(共26张PPT)
冀教版2024教材数学七年级下册
8.4.1 单项式与单项式相乘
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第八章 整式的乘法
学习目标
1.能根据乘法的交换律和结合律探究单项式与单项式相乘的运算法则.
2.掌握单项式与单项式相乘的运算法则，知道单项式与单项式相乘的实质是幂的运算.
3.能够灵活地进行单项式与单项式的乘法运算.
我将为你设计一份详细的二元一次方程组教案，重点突出概念讲解、解法推导及实际应用，帮助学生深入理解和掌握相关知识。
# 二元一次方程组教案
## 一、教学目标
1. 知识与技能目标
- 理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 熟练掌握用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。
- 能根据实际问题列出二元一次方程组并求解，体会方程组是刻画现实世界中含有两个未知数的问题的有效数学模型。
2. 过程与方法目标
- 通过对实际问题的分析，经历从实际问题中抽象出数学模型的过程，提高分析问题和解决问题的能力。
- 在探索二元一次方程组解法的过程中，体会消元思想，培养学生的化归意识和运算能力。
3. 情感态度与价值观目标
- 感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
- 在合作交流中，培养学生的团队合作精神和创新意识。
## 二、教学重难点
1. **教学重点**
- 二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。
- 用二元一次方程组解决实际问题。
2. **教学难点**
- 理解消元思想，掌握消元的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程。
- 从实际问题中找出等量关系，列出二元一次方程组。
## 三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
## 四、教学过程
### （一）导入新课（5分钟）
1. 展示问题情境：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分。某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？
2. 引导学生思考：
- 你能根据问题中的等量关系列出方程吗？
- 如果设两个未知数，如何表示这些等量关系？
### （二）讲授新课（30分钟）
1. **二元一次方程的概念**
- 引导学生设胜x场，负y场，根据等量关系列出方程：x + y = 10，2x + y = 16。
- 观察这两个方程的特点，总结二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
- 举例让学生判断哪些是二元一次方程，如3x - 2y = 5，xy = 1等，加深对概念的理解。
2. **二元一次方程组的概念**
- 像这样把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
- 强调二元一次方程组中两个方程共含有两个相同的未知数。
3. **二元一次方程组的解**
- 让学生尝试找出满足方程组x + y = 10，2x + y = 16的x和y的值。
- 给出二元一次方程组的解的定义：一般地，使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
- 通过具体例子，让学生理解方程组的解是一对数，并且要同时满足方程组中的两个方程。
4. **代入消元法解二元一次方程组**
- 以方程组x + y = 10，2x + y = 16为例，讲解代入消元法。
- 分析：由方程x + y = 10可得y = 10 - x，将其代入方程2x + y = 16中，就可以消去y，得到一个关于x的一元一次方程。
- 详细讲解解题步骤：
- 由方程①得：y = 10 - x ③
- 把③代入②得：2x + (10 - x) = 16
- 解这个方程：2x + 10 - x = 16，x = 6
- 把x = 6代入③得：y = 10 - 6 = 4
- 所以方程组的解为x = 6，y = 4
- 总结代入消元法的步骤：
- 变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。
- 代入：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
- 求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
- 回代：将求得的未知数的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值。
- 写解：写出方程组的解。
5. **加减消元法解二元一次方程组**
- 给出方程组2x + 3y = 11，2x - 5y = -1，引导学生观察两个方程中x的系数相同。
- 讲解：可以将两个方程相减，消去x，得到关于y的一元一次方程。
- 具体步骤：
- 用方程① - ②得：(2x + 3y) - (2x - 5y) = 11 - (-1)
