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冀教版2024教材数学七年级下册
9.3.1平方差公式
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第九章 因式分解
学习目标
1.经历通过乘法公式(a +b)(a -b) =a2 -b2的逆向变形得出利用公式法分解因式的过程，发展逆向思维和推理能力.
2.会用公式法分解因式.
3.掌握因式分解的一般步骤,并能进行相关恒等变形、计算与求值.
.
一、教学目标
理解因式分解的概念，掌握因式分解与整式乘法的关系。
熟练运用提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）进行因式分解。
通过因式分解的学习，培养学生观察、分析、归纳的能力，以及逆向思维能力。
二、教学重难点
（一）教学重点
因式分解的概念。
用提公因式法和公式法进行因式分解。
（二）教学难点
正确识别多项式各项的公因式。
灵活运用公式法进行因式分解，尤其是对公式的结构特征的理解和运用。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入（5 分钟）
计算：(x + 2)(x - 2) 与 x - 4；(a + b) 与 a + 2ab + b 。
提问：观察上述两组式子，从左到右和从右到左的变形有什么不同？引入本节课主题 —— 因式分解。
（二）新授（25 分钟）
因式分解的概念
给出定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
举例说明：如 x - 4 = (x + 2)(x - 2)，a + 2ab + b = (a + b) 是因式分解，而 (x + 2)(x - 2) = x - 4，(a + b) = a + 2ab + b 是整式乘法，强调因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形。
提公因式法
展示多项式：ma + mb + mc，分析各项都含有一个公共的因式 m，引出公因式的概念。
提公因式法定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
例 1：分解因式 3x - 6xy + 3x。
分析：各项公因式为 3x。
解答过程：3x - 6xy + 3x = 3x (x - 2y + 1)。
公式法
平方差公式
回顾平方差公式：(a + b)(a - b) = a - b ，逆向得到因式分解的平方差公式：a - b = (a + b)(a - b)。
强调公式特点：等号左边是两项式，这两项都能写成平方的形式，且符号相反；等号右边是这两个数的和与这两个数的差的积。
例 2：分解因式 9x - 16y 。
分析：9x = (3x) ，16y = (4y) ，符合平方差公式。
解答：9x - 16y = (3x + 4y)(3x - 4y)。
完全平方公式
回顾完全平方公式：(a + b) = a + 2ab + b ，(a - b) = a - 2ab + b ，逆向得到因式分解的完全平方公式：a + 2ab + b = (a + b) ，a - 2ab + b = (a - b) 。
强调公式特点：等号左边是三项式，首末两项是两个数的平方，且符号相同，中间一项是这两个数乘积的 2 倍。
例 3：分解因式 4x + 12xy + 9y 。
分析：4x = (2x) ，9y = (3y) ，12xy = 2×2x×3y，符合完全平方公式。
解答：4x + 12xy + 9y = (2x + 3y) 。
（三）练习（15 分钟）
分解因式：
5x - 10x
16 - 25x
x + 10x + 25
让学生板演，教师巡视指导，及时纠正学生出现的错误。
（四）课堂小结（8 分钟）
与学生一起回顾因式分解的概念、提公因式法和公式法（平方差公式、完全平方公式）。
强调因式分解的注意事项：
分解要彻底，直到不能再分解为止。
公因式要提尽。
注意公式的结构特征，正确运用公式。
（五）作业布置（2 分钟）
课本课后习题。
拓展作业：尝试分解因式 x - 4x。
五、教学反思
在教学过程中，应注重引导学生理解因式分解的概念和方法，通过大量实例和练习让学生熟练掌握提公因式法和公式法。同时，要关注学生在找公因式、运用公式时容易出现的错误，及时给予指导和纠正。对于学有余力的学生，可提供一些拓展性的题目，进一步提高他们的思维能力。
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
1.什么叫把多项式分解因式
把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫作多项式的因式分解，也叫作将多项式分解因式.
