第六章 平面向量及其应用（A卷基础夯实）——2024-2025学年高一数学人教A版(2019)必修第二册（含解析）

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第六章 平面向量及其应用（A卷基础夯实）——2024-2025学年高一数学人教A版(2019)必修第二册单元测试AB卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．下列结论中正确的为( )
A.两个有共同起点的单位向量,其终点必相同
B.向量与向量的长度相等
C.对任意向量,是一个单位向量
D.零向量没有方向
2．如图,在平行四边形ABCD中,O为对角线的交点,则( )
A. B. C. D.
3．已知向量，，若，则( )
A.2 B.3 C.6 D.15
4．已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则外接圆的半径为( )
A. B. C.6 D.12
6．已知非零向量,满足,若,则在方向上的投影向量坐标为( )
A. B. C. D.
7．已知的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若,.则( )
A.2 B.3 C. D.
8．已知a，b不共线，，，其中，那么A，B，C三点共线的充要条件为( ).
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是( )
A.零向量是没有方向的向量 B.零向量的长度为0
C.相等向量的方向相同 D.同向的两个向量可以比较大小
10．如图,正方形中,M是的中点,若,则( )
A. B. C. D.
11．下列命题正确的是( )
A.零向量是唯一没有方向的向量
B.零向量的长度等于0
C.若,都为非零向量,则使 成立的条件是与反向共线
D.若,,则
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知向量与不共线,而且与共线,则x的值为________________.
13．已知,,则的面积为_________.
14．已知向量，.若，则___________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知的顶点为，，，其中k为常数，如果，求k的值.
16．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为，求.
17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，且的面积为，求的周长.
18．已知向量，，.
（1）求函数的单调递增区间和最小正周期；
（2）若当时，关于x的不等式有解，求实数m的取值范围.
19．已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若，求的值.
参考答案
1．答案：B
解析：对于A选项,两个单位向量的模相等,但这两个单位向量的方向不确定,故A错;
对于B选项,向量与向量的模相等,B对;
对于C选项,若,则无意义,C错;
对于D选项,零向量的方向任意,D错.
故选：B.
2．答案：A
解析：.
故选:A
3．答案：B
解析：由，可得，解得.
故选：B.
4．答案：B
解析：计算可得，由，两边平方化简，得，
将，代入，可得，
在上的投影向量为.
故选：B.
5．答案：A
解析：设外接圆的半径为R，
则，
即.
故选：A.
6．答案：B
解析：
7．答案：D
解析：
8．答案：D
解析：设，则，
解得．
9．答案：BC
解析：对于选项A,因为零向量的方向是任意的,所以选项A错误,
对于选项B,因为零向量是方向任意,长度为0的向量,所以选项B正确,
对于选项C,因为相等向量是方向相同,长度相等的向量,所以选项C正确,
对于选项D,向量不能比较大小,向量的模长可以比较大小,所以选项D错误,
故选：BC.
10．答案：AB
解析：以A为坐标原点建立平面直角坐标系,设正方形边长为1,
则,,,,则.
故,,,故,
解得,故,,,
故选：AB.
11．答案：BCD
解析：A.零向量是有方向的,其方向是任意的,故A错误;
B.由零向量的定义知,零向量的长度为0,故B正确;
C.因为,都是单位向量,所以只有当与是相反向量,即与反向共线时才成立,故C正确;
D.由向量相等的定义知D正确;
故选：BCD.
12．答案：
解析：因为与共线,又向量与不共线,
所以,解得,
故答案为：.
13．答案：5
解析：方法1:易知,,,的面积为.
方法2:当点O为坐标原点时,,,的面积为,故填5.
14．答案：
解析：易知.因为，，所以，整理得，所以.
15．答案：
解析：，，，
，.
16．答案：
解析：
.
.
17．答案：(1)；
(2)
解析：（1）由题意及正弦定理知，，
，
，.
（2），①
又，②
由①，②可得，
所以的周长为.
18．答案：（1）单调增区间为，；；
（2）.
解析：（1）因为
所以函数的最小正周期；
因为函数的单调增区间为，，
所以，，
解得，，
所以函数的单调增区间为，；
（2）不等式有解，即；
因为，所以，又，
故当，即时，取得最小值，且最小值为，
所以.
19．答案：4
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，
则易知，，，
若，则，
.
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