第八章 立体几何初步（B卷能力提升）——2024-2025学年高一数学人教A版(2019)必修第二册（含解析）

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第八章 立体几何初步（B卷能力提升）——2024-2025学年高一数学人教A版(2019)必修第二册单元测试AB卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．某圆锥高为，母线与底面所成的角为，则该圆锥的表面积为( )
A. B. C. D.
2．设是空间中的一个平面，l，m，n是两两不重合的三条直线，则下列命题中，真命题的是( )
A.若，，，，则
B.若，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
3．在正四棱柱中，，，E，F，G分别是，BD，的中点，则直线与EF所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4．半径为2的实心球与半径为1的实心球体积之差的绝对值为( )
A. B. C. D.
5．如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线，若母线放置在水平地面上时，水面恰好过的中点，那么当底面圆O水平放置时，水面高为( )
A. B. C. D.
6．已知圆锥的底面半径为R，高为，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是( )
A. B. C. D.
7．已知A，B，C为球O的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
8．已知三棱锥四个顶点都在球O面上，，，M为的中点，C在面内的射影为的中点，则球O的表面积等于( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知圆锥的侧面积为，底面圆的周长为，则( )
A.圆锥的母线长为4
B.圆锥的母线与底面所成角的正弦值为
C.圆锥的体积为
D.沿着圆锥母线的中点截圆锥所得圆台的体积为
10．如图，在棱长为1的正方体中，E是线段上的动点（不包括端点），过A，，E三点的平面将正方体截为两个部分，则下列说法正确的是( )
A.正方体的外接球的表面积是正方体内切球的表面积的3倍
B.存在一点E，使得点和点C到平面的距离相等
C.正方体被平面所截得的截面的面积随着的增大而增大
D.当正方体被平面所截得的上部分的几何体的体积为时，E是的中点
11．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面ABCD，，，，则下列结论正确的有( )
A.四面体是鳖臑
B.阳马的体积为
C.阳马的外接球表面积为
D.D到平面PAC的距离为
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则_________.
13．一个圆锥的顶点和底面圆都在半径为2的球体表面上，当圆锥的体积最大时，其侧面积为______．
14．正方体的棱长为4，P是平面上一动点，E是棱CD上一点，若，且的面积是面积的4倍，则三棱锥体积的最大值是______.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．判断下列命题的真假.
（1）四棱柱一定是平行六面体；
（2）六个面都是矩形的六面体一定是长方体；
（3）直平行六面体一定是长方体；
（4）底面是矩形的四棱柱一定是长方体.
16．如图,在四棱锥中,四边形是菱形,,,,,.
(1)证明：平面平面.
(2)求二面角的余弦值.
17．如图，在梯形中，，，，为等边三角形，平面平面，E为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18．如图，四棱锥的底面是矩形，，，是等边三角形，平面平面，O，F分别是，的中点，与交于点E.
(1)求证：平面；
(2)平面与直线交于点Q，求直线与平面所成角的大小.
19．在三棱柱中,平面平面ABC,,,D为AC的中点.
（1）求证:平面平面;
（2）求与平面所成角的正弦值.
参考答案
1．答案：A
解析：由圆锥高为，母线与底面所成的角为，
得圆锥底面圆半径，
母线，所以圆锥的表面积.
故选：A
2．答案：D
解析：对于A中，由，，，，
只有直线m与n相交时，可得，所以A错误；
对于B中，由，，知或，所以B错误；
对于C中，由，，，则，所以C错误；
对于D中，由，，可得，
又因为，所以，所以D正确.
故选：D.
3．答案：D
解析：以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
，，
则，，，，
，，
故
，
故直线与EF所成角的余弦值为.
故选：D.
4．答案：A
解析：由题意可知实心球的体积为，
实心球的体积为，
所以实心球与实心球体积之差的绝对值为.
故选：A.
5．答案：B
解析：如图，
设圆柱底面半径为r，则当母线水平放置时，圆柱中含水部分可以看作是以弓形为底，为高的柱体，
因为水面过的中点，则，
则弓形的面积为，
当底面圆O水平放置时，底面圆的面积为，设水面高为h，
则由水的体积不变可得：，
即，解得：.
故选：B.
6．答案：B
解析：设内接圆柱的底面半径为，母线长为h，
则，即，
则该圆柱的全面积为，
因为，
所以当时，内接圆柱的全面积的最大值为；故选B.
7．答案：A
解析：设圆半径为r，球的半径为R，依题意，
得，，为等边三角形，
由正弦定理可得，
，根据球的截面性质平面，
，
球O的表面积.
故选：A
8．答案：B
解析：如图，设的中点为N，则由平面，可知，
又，，所以，所以，
所以，
又三棱锥的外接球的球心O在过M且垂直平面的垂线上，
设球心O到平面的距离为t，球O的半径为R，
则，解得，
所以，
所以球O的表面积为.
