(共32张PPT)
冀教版2024教材数学七年级下册
7.5.1 平行线的性质
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第七章 相交线与平行线
学习目标
经历探索平行线性质定理的过程,理解并掌握平行线的性质定理,体会转化思想.
我将为你设计一份详细的二元一次方程组教案，重点突出概念讲解、解法推导及实际应用，帮助学生深入理解和掌握相关知识。
# 二元一次方程组教案
## 一、教学目标
1. 知识与技能目标
- 理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 熟练掌握用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。
- 能根据实际问题列出二元一次方程组并求解，体会方程组是刻画现实世界中含有两个未知数的问题的有效数学模型。
2. 过程与方法目标
- 通过对实际问题的分析，经历从实际问题中抽象出数学模型的过程，提高分析问题和解决问题的能力。
- 在探索二元一次方程组解法的过程中，体会消元思想，培养学生的化归意识和运算能力。
3. 情感态度与价值观目标
- 感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
- 在合作交流中，培养学生的团队合作精神和创新意识。
## 二、教学重难点
1. **教学重点**
- 二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。
- 用二元一次方程组解决实际问题。
2. **教学难点**
- 理解消元思想，掌握消元的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程。
- 从实际问题中找出等量关系，列出二元一次方程组。
## 三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
## 四、教学过程
### （一）导入新课（5分钟）
1. 展示问题情境：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分。某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？
2. 引导学生思考：
- 你能根据问题中的等量关系列出方程吗？
- 如果设两个未知数，如何表示这些等量关系？
### （二）讲授新课（30分钟）
1. **二元一次方程的概念**
- 引导学生设胜x场，负y场，根据等量关系列出方程：x + y = 10，2x + y = 16。
- 观察这两个方程的特点，总结二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
- 举例让学生判断哪些是二元一次方程，如3x - 2y = 5，xy = 1等，加深对概念的理解。
2. **二元一次方程组的概念**
- 像这样把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
- 强调二元一次方程组中两个方程共含有两个相同的未知数。
3. **二元一次方程组的解**
- 让学生尝试找出满足方程组x + y = 10，2x + y = 16的x和y的值。
- 给出二元一次方程组的解的定义：一般地，使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
- 通过具体例子，让学生理解方程组的解是一对数，并且要同时满足方程组中的两个方程。
4. **代入消元法解二元一次方程组**
- 以方程组x + y = 10，2x + y = 16为例，讲解代入消元法。
- 分析：由方程x + y = 10可得y = 10 - x，将其代入方程2x + y = 16中，就可以消去y，得到一个关于x的一元一次方程。
- 详细讲解解题步骤：
- 由方程①得：y = 10 - x ③
- 把③代入②得：2x + (10 - x) = 16
- 解这个方程：2x + 10 - x = 16，x = 6
- 把x = 6代入③得：y = 10 - 6 = 4
- 所以方程组的解为x = 6，y = 4
- 总结代入消元法的步骤：
- 变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。
- 代入：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
- 求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
- 回代：将求得的未知数的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值。
- 写解：写出方程组的解。
5. **加减消元法解二元一次方程组**
- 给出方程组2x + 3y = 11，2x - 5y = -1，引导学生观察两个方程中x的系数相同。
- 讲解：可以将两个方程相减，消去x，得到关于y的一元一次方程。
- 具体步骤：
- 用方程① - ②得：(2x + 3y) - (2x - 5y) = 11 - (-1)
- 去括号得：2x + 3y - 2x + 5y = 11 + 1
- 合并同类项得：8y = 12
- 解得：y = 1.5
- 把y = 1.5代入①得：2x + 3×1.5 = 11
- 解这个方程得：2x = 11 - 4.5，2x = 6.5，x = 3.25
- 所以方程组的解为x = 3.25，y = 1.5
- 总结加减消元法的步骤：
