人教版八年级数学下册18.1.2平行四边形的判定 同步练习（含答案）

18.1.2平行四边形的判定
一、单选题
1．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
2．下列说法正确的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．平行四边形的对角互补
C．有两组对角相等的四边形是平行四边形
D．平行四边形的对角线平分每一组对角
3．下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD∥BC B．AD＝BC，AB＝CD
C．AB∥CD，AD＝BC D．∠A＝∠C，∠B＝∠D
4．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD＝BC
5．如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点D、E，测量得DE＝16米，则A、B两点间的距离为（　　）
A．30米 B．32米 C．36米 D．48米
6． ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　）
A．BE＝DF B．AF∥CE
C．CE＝AF D．∠DAF＝∠BCE
7．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，若AB＝12，BC＝14，则四边形BDFE的周长为（　　）
A．13 B．21 C．26 D．52
8．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F，G分别是BC，AC，AD的中点，若∠EFG＝130°，则∠EGF的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
9．如图，在△ABC中，CF、BE分别平分∠ACB和∠ABC，过点A作AD⊥CF于点D，作AG⊥BE于点G，若AB＝9，AC＝8，BC＝7，则GD的长为（　　）
A．5.5 B．5 C．6 D．6.5
10．如图，在 ABCD中，要在对角线BD上找两点E、F，使A、E、C、F四点构成平行四边形，现有①，②，③，④四种方案，①只需要满足BE＝DF；②只需要满足AE⊥BD，CF⊥BD；③只需要满足AE，CF分别平分∠BAD，∠BCD，④只需要满足AE＝CF．则对四种方案判断正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
二、填空题
11．如图，在四边形ABCD中AB∥CD，若加上AD∥BC，则四边形ABCD为平行四边形．现在请你添加一个适当的条件：　 　，使得四边形AECF为平行四边形．（图中不再添加点和线）
12．如图，在平面直角坐标系中，E是BC的中点，已知A（0，4），B（﹣2，0），C（8，0），D（4，4），点P是线段BC上的一个动点，当BP的长为 　 　时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形．
13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝4cm，BC＝9cm．动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以1cm/s的速度向终点A运动，点Q以2cm/s的速度向终点C运动，　 　秒时四边形CDPQ是平行四边形？
14．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（0，2），B（1，0），C（3，2），点D在第一象限内，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标是 　 　．
15．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 　 　．
三、解答题
16．如图，△ABC中，BC＝20，AC＝14，CE平分∠ACB，AE⊥CE，延长AE交BC于点F，D是AB的中点，求DE的长．
17．如图，已知△ABC，分别以它的三边为边长，在BC边的同侧作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，求证：四边形ADEF是平行四边形．
18．如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点．对“中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题：
Ⅰ．若D是AB的中点，DE=BC，则E是AC的中点；
Ⅱ．若DE∥BC，DE=BC，则D，E分别是AB，AC的中点；
Ⅲ．若D是AB的中点，DE∥BC，则E是AC的中点．
（1）从以上命题中选出一个假命题，并在图2中画出反例（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）从以上命题中选出一个真命题，并进行证明．
19.在 ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点且AE＝CF，连接DE，BF，AF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若∠DAF＝∠BAF，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．
20.如图1，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：四边形DEFC是平行四边形．
（2）如图2，当△ABC是等边三角形且边长是8，求四边形DEFC的面积．
21.如图，已知 ABCD，AC、BD相交于点O，延长CD到点E，使CD＝DE，连接AE．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）连接BE，交AD于点F，连接OF，判断CE与OF的数量关系，并说明理由．
22.如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，若BD＝14，AE+CF＝EF，求EG的长．
23．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F为BD上两点，连接AE，AF，CE，CF，且BF＝DE．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若AB⊥AC，CD＝4，AC＝6，E，F为BD的三等分点，求OE的长度．
24．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形；
（3）若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
