
## 三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
## 四、教学过程
### （一）导入新课（5分钟）
1. 展示问题情境：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分。某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？
2. 引导学生思考：
- 你能根据问题中的等量关系列出方程吗？
- 如果设两个未知数，如何表示这些等量关系？
### （二）讲授新课（30分钟）
1. **二元一次方程的概念**
- 引导学生设胜x场，负y场，根据等量关系列出方程：x + y = 10，2x + y = 16。
- 观察这两个方程的特点，总结二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
- 举例让学生判断哪些是二元一次方程，如3x - 2y = 5，xy = 1等，加深对概念的理解。
2. **二元一次方程组的概念**
- 像这样把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
- 强调二元一次方程组中两个方程共含有两个相同的未知数。
3. **二元一次方程组的解**
- 让学生尝试找出满足方程组x + y = 10，2x + y = 16的x和y的值。
- 给出二元一次方程组的解的定义：一般地，使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
- 通过具体例子，让学生理解方程组的解是一对数，并且要同时满足方程组中的两个方程。
4. **代入消元法解二元一次方程组**
- 以方程组x + y = 10，2x + y = 16为例，讲解代入消元法。
- 分析：由方程x + y = 10可得y = 10 - x，将其代入方程2x + y = 16中，就可以消去y，得到一个关于x的一元一次方程。
- 详细讲解解题步骤：
- 由方程①得：y = 10 - x ③
- 把③代入②得：2x + (10 - x) = 16
- 解这个方程：2x + 10 - x = 16，x = 6
- 把x = 6代入③得：y = 10 - 6 = 4
- 所以方程组的解为x = 6，y = 4
- 总结代入消元法的步骤：
- 变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。
- 代入：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
- 求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
- 回代：将求得的未知数的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值。
- 写解：写出方程组的解。
5. **加减消元法解二元一次方程组**
- 给出方程组2x + 3y = 11，2x - 5y = -1，引导学生观察两个方程中x的系数相同。
- 讲解：可以将两个方程相减，消去x，得到关于y的一元一次方程。
- 具体步骤：
- 用方程① - ②得：(2x + 3y) - (2x - 5y) = 11 - (-1)
- 去括号得：2x + 3y - 2x + 5y = 11 + 1
- 合并同类项得：8y = 12
- 解得：y = 1.5
- 把y = 1.5代入①得：2x + 3×1.5 = 11
- 解这个方程得：2x = 11 - 4.5，2x = 6.5，x = 3.25
- 所以方程组的解为x = 3.25，y = 1.5
- 总结加减消元法的步骤：
- 观察：观察方程组中两个方程相同未知数的系数特点。
- 变形：如果相同未知数的系数相等或互为相反数，则直接进行加减消元；如果系数不相等也不互为相反数，通过乘以适当的数，使某个未知数的系数相等或互为相反数。
- 加减：将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
- 求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
- 回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的一个方程，求出另一个未知数的值。
- 写解：写出方程组的解。
### （三）课堂练习（15分钟）
1. 给出一些二元一次方程、二元一次方程组，让学生判断并说明理由。
2. 用代入消元法和加减消元法解简单的二元一次方程组，如x - y = 3，3x - 8y = 14等，找学生板演，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。
3. 出示一道实际问题：某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元。如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？引导学生分析问题，找出等量关系，列出二元一次方程组并求解。
### （四）课堂小结（5分钟）
1. 与学生一起回顾本节课所学内容：
- 二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 代入消元法和加减消元法解二元一次方程组的步骤和方法。
- 用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
2. 强调重点和难点，鼓励学生在课后多做练习，巩固所学知识。
### （五）布置作业（5分钟）
1. 基础作业：课本课后练习题，用代入消元法和加减消元法解给定的二元一次方程组。
2. 拓展作业：寻找生活中的实际问题，用二元一次方程组来解决，并写成小报告形式。
## 五、教学反思
在本节课的教学过程中，要注重引导学生从实际问题出发，逐步理解二元一次方程组的相关概念和解法。在讲解代入消元法和加减消元法时，要让学生充分理解消元的思想，通过大量的练习让学生熟练掌握两种解法。同时，在解决实际问题时，要培养学生分析问题、找出等量关系的能力。在教学过程中，要关注学生的反应，及时调整教学节奏和方法，确保学生能够理解和掌握所学内容。
这份教案从导入到作业布置，涵盖教学各环节。你看看是否符合你的教学需求，若有调整方向，如增减某部分内容，可随时告诉我。
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
比较下列语句，想一想它们之间有什么共同点？
(1) 如果x=1是方程 x+3=m 的解，那么 m=4.