- 去括号得：2x + 3y - 2x + 5y = 11 + 1
- 合并同类项得：8y = 12
- 解得：y = 1.5
- 把y = 1.5代入①得：2x + 3×1.5 = 11
- 解这个方程得：2x = 11 - 4.5，2x = 6.5，x = 3.25
- 所以方程组的解为x = 3.25，y = 1.5
- 总结加减消元法的步骤：
- 观察：观察方程组中两个方程相同未知数的系数特点。
- 变形：如果相同未知数的系数相等或互为相反数，则直接进行加减消元；如果系数不相等也不互为相反数，通过乘以适当的数，使某个未知数的系数相等或互为相反数。
- 加减：将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
- 求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
- 回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的一个方程，求出另一个未知数的值。
- 写解：写出方程组的解。
### （三）课堂练习（15分钟）
1. 给出一些二元一次方程、二元一次方程组，让学生判断并说明理由。
2. 用代入消元法和加减消元法解简单的二元一次方程组，如x - y = 3，3x - 8y = 14等，找学生板演，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。
3. 出示一道实际问题：某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元。如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？引导学生分析问题，找出等量关系，列出二元一次方程组并求解。
### （四）课堂小结（5分钟）
1. 与学生一起回顾本节课所学内容：
- 二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 代入消元法和加减消元法解二元一次方程组的步骤和方法。
- 用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
2. 强调重点和难点，鼓励学生在课后多做练习，巩固所学知识。
### （五）布置作业（5分钟）
1. 基础作业：课本课后练习题，用代入消元法和加减消元法解给定的二元一次方程组。
2. 拓展作业：寻找生活中的实际问题，用二元一次方程组来解决，并写成小报告形式。
## 五、教学反思
在本节课的教学过程中，要注重引导学生从实际问题出发，逐步理解二元一次方程组的相关概念和解法。在讲解代入消元法和加减消元法时，要让学生充分理解消元的思想，通过大量的练习让学生熟练掌握两种解法。同时，在解决实际问题时，要培养学生分析问题、找出等量关系的能力。在教学过程中，要关注学生的反应，及时调整教学节奏和方法，确保学生能够理解和掌握所学内容。
这份教案从导入到作业布置，涵盖教学各环节。你看看是否符合你的教学需求，若有调整方向，如增减某部分内容，可随时告诉我。
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
1.幂的运算性质有哪几条？
同底数幂的乘法法则：am·an=am+n ( m、n都是正整数).
幂的乘方法则：(am)n=amn ( m、n都是正整数).
积的乘方法则：(ab)n=anbn ( m、n都是正整数).
2.计算：（1）x2 · x3 · x4= ; (2)(x3)6= ;
(3)(-2a4b2)3= ; (4) (a2)3 · a4= ；
（5） .
x9
x18
-8a12b6
a10
1
1.光的速度约为3×105km/s，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102s，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗
地球与太阳的距离约是(3×105)×(5×102)km
2.京京用同样大小的纸，精心制作的两幅剪贴画，如下图所示，第一幅画的画面大小与纸的大小相同，第二幅画的画面在纸的上、下方各留有 m的空白.
x m
m
m
1.2x m
（1）利用乘法交换律和结合律有：
(3×105)×(5×102)=(3×5)×(105×102)=15×107.
想一想：怎样计算（3 ×105）×（5 ×102）？计算过程中用到了哪些运算律及运算性质？
如果将上式中的数字改为字母，比如2ac5 ·3bc2,怎样计算这个式子？
（2） 2ac5 ·3bc2=(2×3)(a ·b) ·(c5·c2) (乘法交换律、结合律）
=6abc5+2 (同底数幂的乘法）
=6abc7.
知识点 单项式与单项式相乘
计算下列算式，并说明每步计算的理论依据.
观察以上运算过程，说一说单项式乘单项式是怎样运算的.
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它们的指数作为积的一个因式.
单项式乘单项式法则
系数相乘
相同字母的幂相乘
单独字母连同字母指数
同底数幂乘法运算性质
乘法交换律和结合律
知识点 单项式与单项式相乘
例1 计算：
解：
单项式相乘的结果仍是单项式
单独因式y别漏乘漏写
知识点 单项式与单项式相乘
下面的计算是否正确？如果不正确，请改正过来.
