人教版八年级数学下册18.1.1平行四边形的性质 同步练习（含答案）

18.1.1平行四边形的性质
一、单选题
1．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论错误的是（　　）
A．ABCD B．OB＝OD C．AB＝AD D．∠ABC＝∠ADC
2．在 ABCD中，如果∠A+∠C＝160°，那么∠C等于（　　）
A．20° B．40° C．60° D．80°
3．如图，若直线m∥n，则下列哪条线段的长可以表示平行线m与n之间的距离（　　）
A．AB B．AC C．AD D．DE
4．如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB＝8，BC＝6，则EC等于（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
5．平面直角坐标系中，A、B、C三点坐标分别为（0，0），（0，﹣4），（﹣3，3），以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为3cm，则a与c之间的距离是（　　）
A．2cm B．8cm
C．2cm或8cm D．以上都不对
7．如图，在 ABCD中，AD：AB＝3：4，AE平分∠DAB交CD于点E，交BD于点F，则的值是（　　）
A．3：4 B．9：16 C．4：3 D．16：9
8．如图， ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（　　）
A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s
9．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BF＝BE；④PF＝PC．其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图所示，以 ABCD的边AB为边向内作等边△ABE，使AD＝AE，且点E在平行四边形内部，连接DE，CE，则∠CED的度数为（　　）
A．150° B．145° C．135° D．120°
二、填空题
11．如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B、C在直线l2上，AC⊥l2．如果AB＝5cm，BC＝4cm．那么平行线l1，l2之间的距离为 　 　cm．
12．如图， ABCD的对角线交于坐标原点O．若点A的坐标为（﹣，1），点B的坐标为（-1，-1），则BC＝　　 ．
13．在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AE为边BC上的高，，CE＝2，则平行四边形ABCD的周长为 　 　．
14．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为 　 　．
15．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，延长CD至点G，使DG＝CD，以DG，DE为边向平行四边形ABCD外构造平行四边形DGME，连接BM交AD于点N，连接FN．若DG＝DE＝2，∠ADC＝60°，则FN的长为 　 　．
三、解答题
16．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝AD，AE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．证明AE＝DF．
17．如图，直线a∥b，AB与a，b分别相交于点A，B，且AC⊥AB，AC交直线b于点C．
（1）若∠1＝70°，求∠2的度数；
（2）若AC＝5，AB＝12，BC＝13，求直线a与b的距离．
18．如图，在 ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，AE＝3，EB＝5，DE＝4．
（1）求证：∠DEA＝90°；
（2）求CE的长．
19．如图，在 ABCD中，BC＝3AB﹣6，点E，F分别在边AB，CD上，AE＝CF，直线EF分别交AD，CB的延长线交于点H，G．
（1）求证：DH＝BG．
（2）作HM∥AB，交BC延长线于点M，AM交GH于点O．若BE＝1，GB＝3，AB⊥AM，∠AEH＝45°，求AE的长．
20．如图① ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E和点F．
（1）求证：OE＝OF
（2）如图②，已知AD＝1，BD＝2，AC＝2，∠DOF＝∠α，
①当∠α为多少度时，EF⊥AC？
②在①的条件下，连接AF，求△ADF的周长．
答案
一、单选题
1．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，
∴AB∥CD，AB＝CD，OB＝OD，∠ABC＝∠ADC，
故A正确、B正确、D正确；
∵任意平行四边形的邻边不一定相等，
∴AB与AD不一定相等，
故C错误，
故选：C．
2．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝160°，
∴∠A＝∠C＝80°，
故选：D．
3．
【解答】解：∵m∥n，AC⊥n，
∴AC⊥m，
∴AC可以表示平行线m与n之间的距离，
故选：B．
4．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝6．CD∥AB，
∵∠DAB的平分线AE交CD于E，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠AED．
∴ED＝AD＝6，
∴EC＝CD﹣ED＝8﹣6＝2．
故选：C．
5．
【解答】解：∵A（0，0），B（0，﹣4），C（﹣3，3），
∴AB＝4，
当AB为边时，第四个点的坐标为（﹣3，﹣1），（﹣3，7）；
当AB为对角线时，设第四个点的坐标为（x，y），
∴0+0＝﹣3+x，0﹣4＝3+y，
∴x＝3，y＝﹣7，
∴第四个点的坐标为（3，﹣7），
故选：A．
6．
【解答】解：如图①，a与c之间的距离为5+3＝8（cm）；
如图②，a与c之间的距离为5﹣3＝2（cm）．
∴a与c之间的距离为8cm或2cm．
故选：C．
7．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠DAB交CD于点E，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴AD＝DE，
∵AD：AB＝3：4，
∴DE：AB＝3：4，
故选：A．
8．
【解答】解：在 ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝8cm，
如图，过点D作DG⊥AB于点G，
∵∠A＝45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
∴AG＝DG＝AD＝8，
过点F作FH⊥AB于点H，
得矩形DGHF，
∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH，
∵EF＝10cm，
∴EH＝＝6cm，