- 观察：观察方程组中两个方程相同未知数的系数特点。
- 变形：如果相同未知数的系数相等或互为相反数，则直接进行加减消元；如果系数不相等也不互为相反数，通过乘以适当的数，使某个未知数的系数相等或互为相反数。
- 加减：将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
- 求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
- 回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的一个方程，求出另一个未知数的值。
- 写解：写出方程组的解。
### （三）课堂练习（15分钟）
1. 给出一些二元一次方程、二元一次方程组，让学生判断并说明理由。
2. 用代入消元法和加减消元法解简单的二元一次方程组，如x - y = 3，3x - 8y = 14等，找学生板演，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。
3. 出示一道实际问题：某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元。如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？引导学生分析问题，找出等量关系，列出二元一次方程组并求解。
### （四）课堂小结（5分钟）
1. 与学生一起回顾本节课所学内容：
- 二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 代入消元法和加减消元法解二元一次方程组的步骤和方法。
- 用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
2. 强调重点和难点，鼓励学生在课后多做练习，巩固所学知识。
### （五）布置作业（5分钟）
1. 基础作业：课本课后练习题，用代入消元法和加减消元法解给定的二元一次方程组。
2. 拓展作业：寻找生活中的实际问题，用二元一次方程组来解决，并写成小报告形式。
## 五、教学反思
在本节课的教学过程中，要注重引导学生从实际问题出发，逐步理解二元一次方程组的相关概念和解法。在讲解代入消元法和加减消元法时，要让学生充分理解消元的思想，通过大量的练习让学生熟练掌握两种解法。同时，在解决实际问题时，要培养学生分析问题、找出等量关系的能力。在教学过程中，要关注学生的反应，及时调整教学节奏和方法，确保学生能够理解和掌握所学内容。
这份教案从导入到作业布置，涵盖教学各环节。你看看是否符合你的教学需求，若有调整方向，如增减某部分内容，可随时告诉我。
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
复习 根据右图，填空：
①如果∠1＝∠C，
那么 ∥ （ ）.
② 如果∠1＝∠B ，
那么 ∥ （ ）.
③ 如果∠2＋∠B＝180°，
那么 ∥ （ ）.
AB
CD
EC
BD
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
EC
BD
同旁内角互补，两直线平行
问题：通过上题可知平行线的判定方法是什么？
思考：反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
探究
如图，画两条平行线a∥b，然后任意画一条截线与这两条平行线相交，度量所形成的八个角的度数.
∠1，∠2，，∠8中，哪些是同位角？它们的度数有什么关系？由此猜想两条平行线被第三直线截得的同位角有什么关系？
知识点 平行线的性质定理
可以发现，改变截线c的位置过程中：
∠1=∠5，
∠2=∠6，
∠3=∠7，
∠4=∠8，
当a∥b，同位角总是相等的.
知识点 平行线的性质定理
一般地，平行线具有性质：
性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简称为：两直线平行，同位角相等.
a
b
c
2
1
符号语言：
性质1：∵ a//b，
∴∠1=∠2.
知识点 平行线的性质定理
例1 如图，D，E，F分别是三角形ABC三条边上的点，EF//AC，DF//AB，∠B=45°，∠C=60°.则∠EFD等于( )
A.80° B.75° C.70° D.65°
分析：根据平行线的性质1求角度，要先找己知度数的角的同位角，再找这个同位角与要求角的关系，继而求出结果.本题的隐含条件是平角等于180°.
知识点 平行线的性质定理
例1 如图，D，E，F分别是三角形ABC三条边上的点，EF//AC，DF//AB，∠B=45°，∠C=60°.则∠EFD等于( )
A.80° B.75° C.70° D.65°
B
解析：∵EF//AC，
∴∠EFB=∠C=60°(两直线平行，同位角相等).
∵ DF//AB，
∴∠DFC=∠B=45°(两直线平行，同位角相等).
∴∠EFD = 180°-∠EFB-∠DFC = 180°-60°-45°=75°.
知识点 平行线的性质定理
A
B
C
D
E
F
2
1
3
命题1 如图，直线AB∥CD,AB，CD 被直线EF所截，则∠1=∠2.
理由： ∵ AB∥CD ( ),
∴ ∠1=∠3
( ).
∵ ∠2=∠3 ( ),
∴∠1=∠2 ( ).
已知
两直线平行，同位角相等
对顶角相等
等量代换
知识点 平行线的性质定理
这样就得到了平行线的另一个性质：
性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称为：两直线平行，内错角相等.
符号语言：
性质2：∵ a//b，
∴∠1=∠3.
