11.1 不等式 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
冀教版2024教材数学七年级下册
11.1 不等式
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
第十一章 一元一次不等式和一元一次不等式组
学习目标
经历从具体问题情境中建立不等式模型的过程,抽象出不等式的概念,建立模型观念.
一、教学目标
学生能够准确理解一元一次不等式的概念，识别其特征。
熟练掌握一元一次不等式的解法，能正确求解并在数轴上表示解集。
通过实际问题的分析，建立一元一次不等式模型，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
经历从实际问题抽象出一元一次不等式的过程，体会数学中的建模思想，提升学生的逻辑思维能力。
二、教学重难点
（一）教学重点
一元一次不等式的概念。
一元一次不等式的解法步骤及在数轴上表示解集。
运用一元一次不等式解决简单的实际问题。
（二）教学难点
正确理解不等式的性质，尤其是不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数时，不等号方向改变这一性质的应用。
从实际问题中找出不等关系，建立一元一次不等式模型。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入（5 分钟）
展示生活中的一些场景图片，如限速标志（如最高限速 60km/h）、购物满减活动（如满 200 元减 50 元）等。
提出问题：“同学们，在这些场景中，我们能发现哪些数量关系呢？” 引导学生思考并回答，引出本节课要学习的不等式相关内容。
（二）新授（25 分钟）
不等式的概念
给出一些不等式的例子，如 3x > 5，2y - 1 ≤ 7 等，让学生观察这些式子与等式的区别。
总结不等式的定义：用不等号（大于 “>”、小于 “<”、大于等于 “≥”、小于等于 “≤”）表示不等关系的式子叫做不等式。
举例让学生判断哪些式子是不等式，如 5 + 3 = 8（不是），a + 2 > 5（是）等，加深学生对不等式概念的理解。
一元一次不等式的概念
展示几个特殊的不等式：2x - 3 > 1， - 3y + 5 ≤ 2y 等，引导学生观察这些不等式中未知数的个数和次数。
给出一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，系数不为 0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式。
强调概念中的关键要素：一个未知数、次数为 1、整式等。通过举例让学生判断，如 x + 1 > 2x（不是，未知数次数是 2），1/x <3（不是，不是整式），3x - 5> 0（是），强化学生对概念的掌握。
不等式的性质
回顾等式的基本性质，如等式两边同时加（或减）同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘（或除以）同一个不为 0 的数，等式仍然成立。
通过具体例子，如比较 5 和 3 的大小，5 > 3，那么 5 + 2 > 3 + 2，5 - 1 > 3 - 1，探究不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号方向的变化情况，得出不等式性质 1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
类似地，对于不等式两边同时乘（或除以）同一个数的情况，分正数和负数两种情况讨论。例如，2 <3，2×2 < 3×2，2÷2 < 3÷2，得到不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；再如，2 < 3，2×(-1) > 3×(-1)，2÷(-2) > 3÷(-2)，得出不等式性质 2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
通过一些简单的练习，如若 a > b，那么 a + 3 ___ b + 3， - 2a ___ - 2b（填 “>” 或 “<”），让学生巩固对不等式性质的理解。
一元一次不等式的解法
以不等式 2x - 3 > 1 为例，讲解一元一次不等式的解法步骤。
移项：将常数项移到一边，含未知数的项移到另一边，得到 2x > 1 + 3。这里向学生强调移项要变号，与等式移项规则相同，其依据是不等式性质 1。