答案
一、单选题
1．
【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形．正确．
B、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形．错误．
C、对角线相等的四边形不一定是平行四边形．错误．
D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形．错误．
故选：A．
2．
【解答】解：A．∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形或平行四边形，
∴A错误，不符合题意；
B．∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴B错误，不符合题意；
C．∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴C正确，符合题意；
D．∵菱形对角线平分每一组对角，平行四边形的对角线不平分每一组对角，
∴D错误，不符合题意；
故选：C．
3．
【解答】解：A、根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不合题意；
B、根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不合题意；
C、不能判断这个四边形是平行四边形，符合题意；
D、根据平行四边形的判定定理：两组对角相等的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形；
故选：C．
4．
【解答】解：A、AB∥DC，AD∥BC可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、AB∥DC，AD＝BC不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
C、AO＝CO，BO＝DO可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、AB＝DC，AD＝BC可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：B．
5．
【解答】解：∵D、E分别是AC、BC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AB，
∵DE＝16米，
∴AB＝32米，
∴A、B两点间的距离为32米．
故选：B．
6．
【解答】解：如图，连接AC与BD相交于O，
在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；
A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；
B、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；
C、若CE＝AF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意；
D、由∠DAF＝∠BCE，从而推出△DAF≌△BCE，然后得出∠DFA＝∠BEC，∴∠AFE＝∠CEF，∴AF∥CE，结合选项B可证明四边形AECF是平行四边形；故本选项不符合题意；
故选：C．
7．
【解答】解：∵D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，
∴EF、EF分别是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，DF∥BC，EF＝AB＝＝6，DF＝BC＝，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴BE＝DF＝7，BD＝EF＝6，
∴四边形BDEF的周长为：
BE+BD+DF+EF＝2×（7+6）＝26．
故选：C．
8．
【解答】解：∵E，F，G分别是BC，AC，AD的中点，
∴EF，GF分别是△ABC，△ADC的中位线，
∴，
∵AB＝CD，
∴EF＝GF，
又∵∠EFG＝130°，
∴，
故选：B．
9．
【解答】解：如图所示，延长AD，交CB的延长线于点P，延长AG，交BC的延长线于点Q，
∵CF、BE分别平分∠ACB和∠ABC，
∴∠ACD＝∠PCD，∠ABG＝∠QBG，
又∵AD⊥CF，AG⊥BE，
∴∠ADC＝∠PDC，∠AGB＝∠QGB，
∴∠CAP＝∠P，∠BAG＝∠Q，
∴AC＝PC＝8，AB＝QB＝9，
又∵BC＝7，
∴PQ＝BQ+PC﹣BC＝9+8﹣7＝10，
∵AC＝PC，CD平分∠ACP，
∴点D是AP的中点，
同理可得，点G是AQ的中点，
∴DG是△APQ的中位线，
∴DG＝PQ＝5，
故选：B．
10．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABE＝∠CDF，
①在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，故①正确；
②∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形，故②正确；
③∵AE，CF分别平分∠BAD，∠BCD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，故③正确；
④由AE＝CF，不能证明△ABE≌△CDF，不能判定四边形AECF为平行四边形，故④不正确；
判断正确的是①②③，
故选：A．
二、填空题
11．
【解答】解：添加的条件：BE＝DF．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF
又∵BE＝DF
∴△ABE≌△CDF
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD
∴∠AEF＝∠EFC
∴AE∥FC
∴四边形AECF为平行四边形．
故答案为：BE＝DF．
12．
【解答】解：∵A（0，4），B（﹣2，0），C（8，0），D（4，4），
∴AD∥BC，AD＝4，OB＝2，OC＝8，
∴BC＝10，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝×10＝5，
当EP＝AD＝4时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，
分两种情况：
①当点P在点E的左侧时，BP＝BE﹣EP＝5﹣4＝1；
②当点P在点E的右侧时，BP＝BE+EP＝5+4＝9；
综上所述，当BP的长为1或9时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：1或9．
13．
