2025年浙江省中考数学一轮复习专题检测 专题03 分式及其运算（含解析）

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专题03 分式及其运算
一、选择题
1．（2024 七星区校级模拟）下列代数式中，是分式的是（　　）
A． B． C． D．x﹣2024
2．（2024 潢川县二模）下列各式从左向右变形正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝2 D．＝
3．（2024 红塔区二模）若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．0或﹣1 D．1
4．（2024 嘉兴二模）化简+的结果为（　　）
A．﹣1 B．1 C．a D．a﹣1
5．（2024 锡山区一模）化简的结果是（　　）
A．1 B． C． D．
6．（2024 柴桑区校级三模）等式成立的条件是（　　）
A．x≠2 B．x≠±2 C．x＞2 D．x≠﹣2
7．（2024 礼县模拟）计算的结果为（　　）
A． B． C． D．2
8．（2024 廊坊模拟）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024 古浪县二模）若分式的值为负数，则x的取值范围是（　　）
A．x为任意数 B．x＜ C．x＞ D．x＜﹣
10．（2024 长安区一模）在课堂上老师给出了一道分式化简题：化简，以下是甲乙、丙、丁四位同学的变形过程：
甲：原式＝；
乙：原式＝；
丙：原式＝；
丁：原式＝；
其中正确的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题
11．（2024 青海）若式子有意义，则实数x的取值范围是 　 　．
12．（2024 西宁）计算＝　 　．
13．（2024 保康县模拟）计算：＝　 　．
14．（2024 吉林）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 　 　．
15．（2024 眉山）已知a1＝x+1（x≠0且x≠﹣1），a2＝，a3＝，…，an＝，则a2024的值为 　 　．
16．（2024 内江）已知实数a、b满足ab＝1的两根，则+＝　 　．
三、解答题
17．（2024 资阳）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．
18．（2024 淮安）先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝3．
19．（2024 吉安一模）计算：，下面是某同学的解答过程：
解：原式＝…第一步
＝…第二步
（1）第一步的依据是 　 　，运用的方法是 　 　，第二步的依据是 　 　；
①分式的基本性质；②分式的加减法则；③分式的通分；④分式的约分法则．
（2）计算：．
20．（2024 淄博）化简分式：+，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定a，b的值）
21．（2024 达州）先化简：（﹣）÷，再从﹣2，﹣1，0，1，2之中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
22．（2024 呼和浩特）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮1000kg，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少100kg，其中“丰收1号”小麦种植在边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为（a﹣1）m的正方形试验田中．
（1）请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量；
（2）哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
23．（2024 滨州）欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设a，b，c为两两不同的数，称Pn＝）为欧拉分式．
（1）写出P0对应的表达式；
（2）化简P1对应的表达式．
答案与解析
一、选择题
1．（2024 七星区校级模拟）下列代数式中，是分式的是（　　）
A． B． C． D．x﹣2024
【点拨】根据分式的定义分析判断即可．
【解析】解：A、是单项式，属于整式，不符合题意；
B、是多项式，属于整式，不符合题意；
C、是分式，故选项符合题意；
D、x﹣2024是多项式，属于整式，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的定义，熟知一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式是解题的关键．
2．（2024 潢川县二模）下列各式从左向右变形正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝2 D．＝
【点拨】分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此判断即可．
【解析】解：A、分子、分母都加2，分式的值改变，故A错误；
B、＝＝，故B正确；
C、＝1+，故C错误；
D、≠，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不为0的整式，分式的值不变，这是分式变形的主要依据．
3．（2024 红塔区二模）若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．0或﹣1 D．1