(2) 两个锐角之和是钝角.
(3) 同角的余角相等.
(4) 两个负数，绝对值大的反而小.
(5) 负数与负数的差仍是负数.
(6) 负数的奇次幂是负数.
都是对一件事情作出判断的句子.
能够进行肯定或者否定判断的语句，叫作命题.
知识点
命题
1
1. 命题 能够进行肯定或否定判断的语句，叫作命题 .
特别解读：(1)命题只是对事情进行判断，判断的结果可能是正确的，也可能是错误的；
(2)命题必须是一个完整的句子，不能是一个词语；
(3)命题必须具有“判断”作用，要对事情作出肯定或否定的判断，故命题不能是祈使句或疑问句 .
例1 判断下列语句是不是命题.
(1)画线段AB=2cm；
(2)你喜欢画画吗
(3)分数一定是有理数；
(4)同角的补角相等；
(5)两个锐角互余.
不是.
不是.
是.
是.
是.
易错提示：一个词语、疑问句、感叹句、祈使句以及表示画图的语句都不是命题.
知识点1 命题的相关概念
知1－讲
2. 命题的结构 一般地，命题是由条件 和 结 论 两 部 分 组 成的 . 条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项 .
知1－练
例 1
把 下 列 命题改写成“如果……那么……”的形式 .
（1）正数的相反数是负数；
（2）两个锐角互余；
（3）同角或等角的余角相等 .
考向：利用命题的结构解决问题
知1－练
解题秘方：紧扣命题的结构进行改写 .
解：（1）如果一个数是正数，那么这个数的相反数是负数 .
（2）如果两个角是锐角，那么这两个角互余 .
（3）如果两个角是同一个角的余角或两个相等的角的余角，那么这两个角相等 .
（1）正方形的对边相等.
（2）连接A，B两点.
（3）相等的两个角是锐角.
（4）已知∠ABC=40°，∠ABD=50°，则∠CBD=90°.
（5）同角的补角相等.
做一做
下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请你将先将它改写为“如果······那么······”的形式，再指出命题的条件和结论.
是
是
是
是
知识点2 真命题、假命题、反例
知识点2 真命题、假命题、反例
要说明一个命题是真命题，需要说明理由；要判断一个命题是假命题，只要举出一个符合命题条件但不符合命题结论的例子就可以了，这样的例子叫作反例.
知2－讲
知识点
判断命题的真假
2
1. 真命题和假命题 我们把正确的命题叫作真命题，例如“直角相等”“负数的相反数是正数”等；把不正确的命题叫作假命题，例如“相等的角是直角”“如果a2=b2，那么a=b”等.
注意：命题的真假与该命题的陈述语气是肯定还是否定没有必然的联系.
知2－练
指出下列命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题.（1）互为补角的两个角相等；（2）若a=b，则a+c=b+c；（3）如果两个长方形的周长相等，那么这两个长方形的面积相等.
例 2
解题秘方：紧扣命题的结构和真命题、假命题的定义进行解题.
考向：判断命题的真假
知2－练
解：（1）条件：两个角互为补角.
结论：这两个角相等. 假命题.
（2）条件：a=b. 结论：a+c=b+c. 真命题.
（3）条件：两个长方形的周长相等.
结论：这两个长方形的面积相等. 假命题.
