2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册 第六章 立体几何初步 B卷 能力提升（含解析）

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2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册单元测试AB卷 第六章 立体几何初步 B卷 能力提升
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．如图为某一正三棱柱的侧视图,则该正三棱柱的体积为( )
A. B. C. D.
2．已知圆锥的母线长为6，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为( )
A. B. C. D.
3．在三棱台中，截面与底面平行，若，且三棱台的体积为1，则三棱台的体积为( )
A.5 B.8 C.9 D.10
4．若,则直线AB与平面CDE的位置关系是( )
A.相交 B.平行 C.在平面内 D.平行或在平面内.
5．以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
6．现准备给一半径为的实心球体玩具制作一个圆台型带盖的纸质包装盒,要使制成的包装盒能装下该球体玩具,且该包装盒的下底面是半径为的圆,则制成的包装盒的容积最小为( )
A. B. C. D.
7．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
8．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，则该四棱锥的体积为( )
A.1 B.2 C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．在中，，，平面，边，在平面上的射影长分别为6，8，则( )
A.边在上的射影长为 B.边在上的射影长为
C.B，C两点在平面的同一侧 D.B，C两点在平面的两侧
10．已知平面，平面，则下列说法错误的是( )
A.平面内所有的直线与直线异面
B.平面内存在一条直线与直线平行
C.平面内存在无数条直线与直线相交
D.有且只有一个过直线的平面与平面平行
11．在直三棱柱中,,,,点P在线段上,则的( )
A.最小值为 B.最小值为
C.最大值为 D.最大值为
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则_________.
13．如图所示,将一个圆心角为的扇形纸板剪掉扇形,得到扇环,现将扇环围成一个圆台.若,则该圆台的体积为________.
14．如图，中，，，，E，F分别是，边上的点，，将沿折起，点B折起后的位置记为点P，得到四棱锥，则四棱锥体积的最大值为__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知空间四边形ABCD中，，，且E是CD的中点，求证：平面平面ACD.
16．如图，四棱锥中，为正三角形，为正方形，平面平面，E、F分别为、中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
17．（例题）如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点.求证：平面平面PBC.
18．如图，平面，，你能发现哪些平面互相垂直？为什么？
19．如图，在正三棱柱中，D为棱AC的中点.求证：平面平面.
参考答案
1．答案：A
解析：由题该三棱柱底面正三角形的高为,边长为,高为4cm,
则体积.
故选:A.
2．答案：A
解析：设圆锥的底面半径为r，
则，解得，
所以该圆锥的表面积为.
故选：A.
3．答案：B
解析：将三棱台补成三棱锥，
因为，
所以，
设，，三棱锥的体积为a，
三棱台的体积为b，
则
所以，
故选：B.
4．答案：D
解析： ,,,共面,则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.
5．答案：D
解析：如图，正三角形绕所在直线为旋转轴旋转一周，
得到几何体是两个同底的圆锥，
圆锥的底面半径为，
所得几何体的表面积为.
故选：D.
6．答案：D
解析：要使制成的包装盒的容积最小,则该球体玩具与包装盒的上下底面及侧面都相切,
作该圆台型包装盒的轴截面得等腰梯形,截内切球得该梯形的内切圆O,如图,
其中点F,E分别是上下底面圆圆心,作于G,连接,则,,
显然,,而,则,解得,
所以该包装盒的容积最小为.
故选：D.
7．答案：C
解析：圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，
如图所示，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为,
则圆台的高
据此可得圆台的体积：.
故选：C.
8．答案：B
解析：如图：取，的中点E，F，连接，，，
则，，且，平面，
故平面，平面，
故平面平面，平面平面，
过P作的垂线，垂足为O，即，平面，
故平面，由题意可知，
，，
由余弦定理可得，
，，故，
所以四棱锥的高为1，则四棱锥的体积为.
故选：B
9．答案：BD
解析：设B，C在平面上的射影分别为，，因为，，且边，在平面上的射影长分别为6，8，所以，.当B，C在的同一侧时，在上的射影，此时，A，C错误；当B，C在的两侧时，在上的射影，满足，B，D正确.
10．答案：ABD
解析：当平面内的直线过点A时，该直线与直线相交，故A错误；假设平面内存在一条直线与直线相互平行，则该直线与直线共面，显然不成立，故B错误；平面，因此不平行，故D错误.故选ABD.
11．答案：BD
解析：如图展开,其中是斜边为的等腰直角三角形,
是斜边为6的等腰直角三角形．
当,P,B三点共线时,取得最小值．
当P位于C点位置时,取得最大值．
故选：BD.
12．答案：4
解析：，.
13．答案：/
解析：圆台的体积为一个大圆锥的体积减去一个小圆锥的体积,
扇形所围成的大圆锥的弧长为,所围成底面圆的半径为,
所以圆锥的高为,
故扇形所围成的大圆锥的体积为.
同理可得扇形所围成的小圆锥的体积为,
所以则该圆台的体积为.
故答案为:.
14．答案：
解析：当底面的面积一定时，当平面平面，即平面时，四棱锥的体积最大，设，则，，，，令，，则，令，解得或（舍），当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，即四棱锥的体积最大值为.
15．答案：证明见解析
解析：证明：因为，E为CD的中点，
所以.同理，.
又，所以平面ABE.
又平面ACD，
所以平面平面ACD.
16．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)连接，
是正方形，E是的中点，
E是的中点，
F是的中点，
，平面，平面，
平面.
(2)建立如图所示空间直角坐标系，设，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，
取得，
设与平面所成角为，
则.
17．答案：证明见解析
解析：证明：平面ABC，平面ABC，
.
点C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB是的直径，
，即.
又，平面，平面PAC，
平面PAC.
又平面PBC，
平面平面PBC.
解题思路：要证明两个平面垂直，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面.而由直线和平面垂直的判定定理，还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直.在本题中，由题意可知，，，从而平面PAC，进而平面平面PBC.
18．答案：平面平面BCD，平面平面BCD，平面平面ACD；理由见解析
解析：平面平面BCD，平面平面BCD，平面平面ACD.
理由：平面，平面，平面ABD，
平面平面BCD，平面平面BCD.
平面，平面BCD，
.
又，，
平面ABC.
平面ACD，
平面平面ACD.
19．答案：证明见解析
解析：证明：在正三棱柱中，D为AC的中点，为正三角形，
.
又在正三棱柱中，平面，平面ABC，
.
，平面，平面.
平面.
平面，平面平面.
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