(共23张PPT)
冀教版2024教材数学七年级下册
10.2.1三角形的内角和定理
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第十章 三角形
学习目标
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.
2.会运用三角形内角和等于180°进行计算.
三角形教案
一、教学目标
学生能够准确识别三角形，理解三角形的定义、基本要素（边、角、顶点）。
深入探究并掌握三角形三边关系，能运用其判断三条线段能否构成三角形。
了解三角形按边、按角的分类方式，清晰区分各类三角形的特征。
通过观察、测量、实验等活动，培养学生的动手操作能力、空间观念和逻辑推理能力。
二、教学重难点
（一）教学重点
三角形的定义及基本要素。
三角形三边关系的探究与应用。
三角形的分类方法及各类三角形的特点。
（二）教学难点
探究三角形三边关系的过程及对 “任意两边之和大于第三边” 的理解与应用。
准确区分不同类型三角形，尤其是等腰三角形与等边三角形的关系。
三、教学方法
讲授法、实验法、讨论法相结合
四、教学过程
（一）导入（5 分钟）
展示生活中含有三角形的图片，如桥梁结构、自行车车架、三角尺等。
提问学生：“在这些图片中，你们都发现了哪种共同的图形？” 引导学生观察并回答出三角形，从而引出本节课主题 —— 三角形。
（二）新授（25 分钟）
三角形的定义及基本要素
让学生自己尝试画出一个三角形，然后请几位同学上台展示并描述自己所画三角形的特征。
给出三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
结合学生所画三角形，介绍三角形的边、角、顶点等基本要素，如三角形 ABC（记作△ABC），三条边分别为 AB、BC、AC，三个角分别为∠A、∠B、∠C，三个顶点分别为 A、B、C。
三角形三边关系
实验探究：给每个小组发放长
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形.
三角形任意两边之和大于第三边.
2.三角形的三边有什么关系？
1.什么叫做三角形？
内角三兄弟之争
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷.你知道其中的道理吗？
三兄弟的和应为180度！
思考：1.任意一个三角形的三个内角有怎样的数量关系呢？
三角形三个内角的和等于180°
2.小学阶段，我们是怎样验证三角形内角和是180°的？
（1）度量法 （2）剪拼法
请利用准备好的三角形纸片，用剪拼法来验证三角形的内角和等于180°.
要求：剪拼过程中保持一个角的位置不动.
A
E
A
B
C
D
3
1
2
B
C
D
E
1
2
3
知识点 三角形的内角和
A
B
C
D
E
1
2
3
D
A
E
B
C
1
2
3
已知△ABC，对∠A+∠B+∠C=180°说明理由.
D
A
E
B
C
1
2
3
理由：过点A，作DE//BC.
∵DE//BC，
∴∠2=∠B（两直线平行，内错角相等），
∠3=∠C（两直线平行，内错角相等），
∵∠2+∠1+∠3=180°（平角定义），
∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换）.
知识点 三角形的内角和
E
A
B
C
D
3
1
2
D
A
E
B
C
1
2
3
怎样利用第二种拼接方法，对三角形内角和是180°进行说理？
延长BC到点E，过点C作CD//AB.
延长BC到点E，过点C作∠DCE=∠B.
知识点 三角形的内角和
A
E
B
C
1
2
理由：过点A，作AE//BC.
∵AE//BC，
∴∠2=∠C（两直线平行，内错角相等），
∠BAE+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠1+∠2+∠B=180°（等量代换），
即∠B+∠BAC+∠C=180°.
知识点 三角形的内角和
平行线起着桥梁的作用，把角从一个位置转移到另一个位置.
A
E
B
C
D
A
E
B
C
D
A
E
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D
D
D
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上自己加上的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。注意要说明所加辅助线的位置、名称和性质。
知识点 三角形的内角和
三角形内角和定理：
三角形的内角和等于180° .
符号表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
A
B
C
知识点 三角形的内角和
例 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=65°，求∠C的度数.
