9.1 因式分解 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
冀教版2024教材数学七年级下册
9.1 因式分解
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第九章 因式分解
学习目标
1.了解多项式的因式分解的定义,知道因式分解与整式乘法之间的联系与区别.
2.能判断因式分解的正误，了解因式分解的过程，会进行简单的因式分解.
一、教学目标
理解因式分解的概念，掌握因式分解与整式乘法的关系。
熟练运用提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）进行因式分解。
通过因式分解的学习，培养学生观察、分析、归纳的能力，以及逆向思维能力。
二、教学重难点
（一）教学重点
因式分解的概念。
用提公因式法和公式法进行因式分解。
（二）教学难点
正确识别多项式各项的公因式。
灵活运用公式法进行因式分解，尤其是对公式的结构特征的理解和运用。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入（5 分钟）
计算：(x + 2)(x - 2) 与 x - 4；(a + b) 与 a + 2ab + b 。
提问：观察上述两组式子，从左到右和从右到左的变形有什么不同？引入本节课主题 —— 因式分解。
（二）新授（25 分钟）
因式分解的概念
给出定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
举例说明：如 x - 4 = (x + 2)(x - 2)，a + 2ab + b = (a + b) 是因式分解，而 (x + 2)(x - 2) = x - 4，(a + b) = a + 2ab + b 是整式乘法，强调因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形。
提公因式法
展示多项式：ma + mb + mc，分析各项都含有一个公共的因式 m，引出公因式的概念。
提公因式法定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
例 1：分解因式 3x - 6xy + 3x。
分析：各项公因式为 3x。
解答过程：3x - 6xy + 3x = 3x (x - 2y + 1)。
公式法
平方差公式
回顾平方差公式：(a + b)(a - b) = a - b ，逆向得到因式分解的平方差公式：a - b = (a + b)(a - b)。
强调公式特点：等号左边是两项式，这两项都能写成平方的形式，且符号相反；等号右边是这两个数的和与这两个数的差的积。
例 2：分解因式 9x - 16y 。
分析：9x = (3x) ，16y = (4y) ，符合平方差公式。
解答：9x - 16y = (3x + 4y)(3x - 4y)。
完全平方公式
回顾完全平方公式：(a + b) = a + 2ab + b ，(a - b) = a - 2ab + b ，逆向得到因式分解的完全平方公式：a + 2ab + b = (a + b) ，a - 2ab + b = (a - b) 。
强调公式特点：等号左边是三项式，首末两项是两个数的平方，且符号相同，中间一项是这两个数乘积的 2 倍。
例 3：分解因式 4x + 12xy + 9y 。
分析：4x = (2x) ，9y = (3y) ，12xy = 2×2x×3y，符合完全平方公式。
解答：4x + 12xy + 9y = (2x + 3y) 。
（三）练习（15 分钟）
分解因式：
5x - 10x
16 - 25x
x + 10x + 25
让学生板演，教师巡视指导，及时纠正学生出现的错误。
（四）课堂小结（8 分钟）
与学生一起回顾因式分解的概念、提公因式法和公式法（平方差公式、完全平方公式）。
强调因式分解的注意事项：
分解要彻底，直到不能再分解为止。
公因式要提尽。
注意公式的结构特征，正确运用公式。
（五）作业布置（2 分钟）
课本课后习题。
拓展作业：尝试分解因式 x - 4x。
五、教学反思
在教学过程中，应注重引导学生理解因式分解的概念和方法，通过大量实例和练习让学生熟练掌握提公因式法和公式法。同时，要关注学生在找公因式、运用公式时容易出现的错误，及时给予指导和纠正。对于学有余力的学生，可提供一些拓展性的题目，进一步提高他们的思维能力。
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
质因数分解：
举例：要把12进行质因数分解，下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
把一个合数化为几个质数的积的形式，这种变形叫质因数分解,也叫分解质因数.
必须是积得形式
没彻底分解完成
这是整数的乘法
D
整数的乘法：
质因数分解：
互逆
（运算过程正好相反）
思考：
观察下面几个多项式的乘法算式:
ma＋mb=m(a＋b)
a2－b2=(a＋b)(a－b)
a2＋2ab＋b2=(a＋b)2
a2－2ab＋b2=(a－b)2
多项式乘法是把几个整式的乘积化为一个多项式.反过来，你能将一个多项式分解成几个整式乘积的形式吗
数
式
观察下面计算2 0112－2 011×2 010和372－362的过程，哪种更简便
小亮的方法
2 0112－2 011×2 010
=2 011×(2 011－2 010)
=2 011.
372－362
=(37+36)×(37－36)
=73.
小明的方法
20112－2011×2010
=4 044 121－4 042 110
=2 011.
372－362
=1 369－1 296
=73.
知识点1 因式分解
(1)小明用的什么方法
(2)小亮的第一个算式用了什么方法
(3)小亮的第二个算式用了什么方法
根据乘方的意义直接进行计算.
乘法对加法的分配律.