由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm，
∴GE＝AE＝AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，
∴GH＝GE+EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm，
∴2t﹣2＝22﹣t，
解得t＝8，
当F点在E点左侧时，
由题意可知：AE＝2t cm，CF＝t cm，
∴GE＝AE﹣AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，
∴GH＝GE﹣EH＝（2t﹣8）﹣6＝（2t﹣14）cm，
∴2t﹣14＝22﹣t，
解得t＝12，
∵点E到达点B时，两点同时停止运动，
∴2t≤22，解得t≤11．
∴t＝12不符合题意，舍去，
∴EF的长为10cm时点E的运动时间是8s，
故选：C．
9．
【解答】解：∵BC＝EC，
∴∠CEB＝∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CEB＝∠EBF，
∴∠CBE＝∠EBF，
∴①BE平分∠CBF，正确；
∵BC＝EC，CF⊥BE，
∴∠ECF＝∠BCF，
∴②CF平分∠DCB，正确；
∵DC∥AB，
∴∠DCF＝∠CFB，
∵∠ECF＝∠BCF，
∴∠CFB＝∠BCF，
∴BF＝BC，
∴③错误；
∵FB＝BC，CF⊥BE，
∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，
∴PF＝PC，故④正确．
正确的有3个，
故选：C．
10．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠BAD+∠ABC＝180°，
∵△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°，
∵AD＝AE，
∴AD＝AE＝BE＝BC，
∴∠ADE＝∠AED，∠BCE＝∠BEC，
设∠ADE＝∠AED＝x，∠BCE＝∠BEC＝y，
∴∠DAE＝180°﹣2x，∠CBE＝180°﹣2y，
∴∠BAD＝180°﹣2x+60°＝240°﹣2x，∠ABC＝240°﹣2y，
∴∠BAD+∠ABC＝240°﹣2x+240°﹣2y＝180°，
∴x+y＝150°，
∴∠CED＝360°﹣150°﹣60°＝150°，
故选：A．
二、填空题
11．
【解答】解：∵AC⊥l2，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝5cm，BC＝4cm．
∴AC＝＝3（cm），
∴平行线l1，l2之间的距离为3cm．
故答案为：3．
12．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，
又∵点O为坐标原点，
∴点A和点C关于原点对称，
∵点A的坐标为（﹣，1），
∴C点坐标为（，﹣1），
∵B（﹣1，﹣1），
∴BC＝+1．
故答案为：+1．
13．14或22．
14．
【解答】解：如图所示：
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AO＝CO，OP＝OQ，
∵PQ最短也就是PO最短，
过点O作OE⊥AB，当点P与E重合时，OP最短，OE即为所求，
∵∠BAC＝30°，
∴OE＝OA，
∵AB＝AC＝12，
∵AO＝AC＝×12＝6，
∴OE＝3，
∴PQ的最小值＝2OE＝6，
故答案为：6．
15．
【解答】解：如图所示，连接EF、AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC
∵点E，F分别是AD，BC边的中点，
∴AE＝DE＝BF＝CF，
∴四边形ABFE，CDEF是平行四边形，
∵DG＝DE＝2，DG＝DC，四边形DGME是平行四边形，
∴AE＝EF＝AB＝ME＝2，
∵EF∥CD，
∴∠AEF＝∠ADC＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∵ME∥CD，EF∥CD，
∴M、E、F三点共线，
∴MF∥AB，
∴∠MEN＝∠BAN，
在△EMN和△ABN中
，
∴△ABN≌△EMN（AAS），
∴AN＝NE，
∴，FN⊥AE，
∴，
故答案为：．
三、解答题
16．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠ACE，
∵AE⊥BC，DF⊥AC，
∴∠AEC＝∠AFD＝90°，
在△ADF与△ACE中，
，
∴△ADF≌△ACE（AAS），
∴AE＝DF．
17．解：（1）∵a∥b，∠1＝70°，
∴∠3＝∠1＝70°，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠BAC﹣∠3＝20°．
（2）如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AC⊥AB，AC＝5，AB＝12，BC＝13，
∴，即，
解得，
即直线a与b的距离为．
18．（1）证明：∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE＝5，
∴AD＝5，
∵EA＝3，ED＝4，32+42＝52，
∴EA2+ED2＝AD2，
∴△ADE是直角三角形，且∠DEA＝90°；
（2）解：由（1）可知，∠DEA＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠CDE＝∠DEA＝90°，CD＝AB＝AE+EB＝3+5＝8，
在Rt△EDC中，由勾股定理得：CE＝＝＝4，
即CE的长为4．
19．（1）证明：在 ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C，AD＝CB，
∵AD∥BC，
∴∠G＝∠H．
∵∠BAD＝∠C，AE＝CF，
∴△AEH≌△CFG（AAS），
∴AH＝CG，
∵AD＝CB，
∴AH﹣AD＝CG﹣CB，
即DH＝BG；
（2）解：由AB⊥AM，∠AEH＝45°，得∠MOH＝∠AOE＝45°，
由HM∥AB，得∠OHM＝∠AEO＝45°，
设AO＝AE＝x，
则OM＝HM＝AB＝x+1，
∴BC＝3AB﹣6＝3x﹣3，CM＝DH＝BG＝3，BM＝BC+CM＝3x，
在Rt△ABM中，由勾股定理，得AB2+AM2＝BM2，
即（x+1）2+（2x+1）2＝（3x）2，
解得x＝或x＝（舍去），
∴AE的长为．
20．证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OB＝OD，AB∥CD．
∴∠EBO＝∠FDO．
又∵∠BOE＝∠DOF，
∴△BOE≌△DOF（ASA）．
∴OE＝OF；
（2）①∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OD＝BD＝1，OA＝AC＝，
又AD＝1，
∴AD2+OD2＝OA2．
∴∠ADO＝90°，∠AOD＝45°．
∴∠α＝90°﹣45°＝45．
②由（1）可得：EF垂直平分AC，
∴AF＝FC，
又AB＝＝＝CD，
∴△ADF的周长＝AD+DF+FA＝AD+CD＝1+．