故选：B
9．答案：ACD
解析：对于A，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则，，故，，故A正确.
对于B，圆锥的高为h，则，故圆锥的母线与底面所成角的正弦值为，故B错误.
对于C，圆锥的体积为，故C正确.
对于D，沿着圆锥母线的中点截圆锥所得小圆锥的体积为，故所得圆台的体积为，故D正确.
故选：ACD.
10．答案：AC
解析：对于A，正方体外接球的半径为，
内切球的半径为，
可得正方体的外接球的表面积是正方体内切球的表面积的倍，故A正确；
对于B，由点和点B到平面的距离相等，
若点和点C到平面的距离相等，
必有平面，又由，
可得平面，与平面矛盾，故B错误；
对于C，如图，
在上取一点F，使得，
连接，设，
由，
可得平面为过A，，E三点的截面，
在梯形中，，，
，，
梯形的高为，
梯形的面积为
，
令，
有
可得函数单调递增，
可得正方体被平面所截得的截面面积随着的增大而增大，
故C正确；
对于D选项，，，
被平面所截得的上部分的几何体的体积为，
整理为，
解得，故D错误.
故选：AC
11．答案：BD
解析：设，，，
由侧棱底面ABCD，，，，
可得，
解得
即，，.
对于A，由，，
可得不是直角三角形，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，将阳马补形为长为2，宽为1，高为1的长方体，
可知其外接球直径为，
故阳马的外接球半径，
表面积，故C错误；
对于D，设D到平面的距离为h，
由，，
可得的面积为，
由等体积法，
可得，
解得，故D正确.
故选：BD.
12．答案：4
解析：，.
13．答案：
解析：设圆锥高为，底面半径为r，则，，
，
，令得或（舍去），
当时，，函数V是增函数；当时，．函数V是减函数，
因此当，时函数取得极大值也最大值，此时圆锥体积最大．
故侧面积为
故答案为：
14．答案：
解析：由已知平面，
平面，所以，
因为平面，
平面，所以，
所以，
又，所以,
又的面积是面积的4倍，可得,
在平面上以为x轴，
为y轴建立平面直角坐标系，
设，则，
由得，
整理得，
即点P的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
所以取最大值为，的最大值为，
故答案为：
15．答案：（1）假命题
（2）真命题
（3）假命题
（4）假命题
解析：（1）四棱柱一定是平行六面体，当四棱柱底面是梯形时不是平行六面体，假命题；
（2）六个面都是矩形的六面体一定是长方体，根据长方体的结构特征知正确，真命题；
（3）直平行六面体一定是长方体，当底面为平行四边形时不是长方体，假命题；
（4）底面是矩形的四棱柱一定是长方体，当侧棱与底面不垂直时不是长方体，假命题.
16．答案：(1)证明见解析;
(2).
解析：(1)因为四边形是菱形,所以,
因为,平面,平面,且,
所以平面,
因为平面,平面平面
(2)过点P作,垂足为E,
在中,,,
所以,因为,
所以,,,设,
以O为坐标原点,分别以,的方向为x,y轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
则,,,
设平面的法向量为,
则,令,得,
设平面的法向量为,
则,令,得
设二面角的大小为,易得为锐角,
则,所以二面角的余弦值为.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
量的夹角公式计算即得.
解析：(1)如图，取的中点F，连结，.
因为E为的中点，所以，.
因为，，
所以，.
即四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，
平面，所以平面.
(2)如图，取的中点O，的中点G，
连结，，则，
因为为等边三角形，所以，
因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
又平面，故.
分别以，，所在直线分别为x，y，z轴
建立空间直角坐标系，
，
则，，，，
故，，
设平面的一个法向量为，
则
令，则
设直线与平面所成角为，
则.
即直线与平面所成角的正弦值为.
18．答案：(1)证明见解析
(2).
解析：(1)因为为正三角形，O是中点，所以，
又因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
，
又，在平面内且相交，故平面
(2)E，O分别为，的中点，，
又平面过且不过，平面.
又平面交平面于，故，进而，
因为F是中点，所以Q是的中点.
以O为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴
建立空间直角坐标系，
则，，，
，，，
设平面法向量为，
则，即，
取，得，
则，
因为，所以.
19．答案：（1）证明见答案
（2）
解析：（1）取的中点E,连接AE,
由题意可知:为等边三角形,则,
且,可得,
因为平面平面ABC,平面平面,平面,
所以平面ABC,
由平面ABC,可得,
又因为,,AE,平面,
可得平面,且平面,
所以平面平面.
（2）由（1）可知:平面,且平面,可得,
且平面ABC,如图,以A为坐标原点,AB,AC,AE分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,
可得,,,
设平面的法向量为,则,
令,则,,可得,
则,
所以与平面所成角的正弦值为.
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