第九章 统计（B卷能力提升）——2024-2025学年高一数学人教A版(2019)必修第二册（含解析）

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第九章 统计（B卷能力提升）——2024-2025学年高一数学人教A版(2019)必修第二册单元测试AB卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知一组数据3,7,11,7,13,15,则该组数据的第40百分位数为( )
A.7 B.9 C.11 D.12
2．立德中学为了解各年级学生课外阅读情况，用分层抽样的方法从全校2500名学生中抽取100名学生进行问卷调查.已知高二年级共有800名学生，则该年级应抽取的学生人数是( )
A.25 B.30 C.32 D.33
3．2024年7月28日至8月8日,第31届世界夏季大学生运动会在成都市举行,某校在“大运会”举行前夕,在全校学生中进行“我和‘大运会’”的征文活动,对收到的稿件进行分类统计,得到如图所示的扇形统计图.已知全校高二年级共交稿360份,则全校高三年级的交稿数为( )
A.320份 B.330份 C.340份 D.350份
4．设集合，现对M的任意一非空子集X，令表示X中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均数为( )
A.501 B.500 C.1002 D.1001
5．奥运会跳水比赛中共有7名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最低分，得到5个有效评分，则与7个原始评分（不全相同）相比，一定会变小的数字特征是( )
A.众数 B.方差 C.中位数 D.平均数
6．某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则这组数据的百分位数为75的快递个数为( )
A.290 B.295 C.300 D.330
7．据统计，2024年12月成都市某区域一周指数按从小到大的顺序排列为：45，50，51，53，53，57，60，则这组数据的25百分位数是( )
A.45 B.50 C.51 D.53
8．在高三一次调研考试时,某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计,其中数学试卷上有一道满分为15分的解答题,6名同学的得分为,统计结果为:,已知这6名同学该解答题得分的第80%分位数和平均得分均为12分,则该解答题得分的极差为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )
A.消耗1L汽油，乙车最多可行驶5km
B.甲车以80km/h的速度行驶1h消耗约8L汽油
C.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
10．下列说法正确的有( )
A.若随机变量X服从正态分布，，则
B.数据4，7，6，5，3，8，9，10的第70百分位数为8
C.回归解题思路中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好
D.根据分类变量X与Y的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05
11．树人中学2006班某科研小组，持续跟踪调查了他们班全体同学一学期中16周锻炼身体的时长，经过整理得到男生、女生各周锻炼身体的平均时长（单位：h）的数据如下：
男生：6.3，7.4，7.6，8.1，8.2，8.2，8.5，8.6，8.6，8.6，8.6，9.0，9.2，9.3，9.8，10.1；
女生：5.1，5.6，6.0，6.3，6.5，6.8，7.2，7.3，7.5，7.7，8.1，8.2，8.4，8.6，9.2，9.4.
以下判断中正确的是( )
A.女生每周锻炼身体的平均时长的平均值等于8
B.男生每周锻炼身体的平均时长的分位数是9.2
C.男生每周锻炼身体的平均时长大于的概率的估计值为0.3125
D.与男生相比，女生每周锻炼身体的平均时长的波动性比较大
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．某学校共有教职员工800人,其中不超过45岁的有x人,超过45岁的有320人.为了调查他们的健康状况,用分层抽样的方法从全体教职员工中抽取一个容量为50的样本,应抽取超过45岁的教职员工20人,抽取的不超过45岁的救职员工y人,则_____________人.
13．有三个男生的平均身高为170cm,方差为30;有七个女生的平均身高为160cm,方差为40,则这10人身高的方差为__________．
14．已知样本，的平均数为6，方差为4，样本，，，的平均数为8，方差为2，则新样本，，，，，，，的方差为___________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．甲、乙两人某次飞镖游戏中的成绩如下：
甲：8，6，7，7，8，10，9，8，7，8；
乙：9，10，6，7，9，9，10，8，9，10.
其中甲的成绩可用如图（1）所示的打点图（或点状图）表示，每个成绩上面的点的个数表示这个成绩出现的次数.在图（2）中作出乙的成绩的打点图，并由图写出关于甲、乙成绩比较的两个统计结论.
16．某校随机抽取100名高三学生进行问卷调查，得到学生周末每天学习时间（单位：h）的频率分布直方图如图所示.若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于的有30人.
（1）求频率分布直方图中实数a，b的值；
（2）每天学习时间在的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽取2人进行访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；
（3）依据所抽取的样本，从每天学习时间在和的学生中按比例分层随机抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行访谈，求抽取的3人中每天学习时间在的人数的分布列和数学期望.
