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第六章 平面向量及其应用（B卷能力提升）—2024-2025学年高一数学人教A版(2019)必修第二册单元测试AB卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知向量，满足，，，则( )
A. B. C. D.
2．已知向量,,若,则( )
A.或 B.
C.2 D.4
3．设P是所在平面内的一点，，则( ).
A. B. C. D.
4．如图，在中，D是延长线上一点，且，则( )
A. B.
C. D.
5．在中，D是BC的中点，直线l分别与AB，AD，AC交于点M，E，N，且，，，则( )
A. B. C. D.
6．设向量满足,则( )
A.1 B.2 C.3 D.5
7．已知平面向量，满足，，则的最大值为( )
A.8 B. C.10 D.
8．在平行四边形中,M,N分别在边,上,,,,相交于点P,则( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．对于,下列说法正确的有( )
A.若,,,则符合条件的有两个
B.若,则
C.若,则是钝角三角形
D.若,则为等腰三角形
10．数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且，则( )
A.外接圆的半径为
B.若的平分线与BC交于点D，则AD的长为
C.若D为BC的中点，则AD的长为
D.若O为的外心，则
11．等边边长为2,,,与交于点F,则( )
A. B.
C. D.在方向上的投影向量为
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,若点M是的中点,,则_____________.
13．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，，且，则___________.
14．平面直角坐标系内点,,,若O、A、B三点共线,则线段AB上靠近点A的三等分点的坐标为__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．记内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,.
(1)求的值;
(2)若的面积为,求的周长.
16．设，是椭圆的左 右焦点，点P，Q为椭圆C上的两点，且满足，，则椭圆C的离心率为___________.
17．在中，.
(1)求；
(2)若，边上中线的长为2，求的面积.
18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）求C；
（2）若，求面积的最大值.
19．已知锐角的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.
(1)求A的值.
(2)若，求周长的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：由模长公式
，
由夹角公式.
故选：A.
2．答案：D
解析：,故,解得.
故选：D
3．答案：B
解析：由，得，所以．
4．答案：B
解析：
故选：B.
5．答案：B
解析：由，D为BC中点得.因为M，E，N共线，所以，解得.
6．答案：A
解析：,
,
将上面两式左右两边分别相减,
得,∴.
7．答案：C
解析：因为，
则，则，
所以，所以，
，
故选：C.
8．答案：A
解析：由题意可得：,,
,
设,
则,
又B,P,N三点共线,所以,
解得,
所以,
故选：A.
9．答案：BC
解析：对于选项A：由余弦定理可得：
,
即,只有一解,故A错误;
对于选项B：若,则,由正弦定理可得成立.故B正确;
对于选项C：若,由正弦定理得,
由余弦定理,且
所以C为钝角,即是钝角三角形,故C正确;
对于选项D：因为在三角形中,A,B,,
故若,则或,可得或,
所以为等腰三角形或直角三角形,故D不正确,
故选：BC.
10．答案：BD
解析：由及正弦定理可得，不妨设，，，利用余弦定理可得，由，可得，所以.又，解得，所以，，.
对于A，设外接圆的半径为R，由正弦定理可得，所以，故A错误；
对于B，解法一：由得，，即，故B正确；
解法二：分别作BE，CF垂直于AD，垂足分别为E，F，如图①所示，
，故B正确；
解法三：由内角平分线定理知，，所以，则，所以，故B正确；
解法四：由内角平分线定理知，，所以，，因为，所以，即，所以，所以，故B正确；
对于C，解法一：若D为BC的中点，易知，如图②所示，所以，可得，故C错误；
解法二：因为，，所以，即，所以，所以，故C错误；
解法三：由余弦定理知，，在中，，所以，故C错误；
对于D，解法一：延长AO交外接圆于点，连接，，如图③所示，
易知即为直径，所以可知，，利用投影向量的几何意义可得，故D正确.
解法二：取AB的中点H，连接OH，OA，如图④所示，
则，所以，同理，，所以，故D正确.故选BD.
11．答案：BD
解析：对于A,由平面向量线性运算可得,,A错误;
对于B,以E为坐标原点,、分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示,
则,,,,,
设,,所以,,
因为,所以,解得,所以,B正确;
对于C,由B可知,,,
所以,C错误;
对于D,,所以,
所以在方向上的投影向量为,D正确;
故选:BD.
12．答案：3
解析：在中,因,,由余弦定理可得：
,
在中,由余弦定理可得：
,
因为,即,
可得,解得.
故答案为：3.
13．答案：2
解析：因为，所以，所以，又，即，所以.易知，则，由正弦定理可得，所以，解得.
14．答案：
解析:,,
,.
∵O、A、B三点共线,
,解得或（舍去）.
,,.
设线段AB上靠近点A的三等分点为C,
则,.
故答案为:.
15．答案：(1)
(2)5
解析：(1)根据题意由余弦定理可得,
又可得,即可得,
所以,可得,
由正弦定理可得;
(2)易知,
解得,即;
由(1)中可得,
所以的周长为.
16．答案：
解析：延长交椭圆于点M，连接，
因为，故，
由对称性可知，，
因为，所以，
设，则，
，
故，
在中，，
即，
即，解得，
故，
由余弦定理得，
即，
解得.
故答案为：
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，由正弦定理得
所以，
即，
又因为，
所以，
所以，所以.
(2)
设中点为D，，，
则，
即，
即，
所以，
所以.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，
所以由正弦定理可得，则，
又，
所以.
（2）因为，，，
所以，
故，即，当且仅当时等号成立，
所以面积的最大值为.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，
所以，
即，
由余弦定理，
所以，又，所以；
(2)由正弦定理得，
∴，.
∴
在锐角中，，，
又∵，∴，∴，
综上可得，
∴，
∴
∴周长的取值范围为.
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第六章平面向量及其应用(B卷能力提升)一2024-2025学年高一数学人教
A版(2019)必修第二册单元测试AB卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，
再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选
项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上，
1.已知胸量a,6清足问=1,5=2，a6=-子则c0s(位a+)=()
A.-2
B.V
c
D.2
4
2
4
2
2.已知向量m=(x,1),n=(-2,4+x),若m1n,则x=(）
A.-2+√5或-2-V5
B.4
C.2
D.4
3.设P是△ABC所在平面内的一点，BC+BA=2BP,则().
A.PA+PB=0
B.PC+PA=0
C.PB+PC=0
D.PA+PB+PC=0
4.如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，且BD=3BC,则AD=()
D
A.4AC-3AB
B.3AC-2AB
c等4c-
D4c-号
5.在△ABC中，D是BC的中点，直线1分别与AB,AD,AC交于点M,E,N,且AB=4AM,
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AE=2ED,AC=元AN,则=()
9、>
6.设向量a,6满足a+=0,a-=6,则a.方=()
A.1
B.2
C.3
D.5
7.已知平面向量a，万满足d=1,a-=1,则(a+2b)石的最大值为()
A.8
B.4V2
C.10
D.43
8.在平行四边形ABCD中，M,N分别在边CD,AD上，DM=MC,A=2ND,AM,BN相交于点
P,则P=()
A.14B+14D
B.4B+14D
4
4
c+号
D+兮0
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选
项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0
分
9.对于△ABC,下列说法正确的有()
A.若a=8,c=10,B=60°，则符合条件的△ABC有两个
B.若A>B,则sinA>sinB
C.若sin2A+sin2BD.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形
10.数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并
大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方
得积.”若把以上这段文字写成公式，即S
现有△ABC满足
3v
sin A:sin B:sinC=7:1:3,Sc=
4则()
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