（1）2x2 · 3x3 =5x5
（2）4a3 · a4 =4a12
（4）6a4 · 2a2 =12a2
（3）2x · 5x2 =10x2
不正确
不正确
不正确
不正确
2x2 · 3x3 = (2×3)·(x2 · x3) = 6x5
4a3 · a4 = 4(a3 · a4) = 4a7
2x · 5x2 =(2×5)·(x · x2)=10x3
6a4 · 2a2 =12(a4 ·a2)=12a6
思考：进行单项式乘单项式的运算时，应注意哪些问题？
单项式相乘时，系数相乘，不相加
相同字母的幂相乘，指数相加，不相乘
不能忽略指数为1的幂
相同字母的幂相乘，指数相加，不相减（除）
知识点 单项式与单项式相乘
比一比：看谁做的又快又准！
知识点 单项式与单项式相乘
例2 计算：
解：
有积的乘方怎么办？运算时应先算什么？
有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘.
注意
先算乘方
再算乘法
积的
乘方
知识点 单项式与单项式相乘
单项式乘以单项式中的“一、二、三”
一个不变：单项式与单项式相乘时，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数不变，作为积的因式.
二个相乘：把各个单项式中的系数、相同字母的幂分别相乘.
归纳总结
知识点 单项式与单项式相乘
三个检验：单项式乘以单项式的结果是否正确，可从以下三个方面来检验：
①结果仍是单项式；
②结果中含有单项式中的所有字母；
③结果中每一个字母的指数都等于前面单项式中同一字母的指数和.
知识点 单项式与单项式相乘
计算：
(1) (-5a2b)· (-3a) · (-2ab2c); (2)(－2a)3(－3a)2.
解：（1）原式= [(-5)×(-3)×(-2)] (a2·a·a)(b·b2)·c
= -30 a4 b3 c
（2）(－2a)3(－3a)2
=－8a3·9a2
=[(－8)×9](a3·a2)
=－72a5
知识点 单项式与单项式相乘
例3 计算：3x3y·(-2y)2-(-xy)2·(-xy)-xy3·(-4x)2.
解：原式=3xy·4y2-x2y2· (-xy)-xy3·16x2
=12x3y3+x3y3-16x3y3
=-3x3y3
先算乘方，再算单项式相乘，最后算加减.
知识点2 混合运算
(-a)2·a3·(-2b)3-(-2ab)2·(-3a)3b
解：原式=a2a3·(-8b3)-4a2b2·(-27a3)b
=-8a5b3+108a5b3
=100a5b3
知识点2 混合运算
1. 化简 的结果是( )
A
A. B. C. D.
2. 如果，则 内应填的代数式是( )
C
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
D
A. B.
C. D.
4.计算 _______.
返回
5. 已知两个单项式的积是 ，这两
个单项式可以是_____________________________
（写出一对即可）.
和（答案不唯一）
6.一个长方体的长、宽、高分别为，， ，则它
的体积是_______.
返回
7. 教材P86例2 计算：
（1） ;
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） .
原式 .
返回
8. 若单项式与 是同类项，则这两个单项
式的积是( )
D
A. B. C. D.
9.某住宅小区为了提高业主的居住环境,规划
修建一个广场（平面图如图所示）,则该广
场的面积是_______.
【点拨】该广场的面积为
.
返回
10.已知 ，求
的值.
【解】， ，
，
解得， ，
.
返回
11. 观察式子，并回答问题：
； ；
；….
（1） _ ___________；
（2）利用你得到的结论计算：
；
【解】原式
.
（3） ，
请利用上述关系直接写出 的值.
.
返回
单项式乘单项式
运算法则
注意事项
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它们的指数作为积的一个因式.
计算时要注意符号问题
单独的字母不要漏写漏乘
有乘方时，先算乘方
谢谢观看！(共26张PPT)
冀教版2024教材数学七年级下册
8.4.2 单项式与多项式相乘
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第八章 整式的乘法
学习目标
1.能根据乘法分配律探究单项式与多项式相乘的运算法则；
2.掌握单项式与多项式相乘的运算法则，会进行单项式与多项式的乘法运算.
3.会用图形解释单项式与多项式相乘的运算法则.