17．一般地，n元有序实数对称为n维向量.对于两个n维向量，定义：两点间距离，利用n维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准点的距离，与哪个标准点的距离最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务能力分值 管理能力分值 计算机能力分值 沟通能力分值（分值，代表要求度，1分最低，5分最高）并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表：
岗位 业务能力分值 管理能力分值 计算机能力分值 沟通能力分值 合计分值
会计(1) 2 1 5 4 12
业务员(2) 5 2 3 5 15
后勤(3) 2 3 5 3 13
管理员(4) 4 5 4 4 17
对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量的四个坐标.
(1)将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；
(2)小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方均小于20的应聘者才能被招录.
(i)小刚测试报告上的四种能力分值为，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业1，2，3，4的分值要求看成样本点，解题思路小刚最适合哪个岗位；
(ii)小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业1，2，3，4的推荐率分别为，，，试求小明的各项能力分值
18．某课题组在某市高一学生中随机抽取100名学生，调查他们11月份整理数学错题的天数情况，并将样本数据分成，，，，，
六段，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中a的值；
(2)估计这100名学生整理数学错题的天数的平均数（同一组要自中的数据用该组区间中点值作代表）.
19．传唱红色歌曲能够弥补青少年面对社会多元化的彷徨,有助于在红歌中受到启迪,树立积极的生活态度和健康的价值观.某重点高中在纪念“一二·九”活动中,举办了“唱青春之序曲,展时代之芳华”红色经典歌曲合唱比赛,由专业教师和学生会共50人组成评委团,评委所打分数的平均分最高的节目参加区合唱比赛.评委对各节目的给分相互独立,互不影响.现有两个特等奖节目：《在太行山上》得分的频率分布直方图和《四渡赤水出奇兵》得分的频率分布表,如下所示：
分数区间
频数 1 4 10 22 11 2
频率 0.02 0.08 0.20 0.44 0.22 0.04
分数区间
印象值 8 9 10
(1)从两个节目各自的平均分来看,应该推选哪个节目参加区合唱比赛（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;
(2)根据印象值表对两个节目的所有评分进行赋值,从两个节目的“印象值”分数中各随机抽取一个分数,试估计《在太行山上》“印象值”比《四渡赤水出奇兵》“印象值”高的概率.
参考答案
1．答案：A
解析：将数据从小到大排列,为3,7,7,11,13,15,
因为,
所以这组数据的第40百分位数为第三个数据7.
故选：A.
2．答案：C
解析：设应在该年级抽取n个人，则，，故选C.
3．答案：C
解析：根据扇形统计图知,高三所占的扇形圆心角为,
在总交稿数中占比,
且高二年级共交稿360份,在总交稿数中占比,
所以总交稿数为份,
则高三年级的交稿数为份.
故选:.
4．答案：D
解析：可设M的非空子集为（，），
又把这样的子集分为两类：①一类满足，这样的子集；
②另一类满足，此时可把两个非空集合与配对，
易知这是两个不同的集合，且都是M的非空子集，它们的最大数与最小数之和是，
所以此时非空子集的的平均数为1001.
综上，M的所有非空子集的特征数的平均数为1001.
故选：D
5．答案：B
解析：对于A：众数可能不变，如，8，7，7，7，4，4，1故A错误；
对于B：方差体现数据的偏离程度，
因为数据不完全相同，
当去掉一个最高分、一个最低分，一定使得数据偏离程度变小，
即方差变小，故B正确；
对于C：7个数据从小到大排列，第4个数为中位数，
当首、末两端的数字去掉，中间的数字依然不变，
故5个有效评分与7个原始评分相比，不变的中位数，故C错误；
对于D：平均数可能变大、变小或不变，故D错误；
故选：B
6．答案：B
解析：将数据从小到大排序为：188，240，260，284，288，
290，300，360，，
所以分位数为.
故选：B
7．答案：B
解析：由这组数据共7个，
因为不是整数，
所以这组数据的25百分位数为第2个数据，即：50.
故选：B.
8．答案：C
解析：因为,所以,又,
所以,即,
因为,所以的值可能是13,14,15,
当时,,
因为,且,为整数,所以不可能;
当时,,因为,
且,为整数,所以不可能;
当时,,
因为,且,为整数,
所以当且仅当,时,,
所以所求极差为.
故选:C.
9．答案：BD
解析：由题可知，当乙车速度大于时，乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过5km，A错误；
甲车以的速度行驶时，燃油效率为，则行驶1h消耗8L汽油，B正确；
以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高耗油越少，故三辆车中甲车消耗汽油最少，C错误；
在机动车最高限速在相同条件下，丙车比乙车燃油效率更高，所以更节油，D正确；
故选：BD
10．答案：ABC
解析：对于A，由题意知该正态分布曲线关于直线对称，所以，所以，故选项A正确.对于B，将数据按从小到大的顺序排列为3，4，5，6，7，8，9，10，共8个数.因为，所以第70百分位数为第6个数，即8，故选项B正确.对于C，回归解题思路中残差平方和越小，相关指数越接近于1，拟合效果越好，故选项C正确.对于D，由独立性检验，可知犯错误的概率超过0.05，故选项D错误.