合并同类项：计算得到 2x > 4。
系数化为 1：两边同时除以 2，得到 x > 2。此时提醒学生注意，因为除以的是正数 2，所以不等号方向不变，依据是不等式性质 2。
讲解如何在数轴上表示不等式的解集，先画出数轴，找到表示 2 的点，因为 x > 2，所以在 2 这个点处画空心圆圈（表示不包含 2 这个值），然后向右画一条线，表示 x 的取值范围是大于 2 的所有数。
再举一例，如 - 3x + 5 ≤ 2x - 1，让学生在练习本上按照步骤求解，并请一位同学上台板演，教师巡视指导，及时纠正学生可能出现的错误，如移项变号错误、系数化为 1 时不等号方向出错等。
（三）练习（15 分钟）
判断下列式子哪些是一元一次不等式：
2x + 3y < 1
x - 5 > 0
3 - 2x ≥ 4x + 1
解下列一元一次不等式，并在数轴上表示解集：
4x - 7 > 3x + 2
5 - 2x ≤ 1 - 3x
实际问题：某商店以每台 2500 元的价格购进一批彩电，如果每台售价定为 2700 元，可卖出 400 台，以每 100 元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出 50 台，要使利润不低于 50 万元，每台彩电的最高售价应定为多少元？（设每台彩电提高 x 个 100 元）
引导学生分析题目中的数量关系，找出不等关系，列出一元一次不等式，然后求解。
让学生板演，教师巡视指导，针对学生的解答进行点评，强调解题规范和注意事项。
（四）课堂小结（8 分钟）
与学生一起回顾一元一次不等式的概念、不等式的性质以及一元一次不等式的解法步骤。
强调在解一元一次不等式时，每一步的依据和注意事项，特别是不等式性质 2 中不等号方向改变的情况。
总结从实际问题中建立一元一次不等式模型的关键是找出题目中的不等关系。
（五）作业布置（2 分钟）
课本课后习题。
让学生寻找生活中可以用一元一次不等式解决的实际问题，下节课分享。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生通过对比等式的相关知识来理解不等式，利用实例帮助学生掌握不等式的性质和一元一次不等式的解法。对于不等式性质中不等号方向改变的情况，要多举例子让学生强化理解。在实际问题的教学中，要培养学生分析问题、找出不等关系的能力，提升学生运用数学知识解决实际问题的素养。同时，关注学生在练习中出现的错误，及时进行针对性辅导。
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
现实生活中，数量之间存在着相等与不相等的关系.
对于不相等的关系问题，我们如何用式子来表示它们呢？
例如，小明的身高为155cm，小聪的身高为156cm，
则我们可以用不等号“>”或“<”来表示他们的身高之间的关系.
如：156 > 155或155 < 156.
155cm
156cm
问题1 如图所示，处于平衡状态的托盘天平的右盘放上一质量为50g的砝码，左盘放上一个圆球后向左倾斜，问圆球的质量x g与质量为50g的砝码之间具有怎样的关系？
知识点1 不等式的有关概念
我们很容易知道圆球的质量大于砝码的质量，即x > 50.
问题2 一辆轿车在一条规定车速不低于60km/h，且不高于100 km/h的高速公路上行驶，如何用式子来表示轿车在该高速公路上行驶的路程s(km)与行驶时间x(h)之间的关系呢？
根据路程与速度、时间之间的关系可得： s≥60x，且s≤100x.
知识点1 不等式的有关概念
观察式子155 < 156，x > 50，s≥60x，s≤100x，它们有什么共同点？
所有式子都是用不等号连接而成.
我们把用不等号“＞”“＜”“≥”“≤”等连接而成的式子叫作不等式.
知识点1 不等式的有关概念
等式 不等式
定义 用等号连接的式子 “=” 用不等号连接的式子
“＞”“＜”
“≥”“≤” “≠”
类比：
知识点1 不等式的有关概念
“≥、≤”的意义：
(1)“≥”：表示“不小于”，读作“大于或等于”；
a不小于(不低于)b表示为______，a为非负数表示为_______；
(2)“≤”：表示“不大于”，读作“小于或等于”.
a不大于(不高过)b表示为______ ，a为非正数表示为_______ .
a≥b
a≥0
a≤b
a≤0
知识点1 不等式的有关概念
例1 判断下列式子是不是不等式：
（1）-3>0; （2）4x+3y<0；
（3）x=3; （4） x2+xy+y2；
（5）x≠5; （6）x+2>y+5.
解 ： （1）（2）（5）（6）是不等式； （3）（4）不是不等式.