2.已学过哪一种分解因式的方法
提公因式法
填空:
(1)(x＋5)(x－5)= ;
(2)(3x＋y)(3x－y)= ;
(3)(3m＋2n)(3m－2n)= .
尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积:
(1)x2－25= ;
(2)9x2－y2= ;
(3)9m2－4n2= .
x2－25
9x2－y2
9m2－4n2
(x＋5)(x－5)
(3x＋y)(3x－y)
(3m＋2n)(3m－2n)
想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
是a,b两数的平方差的形式
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
知识点1 平方差公式的结构特征
平方差公式的特点
公式左边
公式右边
共有两项，
两项符号相反，
且都是平方形式.
两个数的和乘以这两个数的差.
知识点1 平方差公式的结构特征
√
√
×
×
下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
√
√
★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2-( )2的形式.
两数是平方，
减号在中央．
（1）x2+y2；
（2）x2-y2；
（3）-x2-y2；
-(x2+y2)
y2-x2
（4）-x2+y2；
（5）x2-25y2；
(x+5y)(x-5y)
（6）m2-1.
(m+1)(m-1)
知识点1 平方差公式的结构特征
试一试：试着将下面的多项式分解因式.
(1)p2－16= ;
(2)y2－4= ;
(3)x2－ = ;
(4)4a2－b2= .
(p＋4)(p－4)
(y＋2)(y－2)
(2a＋b)(2a－b)
知识点2 用平方差公式进行因式分解
例1 把下列各式分解因式:
(1)4x2-9y2 ；
(2)(3m-1)2-9
(1)4x2-9y2=
解：
(2x)2 - (3y)2
=(2x+3y)(2x-3y)
a2 - b2 = (a+b) (a-b)
(2)(3m-1)2-9=
(3m-1)2 - 32
=(3m-1+3）(3m-1-3)
=（3m+2)(3m-4)
知识点2 用平方差公式进行因式分解
跟踪训练 分解因式：
(1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2.
解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b)；
若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.
知识点2 用平方差公式进行因式分解
(2) 9(m＋n)2－(m－n)2 ＝[3(m＋n)]2－(m－n)2
＝ [3(m＋n)＋(m－n)] [3(m＋n)－(m－n)]
＝ (3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n)
＝(4m＋2n)(2m＋4n)
＝4(2m＋n)(m＋2n).
例2 已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．
∴x－y＝－2②.
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，
x＋y＝1①，
联立①②组成二元一次方程组，
解得
方法总结：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
知识点2 用平方差公式进行因式分解
例3 把下列各式分解因式.
(1)a3－16a; (2)2ab3－2ab.
(2)2ab3－2ab
=2ab(b2－1)
=2ab(b＋1)(b－1).
解:(1)a3－16a
=a(a2－16)
=a(a－4)(a＋4).
当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，再进一步因式分解.
知识点2 用平方差公式进行因式分解
跟踪训练 把x3－9x分解因式，结果正确的是( )
A.x(x2－9)
B.x(x－3)2
C.x(x＋3)2
D.x(x＋3)(x－3)
D
注意：因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
知识点2 用平方差公式进行因式分解
（1）公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.（2）分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．
知识点2 用平方差公式进行因式分解
例4 计算下列各题：
(1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400；
(2)原式＝4×(53.52－46.52)
=4×(53.5＋46.5)×(53.5－46.5)
＝4×100×7=2 800.
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
知识点2 用平方差公式进行因式分解
1. 课堂上老师在黑板上布置了以下的题目：
用平方差公式分解因式：
（1）；（2） ；
（3）；（4） .
涛涛发现有一道题目错了，错误的题目是( )
B
A. （1） B. （2） C. （3） D. （4）
返回
2. [2024邯郸模拟] 将多项式“ ？”因式分解，结果为
，则“？”是( )
C
A. 3 B. C. 9 D.
3.[2024宜宾] 分解因式: _______________.
