第八章 立体几何初步（A卷基础夯实）——2024-2025学年高一数学人教A版(2019)必修第二册（含解析）

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第八章 立体几何初步（A卷基础夯实）——2024-2025学年高一数学人教A版(2019)必修第二册单元测试AB卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知a,b是空间内两条不同的直线,,,是空间内三个不同的平面,则下列说法正确的是( )
A.若,,则
B.若,,则
C.若,,,则
D.若,,,则或
2．若圆锥的母线长为2,且母线与底面所成角为,则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
3．若圆锥的母线长为2,且圆锥的侧面积为,则该圆锥母线与底面所成角为( )
A. B. C. D.
4．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几何体的体积为( )
A. B. C. D.
5．已知某商品的形状为圆台，该圆台的轴截面是上底为2，下底为4，腰为3的等腰梯形，则该圆台的表面积为( )
A. B. C. D.
6．已知圆锥的体积为,其侧面积是底面积的倍,则该圆锥的母线长为( )
A.2 B. C. D.
7．在正方体中,若平面与平面的交线为l,则( )
A. B.
C.平面 D.平面
8．如图,在正方体中,M,N分别为,的中点,异面直线MN与所成角为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．设直线l不在平面内，直线m在平面内，则下列说法不正确的是( )
A.直线l与直线m没有公共点
B.直线l与直线m异面
C.直线l与直线m至多一个公共点
D.直线l与直线m不垂直
10．已知P为平面外一点,则( )
A.过点P可以作无数个平面与平行
B.过点P可以作无数条直线与平行
C.过点P可以作无数个平面与垂直
D.过点P可以作无数条直线与垂直
11．已知m，n，l为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题一定正确的是( )
A.若，，，则
B.若，，，，则
C.若，，，，则
D.若，，，则
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若点直线a，且直线平面，则A_________.（填合适的符号）
13．已知圆锥的母线长为6，且其轴截面为等边三角形，则该圆锥的体积为________.
14．中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体的棱长为______________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如果a与b异面，a与c异面，则b与c一定异面吗？为什么？
16．判断下列命题的真假.
（1），，；
（2），，；
（3），，；
（4），；
（5），，，，.
17．已知长方体中，，，，求AD.
18．如图所示，四面体ABCD被一平面所截，截面与4条棱AB，AC，CD，BD相交于E，F，G，H4点，且截面EFGH是一个平行四边形.
（1）求证：；
（2）求证：平面EFGH.
19．如图，在四棱锥中，，，底面是边长为的菱形，.
(1)证明：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正切值为，，求二面角夹角的余弦值.
参考答案
1．答案：C
解析：对于A,由,,设,当时,可得,故A错误;
对于B,由,可得或,故B错误;
对于C,如图,设,,在平面作不与a重合的直线m,使,
因,则,因,,则,因,则,于是,故C正确;
对于D,当,,时,若且,
则b可以和平面,成任意角度,故D错误.
故选:C.
2．答案：C
解析：圆锥的母线长为2,母线与底面所成角为,所以底面圆的半径为,
所以该圆锥的侧面积为.
故选：C.
3．答案：B
解析：设圆锥底面半径为r,母线与底面所成角为,则,解得,则,
所以,
故选B.
4．答案：A
解析：几何体可看作半圆柱去掉底面为等腰直角三角形的三棱柱，
其中半圆柱的体积为，三棱柱的体积为，
故几何体的体积为.
故选：A.
5．答案：B
解析：该圆台的表面积
故选：B
6．答案：B
解析：由,得,
由,得,
因为,解得,所以.
故选：B.
7．答案：D
解析：因为点平面平面,所以.
又因直线平面平面,故得,
所以l是过点B且平行于的直线.
对于A,因为,,所以,故不成立,即A错误;
对于B,因为,而,故不成立,即B错误;
对于C,因为,而平面,故平面不成立,即C错误;
对于D,因为,,所以,
又平面,平面,所以平面,即D正确.
故选:D.
8．答案：B
解析：连结,,因为在正方体中,M,N分别为,的中点,
所以,
因此,异面直线与所成角即为直线与所成角,即,显然为.
故选:B
9．答案：ABD
解析：对于选项A，直线l不在平面内，直线m在平面内，但是，直线l与m可以相交，故A错误；
对于选项B，直线l不在平面内，直线m在平面内，但是，直线l与m可以相交也可以平行，故B错误；
对于选项C，直线l不在平面内，直线m在平面内，则直线l与直线m只可以平行或者相交，不可能重合，所以，直线l与直线m至多一个公共点，故C正确；
对于选项D，直线l不在平面内，直线m在平面内，则当直线l垂直于平面时，直线l与直线m垂直，故D错误.
10．答案：BC
解析：过点P只能作一个平面与平行,过点P可以作无数条直线与平行,
过点P可以作无数个平面与垂直,过点P只能作一条直线与垂直.
11．答案：AD
解析：对于A，，，所以或，而，故，故A正确；
对于B，如图，长方体中，，，，，则，故B错误；
对于C，如图，长方体中，
，，，，，则，故C错误；
对于D，若，，则，而，故，故D正确.
故选：AD.
12．答案：
解析：点直线a，且直线平面，则，
故答案为：
13．答案：
解析：设圆锥的底面半径为r，轴截面为等边三角形，
则，解得，所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为，
故答案为：.
14．答案：
解析：作出该图形的一个最大的水平截面正八边形,如图,其八个顶点都在边长为1的正方形上,设“半正多面体”棱长为a,则,解得,
故答案为：.
15．答案：不一定
解析：不一定.b，c可能平行、相交、异面.
16．答案：（1）假命题
（2）真命题
（3）假命题
（4）假命题
（5）假命题
解析：（1），，，则或a，b异面，故（1）是假命题；
（2），，，，（2）是真命题；
（3），，，则或或l，m异面或l，m相交，（3）是假命题；
（4），或，（4）是假命题；
（5）如图所示：，，，.则b与不垂直，（5）是假命题.
17．答案：
解析：由长方体的性质得，，
在中，由，，
得，
在中，由，，
得，
由，得.
18．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）证明：因为，平面，平面BCD，
所以平面BCD.
又因为平面ABC，平面平面，
所以.
（2）证明：因为，平面ABD，平面ABD，
所以平面ABD.
因为平面ACD，平面平面，
所以.
因为平面EFGH，平面EFGH，
所以平面EFGH.
19．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）连接交于点O，连接，
因为是菱形，所以，
又因为O为的中点，所以
又面，且，所以平面
又平面，所以平面平面
（2）过P作交于点H，面面，，
面面，面，
所以面，则即为直线与平面所成角.
因为，，面，，
所以面，又面，所以，
所以H为，的交点，为等边三角形，所以H为的重心，
所以，，在中，解得，
以O为原点，，所在直线为x，y轴建立如图坐标系，
则，，，，
，，
设平面和平面的法向量分别为和，
则，即，令，可得：，
即，又平面，则
设平面和平面的夹角为，则
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