知识点 平行线的性质定理
例2 如图，已知AD//BC，∠B= 40°，∠DEC= 70°，
求∠BDE的度数.
分析：利用平行线的性质求角度，常通过寻找“中间角”作为“桥梁”，“中间角”和己知角与要求的角之间是同位角、内错角、补角、对顶角等关系.
知识点 平行线的性质定理
例2 如图，已知AD//BC，∠B= 40°，∠DEC= 70°，
求∠BDE的度数.
解：∵AD//BC，∠B=40°，∠DEC=70°，
∴∠ADB=∠B= 40°，
∠ADE=∠DEC=70°(两直线平行，内错角相等)，
∴∠BDE=∠ADE-∠ADB=70°- 40°=30°.
知识点 平行线的性质定理
A
B
C
D
E
F
4
1
3
2
命题2 如图，直线AB∥CD,AB，CD被直线EF所截，则∠1+∠2=180°.
理由：
∵ AB∥CD （ ），
∴ ∠1=∠3 ( ) .
∵∠3+∠2=180 °（ ），
∴ ∠1+∠2=180°（ ）.
已知
两直线平行，同位角相等
平角的定义
等量代换
知识点 平行线的性质定理
这样就得到了平行线的另一个性质：
性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简称为：两直线平行，同旁内角互补.
符号语言：
性质3：∵ a//b，
∴∠1+∠4=180°.
知识点 平行线的性质定理
例3 如图，若AB//DE，BC//EF，求∠B+∠E的度数.
解：∵AB//DE (已知)，
∴∠B=∠BCE(两直线平行，内错角相等 ).
∵BC//EF(已知) ，
∴∠BCE+∠E=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∴∠B+∠E=180°(等量代换).
易错提醒： 平行线的性质使用的前提条件是“两直线平行”，注意在使用平行线的性质3解题时，避免受思维定式的影响，出现“两直线平行，同旁内角相等”的错误.
知识点 平行线的性质定理
例4 如图,a∥b,c∥d, ∠1=73°.求∠2和∠3的度数.
a
b
c
d
1
2
3
解：∵a∥b (已知),
∴ ∠1=∠2(两直线平行，内错角相等).
∵ ∠1=73°(已知),
∴ ∠2=73°(等量代换).
∵c∥d (已知),
∴ ∠2+∠3=180°(两直线平行，同旁内角互补).
∴ ∠3=180°－∠2 (等式的基本性质).
∴ ∠3=180°－73°=107°(等量代换).
知识点 平行线的性质定理
1. 如图，，若 ，则
的度数为( )
C
（第1题）
A. B. C. D.
返回
2. [2024承德期末] 如图，是的平分线， 交
于点，若 ，则 的度数为( )
C
（第2题）
A. B. C. D.
返回
3. [2024保定期末] 一把直尺按如图所示的方式摆放，
，且 ，则 的度数是( )
A
（第3题）
A. B. C. D.
返回
4.如图，直角三角形中， ，过点 且平
行于，若 ，则 的度数为____.
（第4题）
返回
5.如图，，， ，则 的度数为
____.
（第5题）
返回
6.[2024衡水校级月考] 如图，已知，直线与， 分别
相交于，两点，把一块含 角的三角板按如图位置摆放.
若 ，则 ____.
（第6题）
返回
7.某县积极推进“乡村振兴计划”，要对一段水渠进行
扩建.如图，已知现有水渠从地沿北偏东 的方
向到地，又从地沿北偏西 的方向到 地.现要
从地出发修建一段新渠，使，求
的度数.
【解】地在地的北偏东 方向上，地在 地北偏西
方向上， .
， .
返回
（第8题）
8. 如图，直线，直线与， 分
别相交于点， ，下列式子中表述正确的
是( )
D
A.
B.
C.
D.
（第8题）
【点拨】 ，
，
.
.故选D.
返回
（第9题）
9. 如图，一束光线 先后经
平面镜，反射后，光线与 平行，
已知 ， ，
，则 的度数是____.
（第9题）
【点拨】 ， ，
.
.
， ，
. ，
.
返回
（第10题）
10.[2024保定期末] 如图，
，则，， 之间的
数量关系为____________________.