4.一个长方形的面积为，宽为 ，则该长方形
的长为_______.
5.若，，则 的值为___.
4
返回
6. 教材P117例1 分解因式：
（1） ;
【解】 .
（2） .
.
返回
7. 下面是嘉淇同学把多项式
因式分解的具体解法：
.
（1）事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是
________________________；
【解】公因式没有提取完
（2）请给出这个问题的正确解法.
原式 .
返回
8. 有四个式子：，，， ，
请你从中选出两个，使两者之差能按照以下要求进行因式分
解，并写出因式分解的结果.
（1）利用提公因式法；
【解】选取：与 ，
.
（2）利用公式法.
选取：与， .
（答案不唯一）
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9. 教材P124复习题T8 若 为任意整数，则
的值总能( )
D
A. 被5整除 B. 被6整除 C. 被7整除 D. 被8整除
【点拨】
，
的值总能被8整除.故选D.
返回
平方差公式分解因式
公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
谢谢观看！(共30张PPT)
冀教版2024教材数学七年级下册
9.3.2完全平方公式
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第九章 因式分解
学习目标
1.经历通过乘法公式(a±b)2 =a2±2ab+b2的逆向变形得出利用公式法分解因式的过程，发展逆向思维和推理能力.
2.会用公式法(直接用公式不超过两次)分解因式.
3.掌握因式分解的一般步骤,并能进行相关恒等变形、计算与求值.
.
一、教学目标
理解因式分解的概念，掌握因式分解与整式乘法的关系。
熟练运用提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）进行因式分解。
通过因式分解的学习，培养学生观察、分析、归纳的能力，以及逆向思维能力。
二、教学重难点
（一）教学重点
因式分解的概念。
用提公因式法和公式法进行因式分解。
（二）教学难点
正确识别多项式各项的公因式。
灵活运用公式法进行因式分解，尤其是对公式的结构特征的理解和运用。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入（5 分钟）
计算：(x + 2)(x - 2) 与 x - 4；(a + b) 与 a + 2ab + b 。
提问：观察上述两组式子，从左到右和从右到左的变形有什么不同？引入本节课主题 —— 因式分解。
（二）新授（25 分钟）
因式分解的概念
给出定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
举例说明：如 x - 4 = (x + 2)(x - 2)，a + 2ab + b = (a + b) 是因式分解，而 (x + 2)(x - 2) = x - 4，(a + b) = a + 2ab + b 是整式乘法，强调因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形。
提公因式法
展示多项式：ma + mb + mc，分析各项都含有一个公共的因式 m，引出公因式的概念。
提公因式法定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
例 1：分解因式 3x - 6xy + 3x。
分析：各项公因式为 3x。
解答过程：3x - 6xy + 3x = 3x (x - 2y + 1)。
公式法
平方差公式
回顾平方差公式：(a + b)(a - b) = a - b ，逆向得到因式分解的平方差公式：a - b = (a + b)(a - b)。
强调公式特点：等号左边是两项式，这两项都能写成平方的形式，且符号相反；等号右边是这两个数的和与这两个数的差的积。
例 2：分解因式 9x - 16y 。
分析：9x = (3x) ，16y = (4y) ，符合平方差公式。
解答：9x - 16y = (3x + 4y)(3x - 4y)。
完全平方公式
回顾完全平方公式：(a + b) = a + 2ab + b ，(a - b) = a - 2ab + b ，逆向得到因式分解的完全平方公式：a + 2ab + b = (a + b) ，a - 2ab + b = (a - b) 。
强调公式特点：等号左边是三项式，首末两项是两个数的平方，且符号相同，中间一项是这两个数乘积的 2 倍。
例 3：分解因式 4x + 12xy + 9y 。