A
B
C
解：∵∠A＋∠B+∠C=180°(三角形的内角和定理),
∴∠C=180°-(∠A＋∠B).
∵∠A=30°，∠B=65°，(已知)
∴∠C=180°-(30°＋65°)=85°.
知识点 三角形的内角和
1. 教材P130例1 在三角形中， ，
，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
2. 在中，，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
返回
3. 将一个含 角的三角板和直尺如图
放置，若 ，则 的度数是
( )
B
A. B. C. D.
【点拨】如图,由题意得 .
，
，
.
.
返回
4. 教材P130大家谈谈 在探究说明“三角形的内角和是
”时，作了如下四种辅助线，其中不能说明“三角形内角
和是 ”的是( )
D
A. 过点作
B. 过上一点作，
C. 延长到点，过点作
D. 作于点
【点拨】A.由，得 ，
，
，故A不符合题意.由 ，
得，.由，得 ，
，
，
，故B不符合题意.由 ，得
，
，
，故C不符合题意.由
于点，得 .无法证得三角形内角和是
，故D符合题意.
返回
（第5题）
5. 如图， ，， 分别平分
和，则 的度数是( )
A
A. B. C. D.
（第5题）
【点拨】在中， ，
.,分别平分 和
， ，
在 中，
， .
返回
6.如图，一块模板按规定，的延长线相交应成 角，
因交点不在模板上，不便于测量，工人师傅便连接 ，并测
得 ， ，这时， 的延长线相交
所成的角________规定（填“符合”或“不符合”）.
不符合
（第6题）
三角形的内角和定理
内容
应用
三角形的内角和等于180°
通过作辅助线，结合平行线的性质，验证定理
求三角形的内角度数
谢谢观看！(共23张PPT)
冀教版2024教材数学七年级下册
10.2.2 三角形的外角及其性质
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第十章 三角形
学习目标
1.了解三角形外角的概念.
2.掌握三角形外角的性质.
三角形教案
一、教学目标
学生能够准确识别三角形，理解三角形的定义、基本要素（边、角、顶点）。
深入探究并掌握三角形三边关系，能运用其判断三条线段能否构成三角形。
了解三角形按边、按角的分类方式，清晰区分各类三角形的特征。
通过观察、测量、实验等活动，培养学生的动手操作能力、空间观念和逻辑推理能力。
二、教学重难点
（一）教学重点
三角形的定义及基本要素。
三角形三边关系的探究与应用。
三角形的分类方法及各类三角形的特点。
（二）教学难点
探究三角形三边关系的过程及对 “任意两边之和大于第三边” 的理解与应用。
准确区分不同类型三角形，尤其是等腰三角形与等边三角形的关系。
三、教学方法
讲授法、实验法、讨论法相结合
四、教学过程
（一）导入（5 分钟）
展示生活中含有三角形的图片，如桥梁结构、自行车车架、三角尺等。
提问学生：“在这些图片中，你们都发现了哪种共同的图形？” 引导学生观察并回答出三角形，从而引出本节课主题 —— 三角形。
（二）新授（25 分钟）
三角形的定义及基本要素
让学生自己尝试画出一个三角形，然后请几位同学上台展示并描述自己所画三角形的特征。
给出三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
结合学生所画三角形，介绍三角形的边、角、顶点等基本要素，如三角形 ABC（记作△ABC），三条边分别为 AB、BC、AC，三个角分别为∠A、∠B、∠C，三个顶点分别为 A、B、C。
三角形三边关系
实验探究：给每个小组发放长
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
1.什么是三角形的内角？其和等于多少？
三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，它们的和是180 °
2.三角形按边分类，可以分成哪几类？
两边相等的等腰三角形
三边相等的等腰三角形
等边三角形
三角形
等腰三角形
三边不等的三角形
按边分
不等边三角形
上节课我们学习了三角形的内角,知道了三角形的三个内角和是180°.请大家观察下面的图形中的角.∠ACD是三角形的内角吗？
A
D
C
B
？
内角
内角
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
A
B
C
D
(
∠ACD是△ABC的一个外角
与外角∠ACD不相邻的内角
与外角∠ACD相邻的内角
知识点1 三角形的外角及性质
（
（
（
（
（
（
A
B
C
1
2
3
4
5
6
A
B
C
问题1：△ABC如图所示，请画出△ABC的所有外角，指出来有哪几个.
