人教版八年级数学下册 18.2.1矩形 同步练习（含答案）

18.2.1矩形
一、单选题
1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对边平行 D．对角相等
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　）
A．AB＝AD B．OA＝OB C．AB⊥AD D．∠ABO＝∠BAO
3．如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断正确的是（　　）
A．四边形ABCD由矩形变为菱形
B．对角线AC的长度不变
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
4．矩形的两条对角线的夹角为60度，对角线长为15，则矩形的较短边长为（　　）
A．12 B．10 C．7.5 D．5
5．下列性质中，矩形不一定具有的是（　　）
A．对角线相等 B．四个角都是是直角
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是边BC上一点，连接AD，点P是AD的中点，若AC的垂直平分线经过点D，DC＝8，则BP的长为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
7．如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E为AD的中点．若AB＝6，BC＝8，则△BOE的周长为（　　）
A．10 B．8+2 C．8+2 D．14
8．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，OA＝9，则BE的长为（　　）
A． B．9 C． D．12
9．如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB中点，∠ACD+∠BAC＝70°，则∠DEC的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论：
①当t＝4s时，四边形ABMP为矩形；
②当t＝5s时，四边形CDPM为平行四边形；
③当CD＝PM时，t＝4或5s；
④当CD＝PM时，t＝4或6s．
其中结论正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，公路AC与BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AC的长为6km，BC的长为8km，则C，M两点间的距离为 　km．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．求PE+PF＝　 　．
13．如图，P是Rt△ABC的斜边AC（不与点A、C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，O是MN的中点，若AB＝5，BC＝12，当点P在AC上运动时，BO的最小值是 　 　．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD＝6，则CP的长为　 　．
15．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E、F，连接PB、PD，若AE＝2，PF＝9，则图中阴影面积为 　 　．
三、解答题
16．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DF⊥BC于点F，点E在边AD上，AE＝CF，连接BE．求证：四边形BFDE是矩形．
17．课本在线
想一想
我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流．
定理：有三个角是直角的四边形是矩形．
定理证明
为了证明该定理，小丽同学画出了图形（如图），写出了“已知”，请你补出“求证”的内容，并根据她的思路补全证明过程．
已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°．
求证：　 　．
证明：∵∠A＝∠B＝90°，
∴∠A+∠B＝　 　°．
∴AD∥BC（ 　 　）．
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴　 　．
∴AB∥CD．
∴四边形ABCD是平行四边形（ 　 　）．
又∵∠B＝90°，
∴ ABCD是矩形（ 　 　）．
18．如图，在 ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于点E，BF平分∠CBD，交CD于点F．
（1）求证：DE＝BF；
（2）若AD＝BD，求证：四边形DEBF是矩形．
19．如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线，取F为BC中点，连接点D，E，F得到△DEF，G是ED中点．
（1）求证：FG⊥DE；
（2）如果∠A＝60°，BC＝16，求FG的长度．
20．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．
（1）用含有t的代数式表示EF的长．
（2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．
（3）在（2）条件下，直接写出当t为何值时，四边形EGFH为矩形．
21.如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，点D是边BC的中点，AE是外角∠FAC的平分线，过点C作CE⊥AE，垂足为E．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）连接DE，若矩形ADCE的周长是28，DE＝10，求四边形ABDE的面积．
答案
一、单选题
1．
【解答】解：矩形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分且相等，两组对角相等；