【点拨】根据分母不为零且分子为零的条件进行解题即可．
【解析】解：∵分式的值为0，
∴x2+x＝0且x+1≠0，
∴x＝0，
故选：A．
【点睛】本题主要考查分式的值为0的条件，掌握“分式的值为0，则分子为0，分母不为0”，是解题的关键．
4．（2024 嘉兴二模）化简+的结果为（　　）
A．﹣1 B．1 C．a D．a﹣1
【点拨】先变形，再根据同分母的分式减法法则求出即可．
【解析】解：+
＝﹣
＝
＝1，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的加减，注意：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
5．（2024 锡山区一模）化简的结果是（　　）
A．1 B． C． D．
【点拨】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【解析】解：原式＝+
＝．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了分式的加减，正确通分运算是解题关键．
6．（2024 柴桑区校级三模）等式成立的条件是（　　）
A．x≠2 B．x≠±2 C．x＞2 D．x≠﹣2
【点拨】由题意直接根据分母不为0进行分析计算即可．
【解析】解：由题意可得x﹣2≠0且x2﹣4≠0，
解得x≠±2．
故选：B．
【点睛】本题考查使得分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键．
7．（2024 礼县模拟）计算的结果为（　　）
A． B． C． D．2
【点拨】先将分子分母因式分解，然后根据分式的乘法运算法则求解即可．
【解析】
＝
＝．
故选：A．
【点睛】本题考查约分，掌握分式的运算法则是解题的关键．
8．（2024 廊坊模拟）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据分式的除法法则计算即可．
【解析】解：÷
＝
＝
＝，
故选：C．
【点睛】本题考查的是分式的除法，分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
9．（2024 古浪县二模）若分式的值为负数，则x的取值范围是（　　）
A．x为任意数 B．x＜ C．x＞ D．x＜﹣
【点拨】两数相除，异号得负，而分母恒为正，只需分子是负数即可，列出不等式求解即可．
【解析】解：∵x2+4＞0，分式的值为负数，
∴2x﹣5＜0，
∴x＜．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的值为负数的条件，根据除法法则，列出不等式时解题的关键．
10．（2024 长安区一模）在课堂上老师给出了一道分式化简题：化简，以下是甲乙、丙、丁四位同学的变形过程：
甲：原式＝；
乙：原式＝；
丙：原式＝；
丁：原式＝；
其中正确的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【点拨】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法即可．
【解析】解：
＝
＝ ，
所以只有选项D符合题意，选项A、选项B、选项C都不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
二、填空题
11．（2024 青海）若式子有意义，则实数x的取值范围是 　x≠3　．
【点拨】根据分式中分母不能为0，即可解答．
【解析】解：∵式子有意义，
∴x﹣3≠0，
解得：x≠3，
故答案为：x≠3．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件．
12．（2024 西宁）计算＝　　．
【点拨】先通分，再根据同分母分式加减法法则计算．
【解析】解：原式＝，
＝，
＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式的加减法，异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
13．（2024 保康县模拟）计算：＝　a﹣b　．
【点拨】运用分式加减运算法则进行计算、化简．
【解析】解：
＝
＝
＝a﹣b，
故答案为：a﹣b．
【点睛】此题考查了分式加减的运算能力，关键是能准确理解并运用该计算法则进行正确地计算．
14．（2024 吉林）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 　0（答案不唯一）　．
【点拨】根据分式的值为正数，即分式方程值大于0，且分子大于0，得到分母大于0，求出x的范围，确定出x的值即可．
【解析】解：∵＞0，1＞0，
∴x+1＞0，即x＞﹣1，
则满足条件x的值可以为0（答案不唯一）．
故答案为：0（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了分式的值，认真审题，抓住关键的字眼，是正确解题的出路．
15．（2024 眉山）已知a1＝x+1（x≠0且x≠﹣1），a2＝，a3＝，…，an＝，则a2024的值为 　﹣　．
【点拨】先算出前几个式子的结果，然后根据求出的结果得出每三个数就循环一次，再根据得出的规律得出答案即可．
【解析】解：∵a1＝x+1，
∴a2＝＝＝﹣，
a3＝＝＝，
∴a4＝＝＝＝x+1，
∴a5＝﹣，
a6＝，
…，
由上可得，每三个为一个循环，
∵2024÷3＝674 2，
∴a2024＝﹣．
故答案为：﹣．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，数字的变化规律等知识点，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
16．（2024 内江）已知实数a、b满足ab＝1的两根，则+＝　1　．