有6个，它们是∠1， ∠2， ∠3， ∠4， ∠5， ∠6.
问题2：△ABC的6个外角有什么关系
∠1和∠4, 是对顶角，相等；
∠2和∠5, 是对顶角，相等；
∠3和∠6, 是对顶角，相等.
知识点1 三角形的外角及性质
问题3：在图中，外角∠ACD与它不相邻的内角∠A，∠B之间有什么大小关系？
解：∵∠ACD+∠ACB = 180°，(补角的定义）
∠A +∠B +∠ACB = 180°，(三角形的内角和定理）
∴∠ACD-∠A-∠B = 0.
∴∠ACD =∠A +∠B.
∵∠A＞0，∠B＞0，
∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.
知识点1 三角形的外角及性质
三角形的外角的性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.
归纳
知识点1 三角形的外角及性质
例1 如图，∠BCD=92°，∠A=27°，∠BED=44°，求：
(1) ∠B的度数；(2) ∠BFD的度数；
A
C
D
E
B
解：(1) 在△ABC中，∵ ∠BCD=∠A+∠B(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和),
∠BCD=92°，∠A=27°，(已知)
∴∠B=∠BCD-∠A=92°-27°=65°；
(2) 在△BEF中，∵ ∠BFD=∠B+∠BED(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和),
∠BED=44°，∠B=65°，(已知)
∴∠BFD=44°+65°=109°.
知识点1 三角形的外角及性质
例2 (一题多解）如图，计算∠BDC.
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
解：（解法一）连接AD并延长于点E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
（解法二）延长BD交AC于点E.
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
知识点1 三角形的外角及性质
谈一谈
1.一个三角形的内角最多有几个直角，最多有几个钝角？
2.一个三角形能不能三个内角都是锐角？
知识点2 三角形按角分类
问题4：按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形.
三个内角都是锐角的三角形
有一个内角是直角的三角形
有一个内角是钝角的三角形
知识点2 三角形按角分类
请你试着以角为标准对三角形进行分类
两边相等的等腰三角形
三边相等的等腰三角形
三角形
按角分
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
等腰直角三角形
等边三角形
三角形
等腰三角形
三边不等的三角形
按边分
不等边三角形
知识点2 三角形按角分类
1. [2024秦皇岛模拟] 如图，若 ，则 的度数为
( )
B
（第1题）
A. B. C. D.
返回
2. 如图，被信封遮住的三角形是( )
D
（第2题）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 以上都有可能
返回
3. [2024廊坊校级月考] 如图，在 中，点
，在射线上，则，， 之间的大小
关系为( )
D
A. B.
C. D.
返回
4.[2024石家庄藁城区期末] 将一副三角板按图中方式叠放，
则 的度数为____.
（第4题）
返回
5. 如图，一束平行于水平面的光线经过凹透
镜折射后与另一束穿过光心的光线相交于点 ，若
， ，则_____ .
150
（第5题）
【点拨】如图,延长交直线于点 ，
由题意得，又 ，
.又
，
.
.
返回
6. 教材P134习题T2 三角形的一个外角等于与它相邻
的内角的5倍，又等于与它不相邻的一个内角的3倍，则该三
角形各角的度数为_________________.
， ，
【点拨】设和外角相邻的内角为 ，则外角为 ，
，解得 外角为 . 与
外角不相邻的一个内角为 . 另外一个内角为
. 该三角形各角的度数为 ， ，
.
返回
三角形的外角
定义
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角．
直角三角形
锐角三角形
三角形按角分类
钝角三角形
谢谢观看！
