9.2 提公因式法 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
冀教版2024教材数学七年级下册
9.2 提公因式法
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第九章 因式分解
学习目标
1.了解公因式及提公因式的方法，并能正确确定公因式.
2.能熟练运用提公因式法进行因式分解,提升运算能力.
3.进一步理解因式分解的意义,强化代数推理的意识,感受整体思想的应用.
一、教学目标
理解因式分解的概念，掌握因式分解与整式乘法的关系。
熟练运用提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）进行因式分解。
通过因式分解的学习，培养学生观察、分析、归纳的能力，以及逆向思维能力。
二、教学重难点
（一）教学重点
因式分解的概念。
用提公因式法和公式法进行因式分解。
（二）教学难点
正确识别多项式各项的公因式。
灵活运用公式法进行因式分解，尤其是对公式的结构特征的理解和运用。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入（5 分钟）
计算：(x + 2)(x - 2) 与 x - 4；(a + b) 与 a + 2ab + b 。
提问：观察上述两组式子，从左到右和从右到左的变形有什么不同？引入本节课主题 —— 因式分解。
（二）新授（25 分钟）
因式分解的概念
给出定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
举例说明：如 x - 4 = (x + 2)(x - 2)，a + 2ab + b = (a + b) 是因式分解，而 (x + 2)(x - 2) = x - 4，(a + b) = a + 2ab + b 是整式乘法，强调因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形。
提公因式法
展示多项式：ma + mb + mc，分析各项都含有一个公共的因式 m，引出公因式的概念。
提公因式法定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
例 1：分解因式 3x - 6xy + 3x。
分析：各项公因式为 3x。
解答过程：3x - 6xy + 3x = 3x (x - 2y + 1)。
公式法
平方差公式
回顾平方差公式：(a + b)(a - b) = a - b ，逆向得到因式分解的平方差公式：a - b = (a + b)(a - b)。
强调公式特点：等号左边是两项式，这两项都能写成平方的形式，且符号相反；等号右边是这两个数的和与这两个数的差的积。
例 2：分解因式 9x - 16y 。
分析：9x = (3x) ，16y = (4y) ，符合平方差公式。
解答：9x - 16y = (3x + 4y)(3x - 4y)。
完全平方公式
回顾完全平方公式：(a + b) = a + 2ab + b ，(a - b) = a - 2ab + b ，逆向得到因式分解的完全平方公式：a + 2ab + b = (a + b) ，a - 2ab + b = (a - b) 。
强调公式特点：等号左边是三项式，首末两项是两个数的平方，且符号相同，中间一项是这两个数乘积的 2 倍。
例 3：分解因式 4x + 12xy + 9y 。
分析：4x = (2x) ，9y = (3y) ，12xy = 2×2x×3y，符合完全平方公式。
解答：4x + 12xy + 9y = (2x + 3y) 。
（三）练习（15 分钟）
分解因式：
5x - 10x
16 - 25x
x + 10x + 25
让学生板演，教师巡视指导，及时纠正学生出现的错误。
（四）课堂小结（8 分钟）
与学生一起回顾因式分解的概念、提公因式法和公式法（平方差公式、完全平方公式）。
强调因式分解的注意事项：
分解要彻底，直到不能再分解为止。
公因式要提尽。
注意公式的结构特征，正确运用公式。
（五）作业布置（2 分钟）
课本课后习题。
拓展作业：尝试分解因式 x - 4x。
五、教学反思
在教学过程中，应注重引导学生理解因式分解的概念和方法，通过大量实例和练习让学生熟练掌握提公因式法和公式法。同时，要关注学生在找公因式、运用公式时容易出现的错误，及时给予指导和纠正。对于学有余力的学生，可提供一些拓展性的题目，进一步提高他们的思维能力。
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫作多项式的因式分解，也叫作将多项式分解因式.
x2-1 (x+1)(x-1)
因式分解
整式乘法
x2-1 = (x+1)(x-1)
分解因式：
等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积.
复习： 什么叫作因式分解？
问题1：多项式ma+mb+mc有哪几项？
问题2：每一项的因式都分别有哪些？
问题3：这些项中有没有相同的因式，若有，相同的因式是什么？
ma, mb, mc
依次为m, a和m, b和m, c
有，为m
问题4：请说出多项式ab2-2a2b中各项的相同的因式.
ab
相同因式p
这个多项式有什么特点？
pa+pb+pc
一般地，多项式的各项都含有的因式，叫作这个多项式各项的公因式，简称多项式的公因式.
知识点1 确定公式因
例1 找 3x 2 – 6 xy 的公因式.
系数：最大公约数
3
字母：
相同的字母
x
公因式是3x.
指数：
相同字母的最低次幂
1
知识点1 确定公式因
正确找出多项式各项公因式的关键
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.
知识点1 确定公式因
例 2 写出下列多项式的公因式.
(1)6x－9x2；
(2)abc＋2a；
(3)abc－ab2＋2ab；
(4)2x2y＋4xy2－6xy.