【点拨】 ，
， .
返回
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
两直线平行，同位角相等
平行线的性质
平行线的判定
条件结论互换
谢谢观看！(共27张PPT)
冀教版2024教材数学七年级下册
7.5.2 平行线的性质
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第七章 相交线与平行线
学习目标
1.了解“平行于同一条直线的两条直线平行”,并能综合运用平行线的判定和性质定理，提高推理能力.
3.理解平行线的性质与判定在条件和结论上的区别,体会互逆的思维过程.
我将为你设计一份详细的二元一次方程组教案，重点突出概念讲解、解法推导及实际应用，帮助学生深入理解和掌握相关知识。
# 二元一次方程组教案
## 一、教学目标
1. 知识与技能目标
- 理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 熟练掌握用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。
- 能根据实际问题列出二元一次方程组并求解，体会方程组是刻画现实世界中含有两个未知数的问题的有效数学模型。
2. 过程与方法目标
- 通过对实际问题的分析，经历从实际问题中抽象出数学模型的过程，提高分析问题和解决问题的能力。
- 在探索二元一次方程组解法的过程中，体会消元思想，培养学生的化归意识和运算能力。
3. 情感态度与价值观目标
- 感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
- 在合作交流中，培养学生的团队合作精神和创新意识。
## 二、教学重难点
1. **教学重点**
- 二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。
- 用二元一次方程组解决实际问题。
2. **教学难点**
- 理解消元思想，掌握消元的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程。
- 从实际问题中找出等量关系，列出二元一次方程组。
## 三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
## 四、教学过程
### （一）导入新课（5分钟）
1. 展示问题情境：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分。某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？
2. 引导学生思考：
- 你能根据问题中的等量关系列出方程吗？
- 如果设两个未知数，如何表示这些等量关系？
### （二）讲授新课（30分钟）
1. **二元一次方程的概念**
- 引导学生设胜x场，负y场，根据等量关系列出方程：x + y = 10，2x + y = 16。
- 观察这两个方程的特点，总结二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
- 举例让学生判断哪些是二元一次方程，如3x - 2y = 5，xy = 1等，加深对概念的理解。
2. **二元一次方程组的概念**
- 像这样把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
- 强调二元一次方程组中两个方程共含有两个相同的未知数。
3. **二元一次方程组的解**
- 让学生尝试找出满足方程组x + y = 10，2x + y = 16的x和y的值。
- 给出二元一次方程组的解的定义：一般地，使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
- 通过具体例子，让学生理解方程组的解是一对数，并且要同时满足方程组中的两个方程。
4. **代入消元法解二元一次方程组**
- 以方程组x + y = 10，2x + y = 16为例，讲解代入消元法。
- 分析：由方程x + y = 10可得y = 10 - x，将其代入方程2x + y = 16中，就可以消去y，得到一个关于x的一元一次方程。
- 详细讲解解题步骤：
- 由方程①得：y = 10 - x ③
- 把③代入②得：2x + (10 - x) = 16
- 解这个方程：2x + 10 - x = 16，x = 6
- 把x = 6代入③得：y = 10 - 6 = 4
- 所以方程组的解为x = 6，y = 4
- 总结代入消元法的步骤：
- 变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。
- 代入：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
- 求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
- 回代：将求得的未知数的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值。
- 写解：写出方程组的解。
5. **加减消元法解二元一次方程组**
- 给出方程组2x + 3y = 11，2x - 5y = -1，引导学生观察两个方程中x的系数相同。
- 讲解：可以将两个方程相减，消去x，得到关于y的一元一次方程。
- 具体步骤：
- 用方程① - ②得：(2x + 3y) - (2x - 5y) = 11 - (-1)