平方差公式.
思考：
知识点1 因式分解
(1)观察下面三个算式:
x(x-2)=x2-2x，(x+y)(x-y)=x2-y2，(x+1)2=x2+2x+1.
(2)上面三个算式能反过来，写成整式乘积的形式吗
可以.x2-2x=x(x-2)，
x2-y2=(x+y)(x-y)，
x2+2x+1=(x+1)2.
知识点1 因式分解
像这样，把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫作多项式的因式分解，也叫作将多项式分解因式.其中每个整式都叫作这个多项式的因式.
例 1 下列各式中，从等号左边到右边的变形，哪些是因式分解
(1)x2－4=(x＋2)(x－2);
(2)x2＋4x＋4=(x＋2)2;
(3)7m＋14n=7(m＋2n);
(4)x(y＋1)=xy＋x.
(1)(2)(3)是，(4)不是.
知识点1 因式分解
例 2 下列对多项式的变形，哪些是因式分解 是因式分解的，指出它的各因式.
(1)x2－x=x(x－1);
(2)10x＋5y=5(2x＋y);
(3)a2－1=(a＋1)(a－1);
(4)x2－2x＋1=(x－1)2.
(1)是，因式为x，x-1;
(2)是，因式为5，2x+y;
(3)是，因式为a+1，a-1;
(4)是，因式为x-1，x-1.
知识点1 因式分解
探究
计算下列式子.
(1)m(a＋b－1)=　　　　　　　　;
(2)(m＋4)(m－4)=　　　　　　　　;
(3)(y－3)2=　　　　　　　　;
根据上面的算式填空.
(1)ma＋mb－m=　　　　　　　　;
(2)m2－16=　　　　　　　　;
(3)y2－6y＋9=　　　　　　　　.
因式分解与整式的乘法有什么关系
ma＋mb－m
m2－16
y2－6y＋9
m(a＋b－1)
(m＋4)(m－4)
(y－3)2
知识点2 因式分解与整式乘法的关系
因式分解
多项式乘法
互为相反的变形过程
（多项式）
（几个整式乘积）
多项式的因式分解与乘法运算是不同的.多项式的因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积，而多项式的乘法运算是把几个整式的乘积化成一个多项式.可见，多项式的因式分解与多项式的乘法运算是相反的变形过程，如图所示.
x2-y2
（x+y）(x-y)
知识点2 因式分解与整式乘法的关系
例 3 对下列各式所进行的因式分解正确吗？如果不正确，请改正过来.
解：(1)，(3)正确，(2)，(4)不正确，
(2) 改正为：－10x－10=－10(x+1)；
(4) 改正为： m2 +4m+4 = (m+2)2.
因式分解
多项式乘法
（多项式）
（几个整式乘积）
知识点2 因式分解与整式乘法的关系
例4 请将下列等式左边多项式的另一个因式填在括号里：
x
m+n
1－y
3n
2a－3y +1
a+3
x－1
4x－1
9.2 提公因式法
9.3 公式法
+2
知识点2 因式分解与整式乘法的关系
1. [2024保定期末] 下列各式由左边到右边的变形中，表述正
确的是( )
；
.
C
A. 都是因式分解
B. 都是乘法运算
C. ①是因式分解，②是乘法运算
D. ①是乘法运算，②是因式分解
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2. [2024邯郸期末] 下列各式从左到右的变形，是因式分解且
正确的是( )
D
A.
B.
C.
D.
3.已知多项式 分解因式的结果是
，则 的值为____.
返回
4.如果，求 的值.
【解】 ，
， .
返回
5. 教材P112习题T4若多项式 因式分解后
有一个因式是，则 的值为( )
C
A. B. 5 C. 1 D.
【点拨】设能因式分解成两个一次因式
与 的积，
，
即 .
，， .
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6. 根据如图所示的拼图过程，写出一个多项
式的因式分解：___________________________.
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7. 两名同学将一个二次三项式分解因式，一
名同学因看错了一次项系数而分解成 ，另一名
同学因看错了常数项而分解成 ，求出原多项式.
【解】设原多项式为（其中,, 均为常数，且
）,
,
由题意得, .
,
由题意得 原多项式为 .
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8. 对于多项式，如果我们把
代入 ，发现此多项式的值为0，这时可以断定多项
式中有因式 ，可设
（ 为常数），通过展开多项式
或代入合适的的值即可求出 的值.我们把这种因式分解的
方法叫“试根法”.
根据以上阅读材料，回答下列问题：
（1）请完成下列因式分解：
_____________________；
【解】
（2）若多项式（， 为常数）因式分解后，有
一个因式是，求 的值；
由题意得当时, .
.
.
（3）请用“试根法”分解因式： .
把代入，得 ，
，
，,，解得， .
.
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因式分解
把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫作多项式的因式分解，也叫作将多项式分解因式.其中每个整式都叫作这个多项式的因式.
定义
整式的乘法
互为相反 的变形过程
谢谢观看！