3x　
a　
ab　
2xy
知识点1 确定公式因
问题：ma+mb+mc=m( )
ab2-2a2b=ab( )
(提示，逆用乘法分配律）
逆用乘法对加法的分配律，可以把公因式提到括号外边作为积的一个因式，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种将多项式分解因式的方法，叫作提公因式法.
a+b+c
b-2a
知识点2 提公因式法分解因式
思考：以下是三名同学对多项式2x2+4x分解因式的结果：
（1）2x2+4x = 2(x2+2x)；
（2）2x2+4x = x(2x+4)；
（3） 2x2+4x = 2x(x+2).
第几位同学的结果是正确的？
用提公因式法分解因式应注意哪些问题呢？
知识点2 提公因式法分解因式
（3）是正确的.
(1) 8a3b2 + 12ab3c；
例3 把下列各式分解因式
分析：提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.
(2) 2a(b+c) - 3(b+c).
公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
知识点2 提公因式法分解因式
解：（1） 8a3b2 + 12ab3c
=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
=4ab2(2a2+3bc).
如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公因式？
另一个因式将是2a2b+3b2c,
它还有公因式b.
（2） 2a(b+c)-3(b+c)
=(b+c)(2a-3).
如何检查因式分解是否正确？
做整式乘法运算.
知识点2 提公因式法分解因式
整体思想是数学中一种重
要而且常用的思想方法.
把12x2y+18xy2分解因式.
解：原式 =3xy(4x + 6y).
错误
公因式没有提尽，还可以提出公因式2.
注意：公因式要提尽.
正解：原式=6xy(2x+3y).
小明的解法有误吗？
知识点2 提公因式法分解因式
当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.
错误
注意：某项提出勿漏1.
解：原式 =x(3x-6y).
把3x2 - 6xy+x分解因式.
正解：原式=3x·x-6y·x+1·x
=x(3x-6y+1).
小亮的解法有误吗？
知识点2 提公因式法分解因式
提出负号时括号里的项没变号.
错误
把 - x2+xy-xz分解因式.
解：原式= - x(x+y-z).
注意：首项有负常提负.
正解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z).
小华的解法有误吗？
知识点2 提公因式法分解因式
例 4 把下列多项式分解因式：
(1)3a3b+9a2b2-3a2b； (2)-3x2+6xy-3xz.
解：(1)3a3b+9a2b2-3a2b
=3a2b·a+3a2b·3b-3a2b·1
=3a2b(a+3b-1).
知识点2 提公因式法分解因式
(2) -3x2+6xy-3xz
=(-3x)·x+(-3x)·(-2y)+(-3x)·z
=-3x·(x-2y+z).
例 5 分解因式：3x(a-b)+2(b-a).
解: 3x(a-b)+2(b-a)
=3x(a-b)-2(a-b)
=(a-b)(3x-2).
知识点2 提公因式法分解因式
例 6 计算：
(1)39×37－13×91；
(2)29×20.25＋72×20.25＋13×20.25－20.25×14.
(2)原式＝20.25×(29＋72＋13－14)＝2 025.
＝13×20＝260.
解：(1)原式＝3×13×37－13×91
＝13×(3×37－91)
方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
知识点2 提公因式法分解因式
例 7 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
解：∵a＋b＝7，ab＝4，
方法总结：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带入即可.
知识点2 提公因式法分解因式
1. [2024菏泽期末] 多项式（， 均为
大于1的整数）各项的公因式是( )
B
A. B.
C. D.
2. [2024邢台模拟] 把 分解因式时，提出公
因式后，另一个因式是( )
A
A. B.
C. D.
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3. 把 因式分解，正
确的结果是( )
B
A. B.
C. D.
返回
4. 计算 的结果是( )
A
A. B.
C. D.
【点拨】 .
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5. 整式， ，下列结论：
结论一： .
结论二：，的公因式为 .
下列判断正确的是( )
A
A. 结论一正确，结论二不正确
B. 结论一不正确，结论二正确
C. 结论一、结论二都正确
D. 结论一、结论二都不正确
【点拨】，则，， 的公因
式是， 结论一正确，结论二不正确.故选A.
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6. 在处填入一个整式，使关于 的多项式
可以因式分解，则 可以为__________________
（写出一个即可）.
（答案不唯一）
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7. 如图，长方形的长、
宽分别为,，且比 大3，面积为7，则
的值为____.
【点拨】由题意可知， ，
， .
21
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8. 教材P115习题T1 把下列各式分解因式：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式 .
返回
系数：各项系数的 .
提公因式法
确定
公因式
字母：各项 的字母
相同字母的指数取次数 .
最大公约数
相同
最低的
多项式的各项都含有的因式，叫作这个多项式各项的公因式，简称多项式的公因式.
逆用乘法对加法的分配律，可以把公因式提到括号外边作为积的一个因式，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种将多项式分解因式的方法，叫作提公因式法.
谢谢观看！