- 去括号得：2x + 3y - 2x + 5y = 11 + 1
- 合并同类项得：8y = 12
- 解得：y = 1.5
- 把y = 1.5代入①得：2x + 3×1.5 = 11
- 解这个方程得：2x = 11 - 4.5，2x = 6.5，x = 3.25
- 所以方程组的解为x = 3.25，y = 1.5
- 总结加减消元法的步骤：
- 观察：观察方程组中两个方程相同未知数的系数特点。
- 变形：如果相同未知数的系数相等或互为相反数，则直接进行加减消元；如果系数不相等也不互为相反数，通过乘以适当的数，使某个未知数的系数相等或互为相反数。
- 加减：将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
- 求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
- 回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的一个方程，求出另一个未知数的值。
- 写解：写出方程组的解。
### （三）课堂练习（15分钟）
1. 给出一些二元一次方程、二元一次方程组，让学生判断并说明理由。
2. 用代入消元法和加减消元法解简单的二元一次方程组，如x - y = 3，3x - 8y = 14等，找学生板演，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。
3. 出示一道实际问题：某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元。如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？引导学生分析问题，找出等量关系，列出二元一次方程组并求解。
### （四）课堂小结（5分钟）
1. 与学生一起回顾本节课所学内容：
- 二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 代入消元法和加减消元法解二元一次方程组的步骤和方法。
- 用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
2. 强调重点和难点，鼓励学生在课后多做练习，巩固所学知识。
### （五）布置作业（5分钟）
1. 基础作业：课本课后练习题，用代入消元法和加减消元法解给定的二元一次方程组。
2. 拓展作业：寻找生活中的实际问题，用二元一次方程组来解决，并写成小报告形式。
## 五、教学反思
在本节课的教学过程中，要注重引导学生从实际问题出发，逐步理解二元一次方程组的相关概念和解法。在讲解代入消元法和加减消元法时，要让学生充分理解消元的思想，通过大量的练习让学生熟练掌握两种解法。同时，在解决实际问题时，要培养学生分析问题、找出等量关系的能力。在教学过程中，要关注学生的反应，及时调整教学节奏和方法，确保学生能够理解和掌握所学内容。
这份教案从导入到作业布置，涵盖教学各环节。你看看是否符合你的教学需求，若有调整方向，如增减某部分内容，可随时告诉我。
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
同位角相等
或内错角相等
或同旁内角互补
复习 你知道平行线的判定和性质吗？
两直线平行
判定
性质
理由：∵∠1=∠2(已知),
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行).
∴∠3=∠4(两直线平行，内错角相等).
例1 已知：如图，∠1=∠2．请说明∠3=∠4的理由.
1
3
2
4
D
A
C
B
分析：∠1和∠2是直线AB，CD被直线BD所截得的内错角，由∠1=∠2可得AB∥CD.∠3和∠4是直线AB，CD被直线AC所截得的内错角，由AB∥CD，可得∠3=∠4.
知识点1 平行线的判定与性质的综合运用
a
b
c
d
1
2
3
分析：由于∠2和∠3是直线c与d被直线b所截形成的同位角，所以如果能推出∠2=∠3，就可以判断直线c和d是平行的.
而已知∠1=∠3，所以只需由直线a∥b,推出∠1=∠2.
例2 如图，已知直线a∥b，∠1=∠3，那么直线c与d平行吗？
为什么？
知识点1 平行线的判定与性质的综合运用
解：直线c与d平行.理由如下：
如图，∵a∥b，
∴∠1=∠2(两直线平行，内错角相等).
又∠1=∠3，
∴∠2=∠3.
∴c∥d (同位角相等，两直线平行).
例2 如图，已知直线a∥b，∠1=∠3，那么直线c与d平行吗？
为什么？
a
b
c
d
1
2
3
知识点1 平行线的判定与性质的综合运用
与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合应用，主要体现在以下两个方面：
1. 由角定角
已知角的关系
两直线平行
确定其他角的关系
2. 由线定线
已知两直线平行
角的关系
确定其他两直线平行
判定
性质
判定
性质
知识点1 平行线的判定与性质的综合运用
例3 如图，∠1=∠2，∠3=50°，∠ABC等于多少度？
B
C
A
a
1
2
3
b
分析：由于∠3的大小是已知的，所以可以尝试推导∠ABC与∠3的大小关系.
而由已知条件∠1=∠2，可以推出a∥b，从而可以得到∠ABC=∠3.
知识点1 平行线的判定与性质的综合运用
例3 如图，∠1=∠2，∠3=50°，∠ABC等于多少度？
B
C
A
a
1
2
3
b
解：∵∠1=∠2，
∴a∥b (内错角相等，两直线平行).
∴∠3=∠ABC (两直线平行，同位角相等).
又∠3=50°，
∴∠ABC=50°.
知识点1 平行线的判定与性质的综合运用
例 4 如图，∠1=80°，∠2=100°，且AC∥DF，探索∠C与∠D的数量关系并说明理由．
A
B
C
D
E
F
1
2
解：∠C=∠D，理由如下：
∵∠1=80°，∠2=100°，
∴∠1+∠2=180°，
∴BD∥CE，
∴∠CEF=∠D.
又∵AC∥DF，
∴∠CEF=∠C，
∴∠C=∠D．
知识点1 平行线的判定与性质的综合运用
画一画：先画直线l1，再画直线l2,l3分别与l1平行.
l2
l1
l3
想一想：直线l2与l3有怎样的位置关系？
l2∥ l3
这个猜想正确吗？为什么？
知识点2 平行于同一条直线的两条直线平行
命题 如图，如果a∥b,a∥c,那么b∥c.
1
2
3
d
a
b
c
理由： ∵ a∥b ( ),
∴ ∠1=∠2 ( ).
∵ a∥c ( ),
∵ ∠1=∠3 ( ),
∴∠2=∠3 ( ).
∴a∥c ( ).
已知
两直线平行，同位角相等
已知
两直线平行，同位角相等
等量代换
同位角相等，两直线平行
知识点2 平行于同一条直线的两条直线平行
分析：由a∥b可得∠1=∠2.由a∥c可得∠1=∠3.由等量代换可得∠2=∠3.由同位角相等，两直线平行，可得b∥c.
平行于同一条直线的两条直线平行.
符号语言：
∵a // c , a // b (已知),
∴ c // b(平行于同一条直线的两条直线平行).
知识点2 平行于同一条直线的两条直线平行
d
a
b
c
例5 已知：如图，AB//CD，∠A=100°， ∠C=110°，求∠AEC的度数
E
A
B
C
D
分析：过点E作EF//AB，则∠1+∠A=180°.
由AB//CD，得EF//CD，则∠C+∠FEC=180°.
由∠A=100°， ∠C=110°，可求得∠1和∠FEC的度数，根据角的和差，可求得∠AEC的度数.
1
F
知识点2 平行于同一条直线的两条直线平行
解：过点E作EF//AB.
∵AB//CD（已知），
∴EF//CD(平行于同一条直线的两条直线平行），
∴∠A+∠1=180°，∠C+∠FEC=180°(两直线平行，同旁内角互补）.
又∵∠A=100°，∠C=110°（已知）
∴∠1 =180°－∠A=80 °,
∠FEC=180°－∠C=70 ° （等式的基本性质），
∴∠AEC=∠1+∠FEC= 80° +70° = 150° .
知识点2 平行于同一条直线的两条直线平行
例5 已知：如图，AB//CD，∠A=100°， ∠C=110°，求∠AEC的度数
1. [2024天津和平区校级期末] 已知直线，，， ，则下
列推理正确的是( )
C
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
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2. 如图，已知 ， ，则 等于
( )
D
（第2题）
A. B. C. D.
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（第3题）
3. 当光线从空气射
入水中时，光线的传播方向发生了改
变，这就是光的折射现象
（如图所示），图中 ，
，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
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4.把一副三角板 按如图
所示的方式摆放，当为_____ 时， .
150
（第4题）
返回
（第5题）
5. 如图，有一张四边形纸
片，，将它沿 折叠，
点落在点处，点落在边上的点
处，若 ，则 等于
____.
【点拨】， .由折叠的性
质可得 .
.
返回
6.如图，，， ， ，则
的度数为____.
返回
7. 如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若
， ， ，求 的度数.
【解】如图.
， .
，
.
.
.
返回
8. 如图是一盏可调节
台灯及其示意图.固定支撑杆垂直底座 于
点，与是分别可绕点和 旋转的调节
B
A. B. C. D.
杆，台灯灯罩可绕点 旋转调节光线角度，在调节过程中，
最外侧光线，组成的 始终保持不变.现调节台灯，
使外侧光线，，若 ，则
( )
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
判定
性质
已知
得到
得到
已知
平行于同一条直线的两条直线平行.
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