分析：4x = (2x) ，9y = (3y) ，12xy = 2×2x×3y，符合完全平方公式。
解答：4x + 12xy + 9y = (2x + 3y) 。
（三）练习（15 分钟）
分解因式：
5x - 10x
16 - 25x
x + 10x + 25
让学生板演，教师巡视指导，及时纠正学生出现的错误。
（四）课堂小结（8 分钟）
与学生一起回顾因式分解的概念、提公因式法和公式法（平方差公式、完全平方公式）。
强调因式分解的注意事项：
分解要彻底，直到不能再分解为止。
公因式要提尽。
注意公式的结构特征，正确运用公式。
（五）作业布置（2 分钟）
课本课后习题。
拓展作业：尝试分解因式 x - 4x。
五、教学反思
在教学过程中，应注重引导学生理解因式分解的概念和方法，通过大量实例和练习让学生熟练掌握提公因式法和公式法。同时，要关注学生在找公因式、运用公式时容易出现的错误，及时给予指导和纠正。对于学有余力的学生，可提供一些拓展性的题目，进一步提高他们的思维能力。
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
1.因式分解：
2.我们已经学过哪些因式分解的方法？
1.提公因式法
2.平方差公式法
a2-b2=(a+b)(a-b)
把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫作多项式的因式分解，也叫作将多项式分解因式.
多项式a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2有什么特点？你能试着将它们分解因式吗？
a2＋2ab＋b2
=a2＋ab＋ab＋b2
=a(a＋b)＋b(a＋b)
=(a＋b)(a＋b)
a2－2ab＋b2
=a2－ab－ab＋b2
=a(a－b)－b(a－b)
=(a－b)(a－b)
=(a＋b)2
=(a－b)2
提公因式
提公因式
分组
和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到
整式乘法
(a＋b)2=a2＋2ab＋b2
(a－b)2=a2－2ab＋b2
a2＋2ab＋b2=(a＋b)2
a2－2ab＋b2=(a－b)2
因式分解
a2+2ab+b2
a2－2ab+b2
我们把a +2ab+b 和a -2ab+b 这样的式子叫作完全平方式.
观察这两个式子：
（1）每个多项式有几项？
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
三项
这两项都是数或式的平方，并且符号相同
是第一项和第三项底数的积的±2倍
知识点1 完全平方公式的结构特征
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
2
a
b
+ b2
±
=(a ± b)
a2
首2 +
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
知识点1 完全平方公式的结构特征
例 1 下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4; （2）1+4a ;
（3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2;
（5）x2+x+0.25.
是
（2）因为它只有两项；
不是
（3）4b 与-1的符号不统一；
不是
分析：
不是
是
（4）因为ab不是a与b的积的2倍.
知识点1 完全平方公式的结构特征
对照 a ±2ab+b =(a±b) ，填空：
③ a +4ab+4b =( ) +2· ( ) ·( )+( ) =( )
② m -6m+9=( ) - 2· ( ) ·( )+( ) =( )
① x +4x+4= ( ) +2·( )·( )+( ) =( )
x
2
x+2
a
a 2b
a + 2b
2b
m
m - 3
3
x
2
m
3
知识点2 用完全平方公式分解因式
.
.
.
例2 把下列各式分解因式：
(1)t2＋22t＋121； (2)m2＋ n2－mn.
解：(1)t2＋22t＋121
=t2＋2×11t＋112
=(t＋11)2.
知识点2 用完全平方公式分解因式
跟踪训练 下面的多项式能否用完全平方公式分解因式 请说明理由.
(1)x2＋10x＋25； (2)4m2－4m＋l；
(3)4a2＋18ab＋9b2； (4)m2－4mn＋4n2.
解：(1)能，x2＋10x＋25=x2＋2×5x＋52=(x＋5)2.
(2)能，4m2－4m＋1=(2m)2－2×2m×1＋12=(2m－1)2.
(3)不能，4a2＋18ab＋9b2≠(2a)2＋2×2a×3b＋(3b)2.