【点拨】把ab＝1代入原式，根据分式的加法法则计算即可．
【解析】解：∵ab＝1，
∴原式＝+
＝+
＝
＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的加法法则是解题的关键．
三、解答题
17．（2024 资阳）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．
【点拨】先根据异分母分式加减法的计算法则对括号里的算式进行化简，再将分式的除法运算转化为乘法，进行化简，可再将x＝3代入化简后的式子里计算求值即可．
【解析】解：（﹣1）÷
＝÷
＝
＝，
当x＝3时，原式＝＝1．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则，属于中考常考题型．
18．（2024 淮安）先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝3．
【点拨】先去括号，再约分，即可得答案．
【解析】解：（1+）÷
＝
＝ ＝x﹣2；
当x＝3时，
原式＝3﹣2＝1．
【点睛】本题考查分式的化简，掌握约分是关键．
19．（2024 吉安一模）计算：，下面是某同学的解答过程：
解：原式＝…第一步
＝…第二步
（1）第一步的依据是 　①　，运用的方法是 　③　，第二步的依据是 　②　；
①分式的基本性质；②分式的加减法则；③分式的通分；④分式的约分法则．
（2）计算：．
【点拨】（1）根据分式加减法的运算法则即可得出结果；
（2）先通分，然后计算加减法即可．
【解析】解：（1）第一步的依据是分式的基本性质，运用的方法是分式的通分，第二步的依据是分式的加减法则；
故答案为：①；③；②；
（2）
＝
＝
＝
＝
＝1．
【点睛】本题主要考查分式加减运算，先通分，然后计算加减法即可，熟练掌握运算法则是解题关键．
20．（2024 淄博）化简分式：+，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定a，b的值）
【点拨】根据对话可求得a，b的值，将原分式化简后代入数值计算即可．
【解析】解：由对话可得a＝﹣3，b＝2，
原式＝+
＝+
＝，
当a＝﹣3，b＝2时，
原式＝＝﹣．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
21．（2024 达州）先化简：（﹣）÷，再从﹣2，﹣1，0，1，2之中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
【点拨】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再进行同分母的减法运算，接着把分子分母因式分解，则约分得到原式＝，然后根据分式有意义的条件，把x＝1代入计算即可．
【解析】解：原式＝
＝
＝
＝，
∵x﹣2≠0且x+2≠0且x≠0且x+1≠0，
∴x可以取1，
当x＝1时，原式＝＝2．
【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
22．（2024 呼和浩特）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮1000kg，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少100kg，其中“丰收1号”小麦种植在边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为（a﹣1）m的正方形试验田中．
（1）请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量；
（2）哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
【点拨】（1）设种植“丰收2号”小麦的产粮量为x kg，根据题意列出方程解答即可；
（2）先比较出，再计算倍数即可．
【解析】解：（1）设种植“丰收2号”小麦的产粮量为x kg，则“丰收1号”小麦的产粮量为（1.2x﹣100）kg，根据题意得：
x+1.2x﹣100＝1000，
解得：x＝500，
∴“丰收1号”的产粮量：1000﹣500＝500（kg）．
答：种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量都为500kg；
（2）“丰收1号”的单位面积产量为：，
“丰收2号”的单位面积产量为：，
∵（a2﹣1）﹣（a﹣1）2＝a2﹣1﹣a2+2a﹣1＝2a﹣2＞0，
∴，
∴“丰收2号”小麦单位面积产量高，
∴
＝
＝，
即高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍．
答：“丰收2号”小麦单位面积产量高，高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍．
【点睛】本题考查了分式的混合运算、一元一次方程的应用，熟练掌握分式的运算法则是关键．
23．（2024 滨州）欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设a，b，c为两两不同的数，称Pn＝）为欧拉分式．
（1）写出P0对应的表达式；
（2）化简P1对应的表达式．
【点拨】（1）根据题意，可以写出P0对应的表达式；
（2）根据题意，先写出P1对应的表达式，然后化简即可；
【解析】解：（1）由题意可得，
P0＝++＝++；
（2）由题意可得，
P1＝++
＝﹣+
＝
＝
＝
＝0．
【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
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