1. 下列语句是命题的是( )
B
A. 画一条直线 B. 正数都大于零
C. 多彩的青春 D. 明天是晴天吗？
2. 命题“整数一定是有理数”的结论是( )
D
A. 整数 B. 有理数
C. 一个数是整数 D. 这个数一定是有理数
返回
3. 命题“等角的补角相等”中的“等角的补角”( )
A
A. 属于条件部分
B. 既属于条件部分也属于结论部分
C. 属于结论部分
D. 既不属于条件部分也不属于结论部分
返回
4. 用一个的值说明命题“若，则 ”是错误的，这
个 的值可以是( )
C
A. 2 B. 1 C. D.
【点拨】当时，，，.因为 ，所以
，所以命题“若，则 ”是错误的.故选C.
返回
5. 已知命题“若，则 ”，下列说法正确的是
( )
D
A. 它是真命题
B. 它是假命题，反例：，
C. 它是假命题，反例：，
D. 它是假命题，反例：，
6.把“互为相反数的两个数的和为零”改写成“如果……那
么……”的形式是______________________________________
______.
如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零
返回
7.命题“石家庄是河北省的省会”是________（填“真命题”或
“假命题”）.
真命题
返回
定义
能够进行肯定或否定判断的语句
表达形式
如果……那么……
命题
组成
条件：已知事项
结论：由已知事项推出的事项
分类
真命题
假命题
反例
谢谢观看！(共25张PPT)
冀教版2024教材数学七年级下册
7.1.2 命 题
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第七章 相交线与平行线
学习目标
1.知道判断命题的真假需要说明理由，能对真命题的成立进行简单的说理，培养逻辑推理能力.
2.了解基本事实与定理的含义，知道定义、基本事实、定理等都可以作为判断推理的依据.
我将为你设计一份详细的二元一次方程组教案，重点突出概念讲解、解法推导及实际应用，帮助学生深入理解和掌握相关知识。
# 二元一次方程组教案
## 一、教学目标
1. 知识与技能目标
- 理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 熟练掌握用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。
- 能根据实际问题列出二元一次方程组并求解，体会方程组是刻画现实世界中含有两个未知数的问题的有效数学模型。
2. 过程与方法目标
- 通过对实际问题的分析，经历从实际问题中抽象出数学模型的过程，提高分析问题和解决问题的能力。
- 在探索二元一次方程组解法的过程中，体会消元思想，培养学生的化归意识和运算能力。
3. 情感态度与价值观目标
- 感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
- 在合作交流中，培养学生的团队合作精神和创新意识。
## 二、教学重难点
1. **教学重点**
- 二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。
- 用二元一次方程组解决实际问题。
2. **教学难点**
- 理解消元思想，掌握消元的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程。
- 从实际问题中找出等量关系，列出二元一次方程组。
## 三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
## 四、教学过程
### （一）导入新课（5分钟）
1. 展示问题情境：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分。某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？
2. 引导学生思考：
- 你能根据问题中的等量关系列出方程吗？
- 如果设两个未知数，如何表示这些等量关系？
### （二）讲授新课（30分钟）
1. **二元一次方程的概念**
- 引导学生设胜x场，负y场，根据等量关系列出方程：x + y = 10，2x + y = 16。
- 观察这两个方程的特点，总结二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
- 举例让学生判断哪些是二元一次方程，如3x - 2y = 5，xy = 1等，加深对概念的理解。
2. **二元一次方程组的概念**
- 像这样把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
- 强调二元一次方程组中两个方程共含有两个相同的未知数。
3. **二元一次方程组的解**
- 让学生尝试找出满足方程组x + y = 10，2x + y = 16的x和y的值。
- 给出二元一次方程组的解的定义：一般地，使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
- 通过具体例子，让学生理解方程组的解是一对数，并且要同时满足方程组中的两个方程。
4. **代入消元法解二元一次方程组**
- 以方程组x + y = 10，2x + y = 16为例，讲解代入消元法。