平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分，两组对角相等；
故选项B、C、D不符合题意，A符合题意；
故选：A．
2．
【解答】解：∵四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝AD时，可判定四边形ABCD是菱形；
当AB⊥AD时，可判定四边形ABCD是矩形；
当OA＝OB时，AC＝BD，可判定四边形ABCD是矩形；
当∠BAO＝∠ABO时，
∴OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
故选：A．
3．
【解答】解：向左扭动矩形框架ABCD，只改变四边形的形状，四边形变成平行四边形，A不符合题意；
此时对角线BD减小，对角线AC增大，B不合题意．
BC边上的高减小，故面积变小，C不符合题意，
四边形的四条边不变，故周长不变，D符合题意．
故选：D．
4．
【解答】解：如图所示：矩形ABCD，对角线AC＝BD＝15，∠AOD＝∠BOC＝60°
∵四边形ABCD是矩形
∴OA＝OD＝OC＝OB＝×15＝7.5（矩形的对角线互相平分且相等）
又∵∠AOD＝∠BOC＝60°，
∴OA＝OD＝AD＝7.5，
∵∠COD＝120°＞∠AOD＝60°
∴AD＜DC
所以该矩形较短的一边长为7.5，
故选：C．
5．
【解答】解：A、矩形的对角线平分、相等，故A正确，不合题意；
B、矩形的四个角都是直角，故B正确，不合题意；
C、矩形的对角线不互相垂直，故C错误，符合题意；
D、矩形是轴对称图形，故D正确，不合题意；
故选：C．
6．
【解答】解：∵点D在AC的垂直平分线上，
∴DA＝DC＝8，
∵∠ABC＝90°，点P是AD的中点，
∴BP＝AD＝4，
故选：C．
7．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，
∵点O是AC的中点，E为AD的中点，
∴OE＝CD＝3，AE＝AD＝4，
在Rt△ABE中，AE＝4，AB＝6，
根据勾股定理得，BE＝，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，
AC＝＝＝10．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵点O是AC的中点，
∴BO＝5．
∴△BOE周长为5+3+2＝8+2．
故选：C．
8．
【解答】解：在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝45°，AD∥BC，OA＝OB＝6，
∴∠AEB＝∠EAD＝45°，
∴BE＝BA．
∵∠CAE＝15°，∠BAE＝45°，
∴∠BAC＝60°，
又∵OA＝OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴BO＝BA＝9，
∴BO＝BE＝9．
故选：B．
9．
【解答】解：∵AD⊥BD，AC⊥BC，
∴△ABD，△ABC均为直角三角形，
∵E为AB中点，
∴CE＝AB，
∴CE＝AE＝BE＝DE，
∴∠ACE＝∠BAC，∠DCE＝∠EDC，
∵∠ACD+∠BAC＝70°，
∴∠DCE＝∠EDC＝70°，
∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠EDC＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故选：C．
10．
【解答】解：根据题意，可得DP＝t cm，BM＝t cm，
∵AD＝10cm，BC＝8cm，
∴AP＝（10﹣t）cm，CM＝（8﹣t）cm，
当四边形ABMP为矩形时，AP＝BM，
即10﹣t＝t，解得t＝5，故①不正确；
当四边形CDPM为平行四边形时，则DP＝CM，
即8﹣t＝t，解得t＝4，故②不正确；
当CD＝PM时，分两种情况：
当四边形CDPM是平行四边形时，则DP＝CM，
即8﹣t＝t，解得t＝4，
当四边形CDPM是等腰梯形时，
过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示，
则∠MGP＝∠CHD＝90°，
∵CD＝PM，GM＝HC，
∴Rt△MGP≌Rt△CHD（HL），
∴GP＝HD，
∴，
又BM＝t，∠A＝∠B＝90°，MG⊥AD，
∴AG＝BM，
即，
解得t＝6，
综上可得，当CD＝PM时，
t＝6或t＝4，
故③错误，④正确，
∴正确的结论有1个．
故选：A．
二、填空题
11．
【解答】解：∵公路AC与BC互相垂直，AC的长为6km，BC的长为8km，
∴AB＝＝＝10（km），
∵点M是线段AB的中点，
∴CM＝AB＝5（km）．
故答案为：5．
12．
【解答】解：连接OP，如图所示：
∵矩形ABCD的两边AB＝3，BC＝4，
∴S矩形ABCD＝AB BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝5，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝3，OA＝OD＝，
∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA PE+OD PF＝OA（PE+PF）＝×（PE+PF）＝3，
∴PE+PF＝，
故答案为：．
13．
【解答】解：连接BP，如图所示：
∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，
∴∠ABC＝∠PMB＝∠PNB＝90°，
∴四边形BMPN是矩形，AC＝＝＝13，
∴BP＝MN，BP与MN互相平分，
∵点O是MN的中点，
∴点O是BP的中点，
∴BO＝BP＝MN，
当BP⊥AC时，BP最小＝＝＝，
∴MN＝，
∴BO的最小值＝MN＝，
故答案为：．
14．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝90°﹣60°＝30°，
∴DE＝AD＝×6＝3，
又∵BD平分∠ABC，
∴CD＝DE＝3，
∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝30°，
∴BD＝2CD＝2×3＝6，
∵P点是BD的中点，
∴CP＝BD＝×6＝3．
故答案为：3．
15．
【解答】解：过点P作GH分别交AD、BC于点G、H，
由矩形性质可知，
S△ADC＝S△ABC，S△PFC＝S△PHC，S△AGP＝S△AEP，
∴S△ADC﹣S△PFC﹣S△AGP＝S△ABC﹣S△PHC﹣S△AEP，
即S四边形GPFD＝S四边形EPHB，
∴S四边形GPFD＝S四边形EPHB，即S△DPF＝S△PEB．
∵GP＝AE＝2，PF＝9，
∴S△DPF＝＝9＝S△PEB．
即图中阴影面积为S△DPF+S△PEB＝9+9＝18．
故答案为：18．
三、解答题
16．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵ED＝AD﹣AE，BF＝BC﹣CF，AE＝CF，
∴ED＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
又∵DF⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∴平行四边形BFDE是矩形．
17．解：求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵∠A＝∠B＝90°，
∴∠A+∠B＝180°．
∴AD∥BC（ 同旁内角互补，两直线平行）．
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴∠B+∠C＝180°．
∴AB∥CD．
∴四边形ABCD是平行四边形（ 两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．
又∵∠B＝90°，
∴ ABCD是矩形（ 有一个角为直角的平行四边形是矩形）．
故答案为：四边形ABCD是矩形；180；同旁内角互补，两直线平行；∠B+∠C＝180°；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一个角为直角的平行四边形是矩形．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，
∴∠EDB＝∠ADB，∠DBF＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴DE∥BF，
又∵AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴DE＝BF．
（2）∵AD＝BD，DE平分∠ADB，
∴DE⊥AB，
又∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是矩形．
19．（1）证明：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°，
∵F是BC的中点，
∴EF＝DF＝BC，
∴△DEF是等腰三角形，
∵G是ED的中点，
∴FG⊥DE；
（2）解：∵BD、CE分别是边AC、AB上的高线．
∴∠BDC＝∠CEB＝90°，
∵F是BC的中点，BC＝16，
∴EF＝DF＝BC＝BF＝CF＝8，
∴∠BEF＝∠ABC，∠CDF＝∠ACB，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BFE+∠CFD＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝120°，
∴∠EFD＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∵G是ED的中点，
∴EG＝DE＝EF＝4，
∴FG＝＝＝4．
20．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC＝＝＝5，
由题意得：AE＝CF＝t，
∴EF相遇前为：EF＝AC﹣AE﹣CF＝5﹣2t；
EF相遇后为：EF＝AE+CF﹣AC＝2t﹣5；
故答案为：5﹣2t或2t﹣5；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴AC＝＝＝5，∠GAF＝∠HCE，
∵G、H分别是AB、DC的中点，
∴AG＝BG，CH＝DH，
∴AG＝CH，
∵AE＝CF，
∴AF＝CE，
在△AFG与△CEH中，
，
∴△AFG≌△CEH（SAS），
∴GF＝HE，
同理：GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（3）解：如图所示，连接GH，
由（2）可知四边形EGFH是平行四边形
∵点G、H分别是矩形ABCD的边AB、DC的中点，
∴GH＝BC＝4，
∴当EF＝GH＝4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：
①AE＝CF＝t，EF＝5﹣2t＝4，
解得：t＝0.5．
②AE＝CF＝t，EF＝5﹣2（5﹣t）＝4，
解得：t＝4.5，
即：当t为0.5或4.5时，四边形EGFH为矩形．
21.（1）证明：∵AB＝AC，点D是边BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵AE是∠FAC的平分线，
∴∠FAE＝∠CAE，
∵∠BAD+∠CAD+∠FAE+∠CAE＝180°，
∴∠CAD+∠CAE＝×180°＝90°，
即∠DAE＝90°，
∵CE⊥AE，
∴∠ADC＝∠AEC＝∠DAE＝90°，
∴四边形ADCE是矩形；
（2）解：如图，∵四边形ADCE是矩形，
∴∠AC＝90°，DE＝AC＝15，AE∥BD，AE＝CD，
∵点D是边BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AE＝BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵矩形ADCE的周长是28，
∴AD+CD＝14，
∴（AD+CD）2＝142，
即AD2+CD2+2AD CD＝142，
∵AD2+CD2＝AC2＝102，
∴AD CD＝＝48，
∴AD BD＝48，
∴S平行四边形ABDE＝BD AD＝48．