我将为你设计一份详细的二元一次方程组教案，重点突出概念讲解、解法推导及实际应用，帮助学生深入理解和掌握相关知识。
# 二元一次方程组教案
## 一、教学目标
1. 知识与技能目标
- 理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 熟练掌握用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。
- 能根据实际问题列出二元一次方程组并求解，体会方程组是刻画现实世界中含有两个未知数的问题的有效数学模型。
2. 过程与方法目标
- 通过对实际问题的分析，经历从实际问题中抽象出数学模型的过程，提高分析问题和解决问题的能力。
- 在探索二元一次方程组解法的过程中，体会消元思想，培养学生的化归意识和运算能力。
3. 情感态度与价值观目标
- 感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
- 在合作交流中，培养学生的团队合作精神和创新意识。
## 二、教学重难点
1. **教学重点**
- 二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。
- 用二元一次方程组解决实际问题。
2. **教学难点**
- 理解消元思想，掌握消元的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程。
- 从实际问题中找出等量关系，列出二元一次方程组。
## 三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
## 四、教学过程
### （一）导入新课（5分钟）
1. 展示问题情境：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分。某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？
2. 引导学生思考：
- 你能根据问题中的等量关系列出方程吗？
- 如果设两个未知数，如何表示这些等量关系？
### （二）讲授新课（30分钟）
1. **二元一次方程的概念**
- 引导学生设胜x场，负y场，根据等量关系列出方程：x + y = 10，2x + y = 16。
- 观察这两个方程的特点，总结二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
- 举例让学生判断哪些是二元一次方程，如3x - 2y = 5，xy = 1等，加深对概念的理解。
2. **二元一次方程组的概念**
- 像这样把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
- 强调二元一次方程组中两个方程共含有两个相同的未知数。
3. **二元一次方程组的解**
- 让学生尝试找出满足方程组x + y = 10，2x + y = 16的x和y的值。
- 给出二元一次方程组的解的定义：一般地，使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
- 通过具体例子，让学生理解方程组的解是一对数，并且要同时满足方程组中的两个方程。
4. **代入消元法解二元一次方程组**
- 以方程组x + y = 10，2x + y = 16为例，讲解代入消元法。
- 分析：由方程x + y = 10可得y = 10 - x，将其代入方程2x + y = 16中，就可以消去y，得到一个关于x的一元一次方程。
- 详细讲解解题步骤：
- 由方程①得：y = 10 - x ③
- 把③代入②得：2x + (10 - x) = 16
- 解这个方程：2x + 10 - x = 16，x = 6
- 把x = 6代入③得：y = 10 - 6 = 4
- 所以方程组的解为x = 6，y = 4
- 总结代入消元法的步骤：
- 变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。
- 代入：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
- 求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
- 回代：将求得的未知数的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值。
- 写解：写出方程组的解。
5. **加减消元法解二元一次方程组**
- 给出方程组2x + 3y = 11，2x - 5y = -1，引导学生观察两个方程中x的系数相同。
- 讲解：可以将两个方程相减，消去x，得到关于y的一元一次方程。
- 具体步骤：
- 用方程① - ②得：(2x + 3y) - (2x - 5y) = 11 - (-1)
- 去括号得：2x + 3y - 2x + 5y = 11 + 1
- 合并同类项得：8y = 12
- 解得：y = 1.5
- 把y = 1.5代入①得：2x + 3×1.5 = 11
- 解这个方程得：2x = 11 - 4.5，2x = 6.5，x = 3.25
- 所以方程组的解为x = 3.25，y = 1.5
- 总结加减消元法的步骤：
- 观察：观察方程组中两个方程相同未知数的系数特点。
- 变形：如果相同未知数的系数相等或互为相反数，则直接进行加减消元；如果系数不相等也不互为相反数，通过乘以适当的数，使某个未知数的系数相等或互为相反数。
- 加减：将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