【解答】解：设t秒后，四边形CDPQ是平行四边形，
∴PD＝t cm，CQ＝（9﹣2t）cm，
∵AD∥BC，
∴当PD＝CQ时，四边形CDPQ是平行四边形，
∴t＝9﹣2t，
∴t＝3，
∴3秒时四边形CDPQ是平行四边形．
故答案为：3．
14．
【解答】解：由题意，画出平行四边形ABCD，如图所示：
由图可知：D（2，4）．
故答案为：D（2，4）．
15．
【解答】解：连接DN、DB，
在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝4，AD＝3，
∴BD＝＝＝5，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF＝DN，
由题意得，当点N与点B重合是DN最大，最大值为5，
∴EF长度的最大值为2.5，
故答案为：2.5．
三、解答题
16．解：∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝∠FEC＝90°，
又∵CE平分∠ACB，
∠ACE＝∠FCE，
在△ACE和△FCE中，
，
∴△ACE≌△FCE（ASA），
∴AE＝EF，FC＝AC＝14，
∴BF＝BC﹣FC＝6，
又∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴DE是△ABF的中位线，
∴DE＝BF＝3．
17．证明：∵△ABD，△BEC都是等边三角形，
∴BD＝AB，BE＝BC，∠DBA＝∠EBC＝60°，
∴∠DBE＝60°﹣∠EBA，∠ABC＝60°﹣∠EBA，
∴∠DBE＝∠ABC，
在△DBE和△ABC中，，
∴△DBE≌△ABC（SAS），
∴DE＝AC，
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC＝AF，
∴DE＝AF．
同理可得：△ABC≌△FEC，
∴EF＝AB＝DA．
∵DE＝AF，DA＝EF，
∴四边形ADEF为平行四边形；
18．解：（1）选择I，理由如下：
如图，D是AB中点， 但E显然不是AC的中点，
（2）真命题是Ⅱ或Ⅲ．
选择命题Ⅲ．
证明：如图，延长ED到点F使DF＝DE，连接BF．
∵D为AB中点，
∴AD＝BD．
在△ADE与△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（SAS），
∴BF＝AE，∠F＝∠AED，
∴AC∥BF，
又∵DF∥BC，
∴四边形BCEF为平行四边形，
∴BF＝CE，
又∵BF＝AE，
∴CE＝AE，
即E是AC的中点．
19.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝CB，
在△DAE和△BCF中，
，
∴△DAE≌△BCF（SAS），
∴DE＝BF，
∵AB＝CD，AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF，
即DF＝BE，
∵DE＝BF，BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠DFA＝∠BAF，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，
∴AD＝5，
∵AE＝3，DE＝4，
∴AE2+DE2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∵DE∥BF，
∴∠ABF＝∠AED＝90°，
∴AF＝＝＝4．
20.（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF，
∴四边形DEFC是平行四边形．
（2）解：过点D作DH⊥BC于H，如图2所示：
∵△ABC是等边三角形，D为AB的中点
∴∠B＝60°，BD＝AB＝4，
∵∠DHB＝90°，
∴∠BDH＝30°，
∴BH＝DB＝2，
∴DH＝＝，
∵CF＝CB＝4，
∴S四边形DEFC＝CF DH＝4×2＝8．
21.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）解：CE与OF的数量关系为：CE＝4OF，理由如下：
由（1）得：四边形ABDE是平行四边形，
∴BF＝EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OF是△BDE的中位线，
∴DE＝2OF，
∵CD＝DE，
∴CE＝2DE，
∴CE＝4OF．
22.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG＝CH，
在△AGE和△CHF中，
，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE∥HF，
又∵GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解：连接BD交AC于点O，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BD＝14，
∴OB＝OD＝7，
∵AE＝CF，OA＝OC，
∴OE＝OF，
∵AE+CF＝EF，AE＝CF，
∴2AE＝EF＝2OE，
∴AE＝OE，
又∵点G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线，
∴EG＝OB＝．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BF＝DE，
∴BF﹣OB＝DE﹣OD，
即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4，OA＝OC＝3，
∵AB⊥AC，
∴OB＝＝＝5，
∴BD＝2OB＝10，
∵BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF，
∴BE＝DF，
∵E，F为BD的三等分点，
∴BE＝DF＝EF＝BD＝，
∴OE＝EF＝．
24.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB，
∴BE＝CD；
（2）证明：由（1）知BE＝AB，
∵BF平分∠ABE，
∴AF＝EF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴DF＝CF，
又∵AF＝EF，
∴四边形ACED是平行四边形；
（3）解：由（1）知BE＝AB，
又∵∠BEA＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝4，
∵BF⊥AE，
∴，
在Rt△ABF中，由勾股定理得，，
∵∠DAE＝∠AEB，AF＝EF，∠AFD＝∠CFE，
∴△ADF≌△ECF，
∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝．