一元二次方程根与系数的关系
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文档简介
一元二次方程根与系数关系（一课时）
一、教学目标
1、知识与技能：
理解并掌握一元二次方程根与系数的关系，并会运用根与系数解决有关问题
2、过程与方法
经历观察、探索、归纳、猜想的过程，得出一元二次方程根与系数的关系
3、情感态度与价值观
经历交流、探索一元二次方程根与系数关系的过程，体验成功的快乐，培养同学们辨证唯物主义者世界观，体会由特殊到一般的认知规律和转换思想
二、教材分析
1、地位与作用
一元二次方程求根公式是一元二次方程中的重要内容，是一元二次方程内容的升华和提高，一元二次方程根与系数关系是以一元二次方程的求根公式为基础推导而来的.通过这部分内容学习，会使同学思维敏捷，头脑灵活.因为在利用根与系数之间的关系进行计算的时候，要考虑到一元二次方程的判别式，即方程必须要有根，所以在处理有关一元二次方程的问题时就会多一些思考的问题的空间和方法.通过本节课的学习，使同学们在认识事物时遵循由特殊到一般，再由一般到特殊的规律。
2、教材重点、难点
重点：一元二次方程根与系数关系的推导与应用
难点：正确理解一元二次方程根与系数
三、教学方法和手段
1、采用“观察——猜想——归纳”的过程，鼓励同学们积极思考，积极参与教学活动，感悟知识的形成过程，采用启发式教学，调动同学们学习的积极性
2、通过“探究”活动，使师生之间充分交流，配合默契，紧后师生达成共识，
3、教学时正确使多媒体讲课件，让同学们在快乐中学习。
四、教学流程
（一）复习一元二次方程的求根公式
（二）新课讲解
1、创设情境（投影）
方程 两个根的值 x1+x2 x1x2
2x2+x-3=0
x2+6x+5=0
3x2-10x+8=0
4x2+4x-3=0
请同学们观察下表，并正确填写表中空白
2、由上表猜想一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根x1,x2与系数a,b,c之间的关系（猜想——小组讨论——教师归纳总结——展示多媒体课件）
3、推导一元二次方程根ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数关系
两名同学上黑板板书，其余同学在下面推导
最后教师展示多媒体课件，演示推导过程
x1= , x2=
x1+x2= + ==
x1x2=·==
结论：
①一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)如果有根，且两根为x1,x2则x1+x2=, x1x2=称为一元二次方程根与系数关系，此称为韦达定理，（注意韦达定理条件b2-4ac≥0）
②当a=1时ax2+bx+c=0可化为x2+px+q=0的形式
若x2+px+q=0的两根为x1,x2这时韦达定理是：x1+x2=-p，x1x2=q
4、（投影）下列一元二次方程中两根之和、两根之积各是多少？（请同学回答，捡验是否真正理解韦达定理）
①x2-2x+1=0, ②x2-8x+7=0, ③2x2-9x+5=0,
④4x2-8x+1=0, ⑤2x2-1=0, ⑥3x2-2x=0
5、应用迁移，提升能力
例1、已知关于x的方程2x2+kx-4=0一个根为-4，求它的另一根及k值
分析 此方程为一元二次方程的一般形式
这里a=2, b=k, c=-4
解：设方程另一根为x1, 那么-4x1==-2，x1=
又+(-4)=-
k=7
答方程另一根为，k值为7
讨论交流：本题还有其它解法吗？
例2、不解方程，求方程2x2+x-2=0两个根的①平方和;②倒数和
解：讨论，让同学说出自己的想法，最后教师展示多媒体课件，写出正确解题过程
解：设方程2x2+x-2=0两根分别为x1，x2
那么x1+x2=- , x1x2=-1
① x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2= (-)2-2×(-1)= +2=
②
（三）课堂演练，巩固成果
课本P54 1, P55 2、3、4
（四）课堂小结，这节课有什么收获，请同学们谈谈自己的感受
（五）课外作业
课本P55，习题19.4 1、2、3
教学设计说明
教学时先请同学们解以前所熟悉的一元二次方程，通过观察、猜想、归纳一元二次方程根与系数的关系.由于已经学习了一元二次方程的求根公式，再利用求根公式对上述结果进行证明，这样学生接受起来较自然，教学设计以学生为主体，遵循由浅入深的原则，教学设计的学习过程，以师生探索、交流为主，使学生真正成为课堂的主体。两个例题设计难度适中，能充分调动学生的学习积极性，讲练结合，活跃了课堂气氛，培养学生正确运用所学知识的应用能力。
请同学思考在此过程中，是不是需要某个条件的保证？
（b2-4ac≥0）
一、教学目标
1、知识与技能：
理解并掌握一元二次方程根与系数的关系，并会运用根与系数解决有关问题
2、过程与方法
经历观察、探索、归纳、猜想的过程，得出一元二次方程根与系数的关系
3、情感态度与价值观
经历交流、探索一元二次方程根与系数关系的过程，体验成功的快乐，培养同学们辨证唯物主义者世界观，体会由特殊到一般的认知规律和转换思想
二、教材分析
1、地位与作用
一元二次方程求根公式是一元二次方程中的重要内容，是一元二次方程内容的升华和提高，一元二次方程根与系数关系是以一元二次方程的求根公式为基础推导而来的.通过这部分内容学习，会使同学思维敏捷，头脑灵活.因为在利用根与系数之间的关系进行计算的时候，要考虑到一元二次方程的判别式，即方程必须要有根，所以在处理有关一元二次方程的问题时就会多一些思考的问题的空间和方法.通过本节课的学习，使同学们在认识事物时遵循由特殊到一般，再由一般到特殊的规律。
2、教材重点、难点
重点：一元二次方程根与系数关系的推导与应用
难点：正确理解一元二次方程根与系数
三、教学方法和手段
1、采用“观察——猜想——归纳”的过程，鼓励同学们积极思考，积极参与教学活动，感悟知识的形成过程，采用启发式教学，调动同学们学习的积极性
2、通过“探究”活动，使师生之间充分交流，配合默契，紧后师生达成共识，
3、教学时正确使多媒体讲课件，让同学们在快乐中学习。
四、教学流程
（一）复习一元二次方程的求根公式
（二）新课讲解
1、创设情境（投影）
方程 两个根的值 x1+x2 x1x2
2x2+x-3=0
x2+6x+5=0
3x2-10x+8=0
4x2+4x-3=0
请同学们观察下表，并正确填写表中空白
2、由上表猜想一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根x1,x2与系数a,b,c之间的关系（猜想——小组讨论——教师归纳总结——展示多媒体课件）
3、推导一元二次方程根ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数关系
两名同学上黑板板书，其余同学在下面推导
最后教师展示多媒体课件，演示推导过程
x1= , x2=
x1+x2= + ==
x1x2=·==
结论：
①一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)如果有根，且两根为x1,x2则x1+x2=, x1x2=称为一元二次方程根与系数关系，此称为韦达定理，（注意韦达定理条件b2-4ac≥0）
②当a=1时ax2+bx+c=0可化为x2+px+q=0的形式
若x2+px+q=0的两根为x1,x2这时韦达定理是：x1+x2=-p，x1x2=q
4、（投影）下列一元二次方程中两根之和、两根之积各是多少？（请同学回答，捡验是否真正理解韦达定理）
①x2-2x+1=0, ②x2-8x+7=0, ③2x2-9x+5=0,
④4x2-8x+1=0, ⑤2x2-1=0, ⑥3x2-2x=0
5、应用迁移，提升能力
例1、已知关于x的方程2x2+kx-4=0一个根为-4，求它的另一根及k值
分析 此方程为一元二次方程的一般形式
这里a=2, b=k, c=-4
解：设方程另一根为x1, 那么-4x1==-2，x1=
又+(-4)=-
k=7
答方程另一根为，k值为7
讨论交流：本题还有其它解法吗？
例2、不解方程，求方程2x2+x-2=0两个根的①平方和;②倒数和
解：讨论，让同学说出自己的想法，最后教师展示多媒体课件，写出正确解题过程
解：设方程2x2+x-2=0两根分别为x1，x2
那么x1+x2=- , x1x2=-1
① x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2= (-)2-2×(-1)= +2=
②
（三）课堂演练，巩固成果
课本P54 1, P55 2、3、4
（四）课堂小结，这节课有什么收获，请同学们谈谈自己的感受
（五）课外作业
课本P55，习题19.4 1、2、3
教学设计说明
教学时先请同学们解以前所熟悉的一元二次方程，通过观察、猜想、归纳一元二次方程根与系数的关系.由于已经学习了一元二次方程的求根公式，再利用求根公式对上述结果进行证明，这样学生接受起来较自然，教学设计以学生为主体，遵循由浅入深的原则，教学设计的学习过程，以师生探索、交流为主，使学生真正成为课堂的主体。两个例题设计难度适中，能充分调动学生的学习积极性，讲练结合，活跃了课堂气氛，培养学生正确运用所学知识的应用能力。
请同学思考在此过程中，是不是需要某个条件的保证？
（b2-4ac≥0）