知识点1 不等式的有关概念
例2 有理数a,b在数轴上的位置如图所示，用不等号填空：
0
a
b
(1) a-b___0;
(3) a+b___0;
(2)| a|___|b|.
＞
＜
解析：解决此类问题可以根据数轴上点a,b的位置，令a=1,b=-2,然后将再进行比较.也可以由数轴上点a,b的位置，判断出a＞0，b＜0，|a|＜|b|,进而再比较a-b,a+b与0的大小关系.
＜
知识点1 不等式的有关概念
问题3 在公路上，有大、小两辆卡车从甲地向乙地运货.大卡车的行驶速度为60 km/h，小卡车的行驶速度为80 km/h，大卡车比小卡车早出发1h.
(1)如果设小卡车行驶的时间为x h，那么，它行驶的路程该如何表示？这时，大卡车行驶的路程又该怎样表示？
小卡车行驶路程表示为：80x km
大卡车行驶路程表示为：60(x＋1)km
知识点2 列不等式
(2)小卡车赶上或超过大卡车后，它们所行驶的路程之间的关系应怎样表示？
80x≥60(x＋1)
知识点2 列不等式
3.完成下表：
小卡车行驶的时间x／h 小卡车行驶的路程／km 大卡车行驶的路程／km
1 80 120
2 160 180
3 240 240
4
5
6
┆ ┆ ┆
320
300
400
360
480
420
小卡车在何时超过大卡车？
知识点2 列不等式
列不等式时要审清题意，抓关键词（如：低于、超过、最高、最低、最多、最少、至少、不高于、不低于、不大于、不小于），弄清不等关系，用符号（“＞”“＜”“≥”或“≤”）表示.
知识点2 列不等式
A
50千米
11 :20
12 :00
40分钟＝ 小时
例3 一辆匀速行驶的汽车在11：20距离共合镇50千米,要在12：00之前到达共合镇，问车速应满足什么条件？
知识点2 列不等式
从时间上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶50千米所用的时间不到2/3小时，即
设车速是x千米/时
从路程上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶小时的路程要超过50千米，即
①
②
知识点2 列不等式
例4 已知一支圆珠笔x元，签字笔与圆珠笔相比每支贵y元.
小华想要买3支圆珠笔和10支签字笔，若付50元仍找回若干元，则如何用含x，y的不等式来表示小华所需支付的金额与50元之间的关系？
解: 3x+10(x+y)<50
知识点2 列不等式
1. 下列式子中，是不等式的有( )
；；； ；
； .
C
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
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（第2题）
2. 交通法规人人遵守，文明城市
处处安全.在通过桥洞时，我们往往会看到如图
所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥
洞的车高 的范围可表示为( )
C
A. B.
C. D.
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3.用不等号连接下列各组数：
（1） ___3.14；
（2）___ ；
（3） ；
（4） 0.
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（第4题）
4. 根据机器零件的设计
图纸（如图），用不等式表示零件长度
的合格尺寸（ 的取值范围）为_______
__________.
5.在4，3，2，1，0，，中，能使不等式
成立的数有___个.
2
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6. 教材P146练习 用不等式表示：
（1）2与 的5倍的差是非负数；
【解】 .
（2）的与2的差的相反数不小于 ；
.
（3） 与5的商小于3的相反数.
.
对含有“不”的不等关系忽略等于而导致错误.
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7. 如图，数轴上的点，分别对应数， ，下列结论正确
的是( )
D
A. B. C. D.
【点拨】由数轴的定义及绝对值的意义得 且
，故 ，故A选项错误，不符合题意；
，故B选项错误，不符合题意； ，故C选项
错误，不符合题意； ，故D选项正确，符合题意.
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8. 学校组织同学们去井冈山进行红色研学活
动，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车 辆，
租用30座客车辆，则不等式“ ”表示的实际
意义是_______________________________.
两种客车总的载客量不少于500人
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不等式
概念
列不等式
一般地，用不等号“＞”“＜”“≥”“≤”等连接而成的式子叫作不等式
确定不等量关系两边的代数式；
抓住关键词，选准不等号
谢谢观看！