2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册 第五章 复数B卷 能力提升（含解析）

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2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册单元测试AB卷 第五章 复数B卷 能力提升
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．复数( )
A. B. C. D.
2．若复数z满足，则( )
A. B. C. D.
3．若，则( )
A.2i B.2 C. D.
4．在复平面内，复数z对应的点为，则( )
A.i B. C.2i D.
5．设i为虚数单位，，且，则( )
A.-4 B.0 C. D.4
6．若复数是纯虚数，则的值可以为( )
A. B. C. D.
7．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8．已知复数为纯虚数,则实数m的值为( )
A. B. C.1 D.4
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知，为复数，则下列说法正确的是( )
A.若，则
B.若，则与的虚部相等
C.若，则或
D.若，则
10．已知集合，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是( )
A. B. C. D.
11．已知复数（，i为虚数单位），且，则( )
A.z不可能为纯虚数
B.若z的共轭复数为，且，则z是实数
C.若，则z是实数
D.可以等于
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．i是虚数单位，复数________.
13．若(a，b为实数，i为虚数单位)，则________.
14．已知函数的图象关于直线对称,则________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．计算下列各式的值.
（1）；
（2）.
16．已知复数，且为纯虚数.
（1）设复数，求；
（2）设复数，且复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.
17．如图，向量对应的复数是z，分别作出下列运算的结果对应的向量：
（1）；
（2）；
（3）.
18．证明复数的加法满足交换律、结合律.
19．（例题）当实数m取什么值时，复数是下列数？
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.
参考答案
1．答案：D
解析：，
故选：D.
2．答案：A
解析：由，则，
即.
故选：A.
3．答案：B
解析：因为，
所以，
所以，
所以，
故选：B
4．答案：B
解析：因为复数z对应点的坐标为，所以，
所以.
故选：B.
5．答案：B
解析：
又，根据复数的相等，
故，则
故选：B.
6．答案：C
解析：由题意得，所以，
即，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，故选C.
7．答案：D
解析：复数z满足
复数z在复平面内对应的点位于第四象限
故选D.
8．答案：D
解析：由题意得为纯虚数,
所以,解得,故D正确.
故选：D.
9．答案：AC
解析：对于A，若，则和互为共轭复数，所以，故A正确；
对于B，若，则与的虚部互为相反数，故B错误；
对于C，若，则，
所以或，可得或，故C正确；
对于D，取，，可得，故D错误.
故选：AC
10．答案：BC
解析：根据题意，中，时，；时，；时，，时，，.
选项A中，；
选项B中，；
选项C中，；
选项D中，.
故选BC.
11．答案：BC
解析：当，时，为纯虚数，故A错误；若，则，因此，故B正确；由是实数且，知z是实数，故C正确；若，则，又，因此，，无解，即不可以等于，故D错误.故选BC.
12．答案：-2i
解析：.
故答案为：-2i
13．答案：3
解析：因为，所以.
又因为a，b都为实数，故由复数的相等的充要条件得，
解得，所以.
14．答案：3
解析：由知,即,
所以函数的定义域为
由函数的图象关于直线对称,
所以,且恒成立,
即,
所以,整理得,
所以,故
故答案为:3
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）根据复数的除法运算，化简可得
.
（2）根据复数的除法运算，化简可得
.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1），
.
为纯虚数，，解得，
，
.
（2），
在复平面内对应的点的坐标为.
又复数在复平面内对应的点在第四象限，
，解得，
实数a的取值范围为.
17．答案：（1）见解析
（2）见解析
（3）见解析
解析：（1）复数1与复平面内点一一对应，利用平行四边形法则作出所求向量，如图所示：
（2）复数与复平面内点一一对应，利用平行四边形法则作出所求向量，如图所示：
（3）复数与复平面内点——对应，利用平行四边形法则作出所求向量如图所示：
18．答案：证明见解析
解析：证明：复数的加法满足交换律.
设，，则有
，
，
，，.
即复数的加法满足交换律.
复数的加法满足结合律.
设，，，
，
，
，
即复数的加法满是结合律.
19．答案：时，复数z是实数；时，复数z是虚数；时，复数z是纯虚数
解析：（1）当，即时，复数z是实数.
（2）当，即时，复数z是虚数.
（3）当，且，即时，复数z是纯虚数.
解题思路：因为，所以，都是实数.由复数是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的取值.
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