第十章 概率（A卷基础夯实）——2024-2025学年高一数学人教A版(2019)必修第二册（含解析）

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第十章 概率（A卷基础夯实）——2024-2025学年高一数学人教A版(2019)必修第二册单元测试AB卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．一个骰子投掷两次，两次点数之和等于8的概率为( )
A. B. C. D.
2．从标有1,2,3,4,5的五张卡片中无放回随机抽取两张,则抽到的两张卡片数字之和是6的概率为( )
A. B. C. D.
3．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮,有人送来石（古代容量单位）,验得米内夹谷（假设一粒米与一粒谷的体积相等）,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( )
A.213石 B.152石 C.169石 D.196石
4．甲、乙两人独立地破解同一个谜题,破解出谜题的概率分别为,,则谜题没被破解出的概率为( )
A. B. C. D.
5．从2,4,8中任取两个不同的数,分别记作a,b,则使为整数的概率是( )
A. B. C. D.
6．某校甲、乙、丙、丁4个小组到A，B，C这3个劳动实践基地参加实践活动，每个小组选择一个基地，则每个基地至少有1个小组的概率为( )
A． B． C． D．
7．将2个a和3个b随机排成一行,则2个a不相邻的概率为( )
A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7
8．某学校乒乓球比赛，学生甲和学生乙比赛3局（采取三局两胜制），假设每局比赛甲获胜的概率是0.7，乙获胜的概率是0.3，利用计算机模拟试验，计算机产生之间的随机数，当出现随机数时，表示一局甲获胜，其概率是0.7.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，例如，产生20组随机数；
603 099 316 696 851 916 062 107 493 977
329 906 355 860 375 107 347 467 822 166
根据随机数估计甲获胜的概率为( )
A.0.9 B.0.95 C.0.8 D.0.85
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．设A,B是两个随机事件,则下列说法正确的是( )
A.表示两个事件至少有一个发生
B.表示两个事件至少有一个发生
C.表示两个事件均不发生
D.表示两个事件均不发生
10．袋子中有4个大小质地完全相同的球,其中2个红球、2个黄球,从中不放回依次摸出2个球,记“恰有一次摸到红球”,“两次都摸到红球”,“两次都摸到黄球”,“至少有一次摸到红球”,“至多一次摸到红球”.则下列说法正确的是( )
A.事件A与事件B是互斥事件 B.事件B与事件C是对立事件
C.事件C与事件D是对立事件 D.事件D与事件E是互斥事件
11．下列命题中正确的是( )
A.若样本数据,,,的样本方差为3,则数据,,,的方差为7
B.经验回归方程为时,变量x和y负相关
C.对于随机事件A与B,,,若,则事件A与B相互独立
D.若,则取最大值时
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知下雨的概率为0.8,则不下雨的概率为____________.
13．某班从含有3名男生和2名女生的5名候选人中选出两名同学分别担任正,副班长,则至少选到1名女生的概率________.
14．为充分挖掘“汉风古韵”文化内涵,汉中市创新策划了“汉风年,老家过”2024年迎新春系列文化活动,活动围绕“潮、赏、购、趣、游”5个主题开展.某公司计划从5个主题中选取2个主题制作吉祥物,则主题“游”当选的概率为____________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．甲 乙两人独立破译一个密码,他们译出的概率分别为和求：
(1)两人都译出的概率;
(2)两人中至少一人译出的概率;
(3)至多有一人译出的概率.
16．北京2024年冬奥会，向世界传递了挑战自我 积极向上的体育精神，引导了健康 文明 快乐的生活方式.为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动，参加活动的学生需要从3个趣味项目（跳绳 踢毽子 篮球投篮）和2个弹跳项目（跳高 跳远）中随机抽取2个项目进行比赛.
（1）若从这5个项目中随机抽取2个，求抽取的2个项目都是趣味项目的概率；
（2）若从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个，求这2个项目包括跳绳但不包括跳高的概率.
17．某环保小组共有5名成员,其中男成员有2人,现从这5人中随机选出3人去某社区进行环保宣传.
(1)求所选的3人中恰有1名男成员的概率;
(2)求所选的3人中至少有2名女成员的概率.
18．从1，2，3，…，30中任意选一个数，分别求下列事件的概率：
（1）取出的数是偶数；
（2）取出的数能被3整除；
（3）取出的数是偶数且能被3整除；
（4）取出的数是偶数或能被3整除.
19．为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次.答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分；从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.
（1）求甲前3次答题得分之和为40分的概率.
（2）记甲第i次答题所得分数的数学期望为.
①写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）；
②若，求i的最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：根据题意，两次点数之和等于8的情况有
，，，，，共5种，
一个骰子投掷两次的所有情况为（种）
所以所求概率为.
故选：B.
2．答案：A
解析：
3．答案：C
解析：根据题意,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则样本中夹谷的频率为,
则这批米内夹谷约为（石,
故选：C.