- 求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
- 回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的一个方程，求出另一个未知数的值。
- 写解：写出方程组的解。
### （三）课堂练习（15分钟）
1. 给出一些二元一次方程、二元一次方程组，让学生判断并说明理由。
2. 用代入消元法和加减消元法解简单的二元一次方程组，如x - y = 3，3x - 8y = 14等，找学生板演，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。
3. 出示一道实际问题：某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元。如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？引导学生分析问题，找出等量关系，列出二元一次方程组并求解。
### （四）课堂小结（5分钟）
1. 与学生一起回顾本节课所学内容：
- 二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 代入消元法和加减消元法解二元一次方程组的步骤和方法。
- 用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
2. 强调重点和难点，鼓励学生在课后多做练习，巩固所学知识。
### （五）布置作业（5分钟）
1. 基础作业：课本课后练习题，用代入消元法和加减消元法解给定的二元一次方程组。
2. 拓展作业：寻找生活中的实际问题，用二元一次方程组来解决，并写成小报告形式。
## 五、教学反思
在本节课的教学过程中，要注重引导学生从实际问题出发，逐步理解二元一次方程组的相关概念和解法。在讲解代入消元法和加减消元法时，要让学生充分理解消元的思想，通过大量的练习让学生熟练掌握两种解法。同时，在解决实际问题时，要培养学生分析问题、找出等量关系的能力。在教学过程中，要关注学生的反应，及时调整教学节奏和方法，确保学生能够理解和掌握所学内容。
这份教案从导入到作业布置，涵盖教学各环节。你看看是否符合你的教学需求，若有调整方向，如增减某部分内容，可随时告诉我。
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
回顾：单项式乘单项式的运算法则是什么？
计算：(－2x3 yz) · xy2
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它们的指数作为积的一个因式.
1.为了扩大绿化面积，要把街心花园的一块长b m，宽p m的长方形绿地，将长的两边分别加宽a m和c m，有几种方法计算扩大后的绿化面积？
a m
c m
p m
b m
方法一：三个长方形面积相加
方法二：求出扩大后长方形的长，再计算
ap＋bp＋pc
(a＋b＋c)p
两个式子之间有什么关系？
mn(a+b－c)
2.如图所示的大长方体是由三块小长方体拼接而成，请根据图中的数据，尝试用不同的方法表示阴影部分的体积.
方法一：阴影部分的体积=
方法二：阴影部分的体积=
mna+mnb－mnc
方法三：阴影部分的体积=
mn(a+b)－mnc
mn(a+b－c)=mn(a+b)－mnc
mn(a+b)－mnc=mna + mnb－mnc
mn(a+b－c)=mna + mnb－mnc
下面单项式乘多项式，是如何进行运算的？这样运算之后，单项式乘多项式在形式上发生了什么变化？
mn(a+b－c) = mna + mnb－mnc
单项式
多项式
单项式乘多项式法则
单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把积相加.
你能归纳概括出单项式乘多项式的运算法则吗？
几个单项式和的形式
单项式×单项式
单项式×多项式
转化
几个单项式的和
转化
最简形式
知识点 单项式与多项式相乘
例1 计算：（1）ab(a2+b2)； （2）－x · (2x－3)；
（3）2x(－xy)2 －x2 (xy2－y2 ).
解：（1） ab(a2+b2)
（2）－x · (2x－3)
=ab · a2 + ab · b2
= a3b+ab3
= (－x) · 2x + (－x ) · (－3)
= － 2x2 + 3x
（3）2x(－xy)2 －x2 (xy2－y2 )
= 2x · (－x)2 · y2 + (－x2)· xy2 + (－x2 ) · (－y2)
= 2x3y2 － x3y2 + x2y2
= x3y2 + x2y2
同类项需要合并
※ 找准多项式中的每一项
单项式×多项式
单项式×单项式
几个单项式的和
最简形式
项：2x 和 －3
知识点 单项式与多项式相乘
归纳：单项式与多项式相乘的步骤：
①按乘法分配律把乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式；
②转化为单项式与单项式的乘法运算；
③ 把所得的积相加.
注意:单项式乘多项式的结果是多项式,积的项数与原多项式的项数相同.
知识点 单项式与多项式相乘
计算：
(1)2xy(5xy2+3xy-1);
解:原式=2xy·5xy2+2xy·3xy+2xy·(-1)
=10x2y3+6x2y2-2xy.
(2)(a2-2bc)·(-2ab) 2.
解: 原式=4a2b2·a2+4a2b2·(-2bc)
=4a4b2-8a2b3c.
知识点 单项式与多项式相乘
例2 先化简，再求值：
a2(a+1)－a(a2－1)，其中，a = 5.