- 分析：由方程x + y = 10可得y = 10 - x，将其代入方程2x + y = 16中，就可以消去y，得到一个关于x的一元一次方程。
- 详细讲解解题步骤：
- 由方程①得：y = 10 - x ③
- 把③代入②得：2x + (10 - x) = 16
- 解这个方程：2x + 10 - x = 16，x = 6
- 把x = 6代入③得：y = 10 - 6 = 4
- 所以方程组的解为x = 6，y = 4
- 总结代入消元法的步骤：
- 变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。
- 代入：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
- 求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
- 回代：将求得的未知数的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值。
- 写解：写出方程组的解。
5. **加减消元法解二元一次方程组**
- 给出方程组2x + 3y = 11，2x - 5y = -1，引导学生观察两个方程中x的系数相同。
- 讲解：可以将两个方程相减，消去x，得到关于y的一元一次方程。
- 具体步骤：
- 用方程① - ②得：(2x + 3y) - (2x - 5y) = 11 - (-1)
- 去括号得：2x + 3y - 2x + 5y = 11 + 1
- 合并同类项得：8y = 12
- 解得：y = 1.5
- 把y = 1.5代入①得：2x + 3×1.5 = 11
- 解这个方程得：2x = 11 - 4.5，2x = 6.5，x = 3.25
- 所以方程组的解为x = 3.25，y = 1.5
- 总结加减消元法的步骤：
- 观察：观察方程组中两个方程相同未知数的系数特点。
- 变形：如果相同未知数的系数相等或互为相反数，则直接进行加减消元；如果系数不相等也不互为相反数，通过乘以适当的数，使某个未知数的系数相等或互为相反数。
- 加减：将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
- 求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
- 回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的一个方程，求出另一个未知数的值。
- 写解：写出方程组的解。
### （三）课堂练习（15分钟）
1. 给出一些二元一次方程、二元一次方程组，让学生判断并说明理由。
2. 用代入消元法和加减消元法解简单的二元一次方程组，如x - y = 3，3x - 8y = 14等，找学生板演，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。
3. 出示一道实际问题：某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元。如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？引导学生分析问题，找出等量关系，列出二元一次方程组并求解。
### （四）课堂小结（5分钟）
1. 与学生一起回顾本节课所学内容：
- 二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 代入消元法和加减消元法解二元一次方程组的步骤和方法。
- 用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
2. 强调重点和难点，鼓励学生在课后多做练习，巩固所学知识。
### （五）布置作业（5分钟）
1. 基础作业：课本课后练习题，用代入消元法和加减消元法解给定的二元一次方程组。
2. 拓展作业：寻找生活中的实际问题，用二元一次方程组来解决，并写成小报告形式。
## 五、教学反思
在本节课的教学过程中，要注重引导学生从实际问题出发，逐步理解二元一次方程组的相关概念和解法。在讲解代入消元法和加减消元法时，要让学生充分理解消元的思想，通过大量的练习让学生熟练掌握两种解法。同时，在解决实际问题时，要培养学生分析问题、找出等量关系的能力。在教学过程中，要关注学生的反应，及时调整教学节奏和方法，确保学生能够理解和掌握所学内容。
这份教案从导入到作业布置，涵盖教学各环节。你看看是否符合你的教学需求，若有调整方向，如增减某部分内容，可随时告诉我。
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
如何证实一个命题是真命题呢？
用我们以前学过的观察,实验,验证特例等方法.
这些方法往往并不可靠.
那已经知道的真命题又是如何证实的
能不能根据已经知道的真命题证实呢
哦……那可
怎么办
观察与思考
问题1 在图1中，AB和CD是直线吗？请你先观察，后判断，然后利用直尺验证你的结论是否正确.
图1
A
B
C
D
AB是直线；
CD是直线.
知识点1 说理
问题2 在图2中，(1)和(2)两图中间的两个正六边形大小一样吗？
请你先观察，后判断，然后利用叠合法证明你的判断是否正确.
图2
(1)
(2)
(1)和(2)两图中间的两个正六边形大小一样.
知识点1 说理
问题3 如果a=-b,那么a2=b2.由此得出：当a=-b时，a3=b3.你认为后一个命题正确吗？为什么？
后一个命题不正确.
