第七章 复数（B卷能力提升）—2024-2025学年高一数学人教A版(2019)必修第二册（含解析）

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第七章 复数（B卷能力提升）—2024-2025学年高一数学人教A版(2019)必修第二册单元测试AB卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．i为虚数单位,为z的共轭复数,若,则( )
A. B.i C. D.
2．若,则( )
A. B. C. D.
3．i是虚数单位，若复数z满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．复数在复平面内所对应的点所在的象限为( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5．在复平面内，复数z对应的点为，则( )
A.i B. C.2i D.
6．已知，其中i为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
7．已知，则的虚部为( )
A.2i B. C. D.2
8．已知，且复数的实部与虚部互为相反数，则( )
A.50 B. C.32 D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．复数，其共轭复数为，则下列叙述正确的是( )
A.z对应的点在复平面的第四象限 B.是一个纯虚数
C. D.
10．设,则( )
A. B. C. D.
11．已知复数，，则( )
A. B.
C. D.若，则
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知i为虚数单位,复数,则复数z的虚部为_____________.
13．已知复数z满足,则_______.
14．已知i是虚数单位，化简的结果为__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知，求z.
16．（例题）把下列复数的代数形式改写成三角形式.
（1）；
（2）2i；
（3）.
17．（例题）求的值.
18．（例题）如图所示，已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数证明.
19．求证：
（1）；
（2）.
参考答案
1．答案：A
解析：,则.
故选：A.
2．答案：B
解析：因为,则,可得.
所以.
故选：B.
3．答案：A
解析：在复平面内，若复数z满足，
则复数z对应的点Z的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，
几何意义是点Z到原点的距离，
，
所以的取值范围是.
故选：A.
4．答案：A
解析：由，
可得复数z在复平面内所对应的点为，
所在的象限为第一象限.
故选：A.
5．答案：B
解析：因为复数z对应点的坐标为，所以，
所以.
故选：B.
6．答案：B
解析：由题意知，，
所以，
所以.
故选：B
7．答案：D
解析：由，
则，的虚部为2.
故选：D.
8．答案：B
解析：由题意得：，
复数z的实部为，虚部为，
由于实部与虚部互为相反数，
则，得，
所以，
得：.
故选：B.
9．答案：BCD
解析：由题意得：，
对于A项：，对应的点在复平面的第一象限，故A项错误；
对于B项：为纯虚数，故B项正确；
对于C项：，故C项正确；
对于D项：，故D项正确；故选：BCD.
10．答案：AB
解析：由可得,
所以,即A正确;
可得,即B正确;
,,显然错误,即C错误;
,而,所以D错误.
故选:AB
11．答案：ACD
解析：由题意，得，A正确；
因为，，所以，B错误；
因为，，
所以，C正确；
由题意，得，
因为，，
所以，D正确.
故选：ACD
12．答案：
解析：,
所以复数z的虚部为.
故答案为：.
13．答案：5
解析：因为,
所以,
所以
所以,则,
故答案为:5.
14．答案：
解析：由题意可得.
故答案为：.
15．答案：或
解析：设，
则，
，
解得或，
或.
16．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）由题意可知
.
（2）因为2i在复平面内所对应的点在y轴正半轴上，
所以易知，，
从而可知.
（3）因为在复平面内所对应的点在x轴负半轴上，
所以易知，，
从而可知.
17．答案：
解析：因为，
，
.
所以原式
.
18．答案：证明见解析
解析：证明：假设每个正方形的边长为1，建立如题图所示平面直角坐标系，确定复平面.
由平行线的内错角相等可知，，，分别等于复数，，的辐角主值，
因此应该是的一个辐角.
又因为，
而，所以存在整数k，使得.
注意到，，都是锐角，于是，从而.
19．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）证明：设，，
则，
，，，
，
.
（2）证明：设，，
则，
，，，
，
.
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