解： a2(a+1) －a(a2－1)
当 a=5 时，原式=52 + 5= 30.
= a3 + a2 －a3 + a
= a2 + a.
知识点 单项式与多项式相乘
归纳：单项式与多项式相乘需要注意以下几点：
1. 计算时,要注意符号问题,多项式中每一项都包括它前面的符号,单项式分别与多项式的每一项相乘时，同号相乘得正，异号相乘得负;
2.不要出现漏乘现象;
3.运算要有顺序：先乘方，再乘除，最后加减;
4.对于混合运算，注意最后应合并同类项.
知识点 单项式与多项式相乘
1. 计算： ( )
A
A. B.
C. D.
返回
2. 如图，有一边为 的三个长方形拼在一
起，用不同的方法表示整个图形的面积可以说明下列哪个等
式成立( )
A
A.
B.
C.
D.
返回
3. 多项式与 的关系是
( )
A
A. 相等 B. 互为相反数
C. 前式是后式的倍 D. 前式是后式的 倍
【点拨】 ，
， 两式相等.故选A.
返回
4.若，则 ___.
8
【点拨】， ，
，， .
返回
5.数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘，回到家，小丽
拿出课堂笔记复习，突然发现一道题：
,“ ”的地方被墨水
污染了，则“ ”的位置应是___.
返回
6. 教材P88例3 计算：
（1） ；
【解】
.
（2） .
.
返回
7.若为自然数，那么式子 能否被3整除？
【解】原式 ,则式子
能被3整除.
返回
8.已知有理数,,满足 ,
先化简，再求值： .
【解】 .
由 ,得
解得
原式 .
返回
9. 已知,则 的值是
( )
D
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
返回
10. [2024保定期末] 要使中不含有
的四次项，则 等于( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【点拨】原式
中不含有的四次项，，解得 .故选B.
B
返回
11. 某同学在计算一个多项式乘 时，因抄错运算符号，算
成了加上,得到的结果是 ,那么正确的计算结
果是( )
A
A. B.
C. D.
【点拨】设这个多项式为, 计算一个多项式乘 时，因
抄错运算符号，算成了加上,得到的结果是 ,
,
, 正确的结果为
,故选A.
返回
单项式乘
多项式
法则
单项式乘多项式，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
注意
a运算要有顺序：先乘方，再乘除，最后加减；对于混合运算，注意最后应合并同类项
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冀教版2024教材数学七年级下册
8.4.3 多项式与多项式相乘
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第八章 整式的乘法
学习目标
1.能根据乘法分配律探究多项式与多项式相乘的运算法则；
2.掌握多项式与多项式相乘的运算法则，会进行多项式与多项式的乘法运算.
3.会用图形解释多项式与多项式相乘的运算法则.
我将为你设计一份详细的二元一次方程组教案，重点突出概念讲解、解法推导及实际应用，帮助学生深入理解和掌握相关知识。
# 二元一次方程组教案
## 一、教学目标
1. 知识与技能目标
- 理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 熟练掌握用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。
- 能根据实际问题列出二元一次方程组并求解，体会方程组是刻画现实世界中含有两个未知数的问题的有效数学模型。
2. 过程与方法目标
- 通过对实际问题的分析，经历从实际问题中抽象出数学模型的过程，提高分析问题和解决问题的能力。
- 在探索二元一次方程组解法的过程中，体会消元思想，培养学生的化归意识和运算能力。
3. 情感态度与价值观目标
- 感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
- 在合作交流中，培养学生的团队合作精神和创新意识。
## 二、教学重难点
1. **教学重点**
- 二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 代入消元法和加减消元法解二元一次方程组。
- 用二元一次方程组解决实际问题。
2. **教学难点**
- 理解消元思想，掌握消元的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程。
- 从实际问题中找出等量关系，列出二元一次方程组。
## 三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
## 四、教学过程
### （一）导入新课（5分钟）
1. 展示问题情境：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分。某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？
2. 引导学生思考：
- 你能根据问题中的等量关系列出方程吗？
- 如果设两个未知数，如何表示这些等量关系？
### （二）讲授新课（30分钟）
1. **二元一次方程的概念**
- 引导学生设胜x场，负y场，根据等量关系列出方程：x + y = 10，2x + y = 16。
- 观察这两个方程的特点，总结二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