说明：设a=1,b=-1,则a=-b.(符合命题的条件）
则a3=13=1,b3=(-1)3=-1,则a3≠b3.(不符合命题的结论）
所以命题“当a=-b时，a3=b3”是个假命题.
知识点1 说理
知识点1 说理
知3－讲
知识点
命题的说理
3
1. 说理 要判断一个命题是真命题需要说明理由，这个过程就是说理.
2. 演绎推理 依据已有的事实(包括定义、基本事实、真命题)，按照确定的规则，得到某个具体结论的推理就是演绎推理.
3. 定理 有些真命题，它们的正确性已经过演绎推理得到证实，并被作为判定其他命题真假的依据，这些命题称为定理.
知3－练
阅读下面命题及其说理的过程，在括号内填上推理的依据 .
命 题：如图7.1-1，直线 AB，CD
相交于点 O，那 么∠ 1= ∠ 2 .
例 3
考向：利用已学过的基本事实或定理填写推理的依据
知3－练
理由：因为∠1+ ∠AOD=180° ( ) ，
∠ 2+ ∠AOD=180° ( ) ，
所以∠ 1+ ∠AOD= ∠ 2+ ∠AOD ( ) ，
所以∠ 1= ∠ 2 ( )
我们学过的基本事实有哪些呢？
知识点2 定理与演绎推理
在修建公路时，有时需将弯路改直，缩短路程，这是根据什么基本事实？
两点之间，线段最短.
知识点2 定理与演绎推理
过平面上的两点，有且只有一条直线.
射击的时候瞄准目标
是依据什么基本事实？
知识点2 定理与演绎推理
依据已有的事实（包括定义、基本事实、真命题），按照确定的规则，得到某个具体的结论的推理就是演绎推理.
有些真命题，它们的正确性已经过演绎推理得到证实，并被作为判定其他命题真假的依据，这些命题称为定理.
知识点2 定理与演绎推理
1. “有一个角是直角的三角形是直角三角形”是( )
C
A. 基本事实 B. 定理 C. 定义 D. 条件
2. 下列说法中错误的是( )
C
A. 定理是真命题
B. 基本事实一定不是假命题
C. 基本事实与定理没有区别
D. 定义、定理、基本事实等都是进行推理的依据
返回
3.下列语句，是定理的为________，是基本事实的为____，
是定义的为____（填序号）.
①两点之间，线段最短；②等角的余角相等；③对应点到旋
转中心的距离相等；④单项式中的数字因数叫作这个单项式
的系数；⑤如果，那么 .
②③⑤
①
④
返回
4.试说明“若 ， ，
，则 ”是真命题.
以下是排乱的说理过程：
①因为 （已知）；
②因为 ， （已知）；
③所以， （等式的基本性质）；
④所以 （等量代换）；
⑤所以 （等量代换）.
正确的顺序应是____________（填序号）.
②③①⑤④
返回
5. 教材P37习题T3 阅读下面命题及说理过程,在括号里
填上依据：
命题：如图， ，
平分，平分 ，那么
.
已知
理由：因为平分，平分 ，（______）
所以， . （
________________）
又因为 ，（______）
所以 . （__________）
角平分线的定义
已知
等量代换
返回
6. 教材P35例2 如图，是线段上一点， 是线段
的中点，试探究与 之间的大小关系，并简要
说明理由.
【解】 .
理由：因为是线段的中点，所以 .
因为是线段上一点，所以 .
所以 .
所以 .
返回
7.一个三位数，将该数的个位数字移到百位上，得到一个新
的三位数.试说明新三位数与原三位数之差的绝对值一定能被
9整除.
【解】设这个三位数的百位数字是，十位数字是 ，个位数
字是，所以这个三位数为 .
因为将该数的个位数字移到百位上，得到一个新的三位数,
所以这个新的三位数为 .
因为 ,
所以新三位数与原三位数之差的绝对值一定能被9整除.
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说理
演绎推理
定理
依据已有的事实，按照确定的规则，得到 某个具体结论的推理
有些真命题，它们的正确性已经过演绎推理得到证实，并被作为判定其他命题真假的依据
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