4．答案：C
解析：设“甲独立地破解出谜题”为事件A,“乙独立地破解出谜题”为事件B,
,,
故,,
所以,
即谜题没被破解的概率为.
故选：C.
5．答案：B
解析:由条件可知,得到不同的对数为,,,
,,,共6个对数,其中为整数的有2个,
所以概率.
故选:B
6．答案：C
解析：每个小组选择一个基地，所有的选择情况有种，
每个基地至少有1个小组的情况有，
故概率为，
故选：C
7．答案：C
解析：2个a和3个b随机排成一行的样本空间为:
,共10个样本点,
其中2个a不相邻的样本点有,共6个,
所以所求概率为:.
故选:C
8．答案：A
解析：设事件A为“甲获胜”，20组随机数，
其中事件A发生了18次，
.
故选：A.
9．答案：ACD
解析：因为A,B是两个随机事件,
所以表示两个事件至少有一个发生,故A正确;
表示两个事件恰有一个发生,故B错误;
表示两个事件均不发生,故C正确;
表示两个事件均不发生,故D正确.
故选：ACD.
10．答案：AC
解析：对于A,由于事件A与事件B不可能同时发生,故二者是互斥事件,A正确;
对于B,,但,故二者为互斥事件,不是对立事件,B错误;,
对于C,至少有一次摸到红球包括有一次摸到红球一次摸到黄球和两次都摸到红球,
其对立事件为没有一次摸到红球,即两次都摸到黄球,故事件C与事件D是对立事件,C正确;
对于D,{有一次摸到红球,另一次摸到黄球},故二者不互斥,D错误,
故选:AC
11．答案：BC
解析：对于A,数据,,…,的方差为,所以A错误;
对于B,回归方程的直线斜率为负数,所以变量x与y呈负的线性相关关系,所以B正确;
对于C,由,得,所以事件A与事件B独立,所以C正确;
对于D,由,即,
解得或,所以D错误.
故选：BC.
12．答案：
解析：由题意可知不下雨的概率为.
故答案为：.
13．答案：
解析：
14．答案：/0.4
解析：由题设,任选2个主题有{潮赏,潮购,潮趣,潮游,赏购,赏趣,赏游,购趣,购游,趣游},共10种,
其中主题“游”当选有{潮游,赏游, 购游,趣游},共4种,
所以主题“游”当选的概率为.
故答案为：.
15．答案：(1);
(2);
(3).
解析：(1)甲 乙两人独立破译一个密码,他们译出的概率分别为和.
两人都译出的概率为：.
(2)两人中至少一人译出的概率为：
.
(3)至多有一人译出的概率：.
16．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）设3个趣味项目分别为（跳绳），（踢毽子），（篮球投篮），2个竞技项目分别为（跳高），（跳远）.
从5个项目中随机抽取2个，其可能的结果组成的基本事件有，，，，，，，，，，共10个，其中，抽取到的这2个项目都是趣味项目的基本事件有，，，共3个，故所求事件的概率；
（2）从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个，其可能的结果组成的基本事件有，，，，，，共6个，其中，抽取到的这2个项目包括A1（跳绳）但不包括B1（跳高）的基本事件有，共1个，故所求事件的概率.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意可知该环保小组女成员有3人,记为a,b,c;男成员有2人,记为d,e.
从5名成员随机选出3人的情况有,,,,,,,,,共10种.
所选的3人中恰有1名男成员的情况有,,,,,共6种,
则所选的3人中恰有1名男成员的概率.
(2)所选的3人中至少有2名女成员的情况有,,,,,,共7种,
则所选的3人中至少有2名女成员的概率.
18．答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1）从1，2，3，…，30中任意选一个数，有30种选法，
取出的数是偶数，有15种选法，
所以取出的数是偶数的概率是；
（2）从1，2，3，…，30中任意选一个数，有30种选法，
取出的数能被3整除，有10种选法，
所以取出的数能被3整除的概率是；
（3）从1，2，3，…，30中任意选一个数，有30种选法，
取出的数是偶数且能被3整除，有6，12，18，24，30，共5种选法，
所以取出的数是偶数且能被3整除的概率是；
（4）从1，2，3，…，30中任意选一个数，有30种选法，
取出的数是偶数或能被3整除的数为2，3，4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，26，27，28，30有20种选法，
所以取出的数是偶数或能被3整除的概率是.
19．答案：（1）
（2）①
②5
解析：（1）根据题意，设甲前3次答题答对的次数为Y，则.
事件“甲前3次答题得分之和为40分”等价于事件“甲前3次答题答对1次，答错2次”，
则.
所以甲前3次答题得分之和为40分的概率为.
（2）①依题意，与满足的等量关系为
.
②随机变量的所有可能取值为10，20，
，，
所以，
，
，
，
.
由①得，且，，
所以当时，i的最小值为5.
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