- 举例让学生判断哪些是二元一次方程，如3x - 2y = 5，xy = 1等，加深对概念的理解。
2. **二元一次方程组的概念**
- 像这样把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
- 强调二元一次方程组中两个方程共含有两个相同的未知数。
3. **二元一次方程组的解**
- 让学生尝试找出满足方程组x + y = 10，2x + y = 16的x和y的值。
- 给出二元一次方程组的解的定义：一般地，使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
- 通过具体例子，让学生理解方程组的解是一对数，并且要同时满足方程组中的两个方程。
4. **代入消元法解二元一次方程组**
- 以方程组x + y = 10，2x + y = 16为例，讲解代入消元法。
- 分析：由方程x + y = 10可得y = 10 - x，将其代入方程2x + y = 16中，就可以消去y，得到一个关于x的一元一次方程。
- 详细讲解解题步骤：
- 由方程①得：y = 10 - x ③
- 把③代入②得：2x + (10 - x) = 16
- 解这个方程：2x + 10 - x = 16，x = 6
- 把x = 6代入③得：y = 10 - 6 = 4
- 所以方程组的解为x = 6，y = 4
- 总结代入消元法的步骤：
- 变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。
- 代入：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
- 求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
- 回代：将求得的未知数的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值。
- 写解：写出方程组的解。
5. **加减消元法解二元一次方程组**
- 给出方程组2x + 3y = 11，2x - 5y = -1，引导学生观察两个方程中x的系数相同。
- 讲解：可以将两个方程相减，消去x，得到关于y的一元一次方程。
- 具体步骤：
- 用方程① - ②得：(2x + 3y) - (2x - 5y) = 11 - (-1)
- 去括号得：2x + 3y - 2x + 5y = 11 + 1
- 合并同类项得：8y = 12
- 解得：y = 1.5
- 把y = 1.5代入①得：2x + 3×1.5 = 11
- 解这个方程得：2x = 11 - 4.5，2x = 6.5，x = 3.25
- 所以方程组的解为x = 3.25，y = 1.5
- 总结加减消元法的步骤：
- 观察：观察方程组中两个方程相同未知数的系数特点。
- 变形：如果相同未知数的系数相等或互为相反数，则直接进行加减消元；如果系数不相等也不互为相反数，通过乘以适当的数，使某个未知数的系数相等或互为相反数。
- 加减：将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
- 求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。
- 回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的一个方程，求出另一个未知数的值。
- 写解：写出方程组的解。
### （三）课堂练习（15分钟）
1. 给出一些二元一次方程、二元一次方程组，让学生判断并说明理由。
2. 用代入消元法和加减消元法解简单的二元一次方程组，如x - y = 3，3x - 8y = 14等，找学生板演，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。
3. 出示一道实际问题：某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元。如果35名学生购票恰好用去750元，甲乙两种票各买了多少张？引导学生分析问题，找出等量关系，列出二元一次方程组并求解。
### （四）课堂小结（5分钟）
1. 与学生一起回顾本节课所学内容：
- 二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。
- 代入消元法和加减消元法解二元一次方程组的步骤和方法。
- 用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
2. 强调重点和难点，鼓励学生在课后多做练习，巩固所学知识。
### （五）布置作业（5分钟）
1. 基础作业：课本课后练习题，用代入消元法和加减消元法解给定的二元一次方程组。
2. 拓展作业：寻找生活中的实际问题，用二元一次方程组来解决，并写成小报告形式。
## 五、教学反思
在本节课的教学过程中，要注重引导学生从实际问题出发，逐步理解二元一次方程组的相关概念和解法。在讲解代入消元法和加减消元法时，要让学生充分理解消元的思想，通过大量的练习让学生熟练掌握两种解法。同时，在解决实际问题时，要培养学生分析问题、找出等量关系的能力。在教学过程中，要关注学生的反应，及时调整教学节奏和方法，确保学生能够理解和掌握所学内容。
这份教案从导入到作业布置，涵盖教学各环节。你看看是否符合你的教学需求，若有调整方向，如增减某部分内容，可随时告诉我。
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
1.如何进行单项式与多项式乘法的运算？
② 再把积相加.