(4)能，m2－4mn＋4n2=m2－2×m×2n＋(2n)2=(m－2n)2.
知识点2 用完全平方公式分解因式
思考：具有什么特征的多项式能用完全平方公式分解因式
具有a2＋2ab＋b2或a2-2ab＋b2特征的多项式能用完全平方公式分解因式.
方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成完全平方的形式，就能用完全平方公式因式分解.
知识点2 用完全平方公式分解因式
解：(1)(x＋y)2－4(x＋y)＋4
=(x＋y)2－2·(x＋y)·2＋22
=(x＋y－2)2
运用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法叫作公式法.
例3 把下列各式分解因式：
(1)(x＋y)2－4(x＋y)＋4；
(2)(3m－1)2＋(3m－1)＋ .
知识点2 用完全平方公式分解因式
例4 把下列各式因式分解：
(1)3ax2＋6axy＋3ay2；(2)－x2－4y2＋4xy.
解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2 ＝ 3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2；
a2
＋
2ab
＋
b2
＝
(a+b)2
(2)－x2－4y2＋4xy＝ －(x2＋4y2－4xy)
＝ －(x2－4xy＋4y2)＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]＝ －(x－2y)2.
a2
－
＋
b2
＝
(a-b)2
2 a b
知识点2 用完全平方公式分解因式
方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，
一般先提公因式，再套用公式，平方项为负的先提出负号．
注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．
知识点2 用完全平方公式分解因式
例 5 用完全平方公式分解因式：
(1)1002－2×100×99+99 ；
(2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=（100－99)
(2)原式＝(34＋16)2
=1.
＝2 500.
知识点2 用完全平方公式分解因式
1. 下列各式：； ；
； ，其中不能用完全平方公式因
式分解的个数为( )
B
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. [2024北京石景山区期末] 把 分解因式，结
果正确的是( )
C
A. B. C. D.
返回
3. 教材P121练习 若将多项式 加上一个单
项式后，就能够在我们所学范围内因式分解，则单项式 不
可能是( )
D
A. B. C. D.
返回
4. 如果， ，那么
的值为( )
D
A. 0 B. 1 C. 4 D. 9
【点拨】, ,
.
返回
5.用图①中的正方形和长方形纸片可拼成图②所示的正方形，
用因式分解的方法表示一个恒等式为____________________
___.
6.计算： ___.
4
返回
7. 教材P121习题T2 把下列各式分解因式：
（1） ;
【解】 .
（2） ;
.
（3） .
.
返回
8. 给出三个多项式： ;
; .
（1）请任意选择两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解；
【解】选择 （答案不唯一）.
.
（2）当, 时，求第（1）问所得的代数式的值.
当，时，原式 .
返回
9. 不论，为任何实数， 的值总是
( )
B
A. 非负数 B. 正数 C. 负数 D. 0
返回
10. 已知,则 的值
为( )
A
A. 36 B. 42 C. 48 D. 50
【点拨】， ，
.
返回
11. [2024邢台校级月考] 已知， ，其
中 为正整数，下列两名同学的说法中正确的是( )
嘉嘉：由已知条件可知 .
淇淇：由已知条件可知 .
B
A. 只有嘉嘉正确 B. 只有淇淇正确
C. 两人都正确 D. 两人都不正确
【点拨】，， 为正整数，
,与 不相符，故嘉嘉的判断错误；
，，为正整数，， .
又， ，故淇淇的判断正确.故选B.
返回
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
特点
（1）多项式有三项.
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负
完全平方公式分解因式
1.
整式的乘法
因式分解
公式法
2.因式分解的步骤：
（1）先看多项式是否有公因式，有公因式的应先提出公因式.
（2）再看能否用公式法
两项
三项
考虑能否用平方差公式
考虑能否用完全平方公式
（3）检查每一个多项式因式是否都不能再分解，能分解的继续分解到不能分解为止.
整体思想
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