11．答案：BD
解析：因为，所以女生每周锻炼身体的平均时长的平均值等于7.36875，故A错误.因为，所以男生每周锻炼身体的平均时长的分位数是将样本数据按从小到大排序后的第13个数据，即9.2，故B正确.男生每周锻炼身体的平均时长大于的有4周，所以所求概率的估计值为，故C错误.男生每周锻炼身体的平均时长分布在区间内的有8个，女生有4个；男生每周锻炼身体的平均时长分布在区间内的有14个，女生有10个；男生每周锻炼身体的平均时长的极差为3.8，女生为4.3，据此可知，与男生相比，女生每周锻炼身体的平均时长的波动性比较大（也可通过计算方差，标准差判断），故D正确.
12．答案：510
解析：根据条件学校共有教职员工800人,抽取一个容量为50的样本,
,解得,
.
故答案为：510.
13．答案：58
解析：由题意知,男生的平均身高、权重和方差分别为,,;
女生的平均身高、权重和方差分别为,,;
则,
.
故答案为：58.
14．答案：4
解析：由题意可知，，，，，
故新样本的平均数为，
其方差为
.
故答案为：4.
15．答案：甲发挥更稳定
解析：乙的成绩的打点图如图所示，
由数据得甲组绝大多数数据集中在9以下，乙组数据绝大多数数据集中在9及以上，
所以：，可知乙的平均成绩比甲高，
由数据可得甲组数据相对集中在8附近，乙组数据集中在9，10两组，且甲组左右分布比乙组均匀一些，所以，可知甲发挥更稳定.
16．答案：（1），
（2）
（3）分布列见解析，数学期望为
解析：（1）由，得.
，
.
（2）从7名学生中抽取2人进行访谈的基本事件数为.
记抽取的学生有男生为事件A，则.
记抽取的学生有女生为事件B，则.
由题意得所求概率.
（3）从每天学习时间在和的学生中按比例分层随机抽样抽取8人，
抽取的8人中每天学习时间在的人数为，
抽取的8人中每天学习时间在的人数为.
设抽取的3人中每天学习时间在的人数为X，则X的取值可能为0，1，2，
，，，
的分布列为
X 0 1 2
P
.
17．答案：(1)16
(2)(i)小刚最适合业务员岗位
(ii)小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为2，4，3，5
解析：(1)将四个岗位合计分值从小到大排列得到数据12，13，15，17，
又，
所以这组数据的第三四分位数为.
(2)(i)由图表知，会计岗位的样本点为，
则，
业务员岗位的样本点为，
则，
后勤岗位的样本点为，
则，
管理员岗位的样本点为，
则，
所以，故小刚最适合业务员岗位.
(ii)四种职业1，2，3，4的推荐率分别为，，，
且，
所以，
得到，
又均小于20，
所以，
且，
故可得到，，
设小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、
沟通能力分值分别为a，b，c，d，
且，，
依题有①，
②，
③，
④，
由①-③得，
，
整理得：，
故有三组正整数解，
对于第一组解，代入④式有，不成立；
对于第二组解，代入①式有，
解得或，代入②④式均不成立；
对于第三组解，代入②式有，
解得，
代入①②③④均成立，
故；
故小明业务能力分值、管理能力分值、
计算机能力分值、沟通能力分值分别为2，4，3，5.
18．答案：(1)0.06
(2)17
解析：(1)由，
解得；
(2)这100名学生整理数学错题的天数的平均数的估计值为
.
19．答案：(1)应该推选《在太行山上》参加区合唱比赛;
(2)0.284.
解析：(1)由频率分布直方图可知,《在太行山上》的平均得分约为：
,
由频率分布表可知《四渡赤水出奇兵》的平均得分约为：
,
,故应该推选《在太行山上》参加区合唱比赛;
(2)设“对《在太行山上》“印象值”高于《四渡赤水出奇兵》“印象值”为事件M,
设表示事件“对《在太行山上》印象值为9”,
设表示事件“对《在太行山上》印象值为10”,
设表示事件“对《四渡赤水出奇兵》印象值为8”,
设表示事件“对《四渡赤水出奇兵》印象值为9”,
则,
,,
,,
事件与相互独立,其中,10,,
,
估计对《在太行山上》“印象值”高于《四渡赤水出奇兵》“印象值”的概率为0.284.
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