① 将单项式分别乘以多项式的每一项
2.进行单项式与多项式乘法运算时，要注意什么
① 不能漏乘:
即单项式要乘遍多项式的每一项
② 去括号时注意符号的确定.
张伯伯准备把长为m m,宽为a m的长方形鱼塘进行扩建，使得长再增加n m,宽再增加b m.如图.
b
a
m
n
mb
ma
nb
na
试用不同的方式表示扩建后鱼塘的面积.
(1)(m+n)(a+b) m2；
(2)[(m+n)a+(m+n)b) ]m2;
(3)[(a+b)m+(a+b)n] m2；
(4)(am+bm+an+bn) m2.
由于(m+n)(a+b)和(ma+mb+na+nb)表示同一块地的面积，故有
(m+n)(a+b)=
ma
+ mb
+ na
+ nb
如何进行多项式与多项式相乘的运算？
实际上，把(m+n)看成一个整体，有：
= ma+mb+na+nb
(m+n)(a+b)
= (m+n)a+(m+n)b
知识点 多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
1
2
3
4
(a+b)(m+n)
=
am
1
2
3
4
+an
+bm
+bn
多乘多，来计算，多项式各项都见面，
乘后结果要相加，化简、排列才算完.
多项式乘多项式
知识点 多项式与多项式相乘
(a＋b)(m＋n)=
=ma＋na＋mb＋nb
a(m＋n)＋b(m＋n)
(a＋b)(m＋n)
=am＋an＋bm＋bn
单项式×多项式
多项式×多项式
转化
单项式×单项式
转化
知识点 多项式与多项式相乘
例1 计算：
解：
知识点 多项式与多项式相乘
例2 计算：
解：
知识点 多项式与多项式相乘
归纳：计算多项式乘多项式时注意：
1.必须做到不重复，不遗漏；
2.注意确定积中每一项的符号；
3.结果应化为最简式(合并同类项).
知识点 多项式与多项式相乘
1. 的运算结果是( )
D
A. B.
C. D.
返回
2. [2024石家庄裕华区校级期中] 观察如图两个多项式相乘的
运算过程，根据你发现的规律，若
，则， 的值可能分别是
( )
A
A. ， B. ，7 C. 2， D. 2，7
返回
3. 若,则 等于
( )
A
A. B. C. 4 D. 11
返回
4. [2024邢台校级期中] 要使多项式不含 的
一次项，则( )
A. B.
C. D.
【点拨】 多项式不含 的一次项，
.故选B.
B
返回
5.若,则 ____.
6.已知,,则 _____.
【点拨】， 把
， ，代入,得原式
.
返回
7.计算：
（1） ；
【解】
.
（2） .
.
返回
8.解方程：
（1） ;
【解】 ,
,
,
,
.
（2） .
,
,
,
,
.
返回
9. 如图，某市
有一块长为 ，宽为
的长方形地块，规
划部门计划将阴影部分进行绿
化，中间修建一座雕像.绿化
的面积是多少平方米（用含， 的代数式表示）？
【解】长方形的面积：
，
正方形的面积： ，
绿化的面积：
，
答：绿化的面积是
.
返回
10. 若,,则与 的大小
关系是( )
A
A. B.
C. D. 由 的取值而定
返回
11. 用如图所示的卡片拼成一个长为
，宽为的长方形，则需要 型卡片的张数是
( )
D
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【点拨】拼成的长方形的面积为
张型卡片的面积为，1张型卡片的面积为 ，1张
型卡片的面积为， 要拼成一个长为 ，宽为
的长方形，需要 型卡片5张，故选D.
返回
12.对任意有理数，等式 总成
立，那么 __.
【点拨】，， ，解得
，， .
返回
多项式乘
多项式
法则
注意
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
不要漏乘；正确确定各符号；结果要化为最简
谢谢观看！
