第十章 概率（B卷能力提升）——2024-2025学年高一数学人教A版(2019)必修第二册（含解析）

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第十章 概率（B卷能力提升）——2024-2025学年高一数学人教A版(2019)必修第二册单元测试AB卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．下列说法正确的是( )
A.事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大
B.A、B同时发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率小
C.若则事件A与B是互斥且对立事件
D.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
2．如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为( )
A. B. C. D.
3．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为( )
A. B. C. D.
4．某地计划从A，B，C三种经济作物中选取两种进行种植推广.通过调研得到当地村民愿意种植A，B，C的概率分别为，，.若从当地村民中随机选取4人进行交流，则其中至少有2人愿意种植A，且至少有1人愿意种植B的概率为( )
A. B. C. D.
5．“韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生,从中任选2名同学参加数学公式推导比赛,下列各对事件中互斥而不对立的是( )
A.至少有1名男生与全是男生;
B.至少有1名男生与全是女生;
C.恰有1名男生与恰有2名男生;
D.至少有1名男生与至少有1名女生.
6．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字170.若在个，十，百，千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为( )
A. B. C. D.
7．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动4次，则质点位于原点左侧的概率为( )
A. B. C. D.
8．从0，1，2，3，4五个数字组成的没有重复数字的四位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取两个球，则下列选项中的两个事件为不是互斥事件的是( )
A.至多有1个白球；都是红球 B.至少有1个白球；至少有1个红球
C.恰好有1个白球；都是红球 D.至多有1个白球；全是白球
10．2024年旅游市场强劲复苏,7,8月的暑期是旅游高峰期．甲、乙、丙、丁四名旅游爱好者计划2024年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一个去旅游,每个城市至少有一人选择．事件M为“甲选择北京”,事件N为“乙选择上海”,则下列结论正确的是( )
A.事件M与N互斥 B.
C. D.
11．下列说法正确的是( )
A.若随机变量,则
B.若经验回归方程中的,则变量x与y正相关
C.若随机变量,且,则
D.若事件A与B为互斥事件,则A的对立事件与B的对立事件一定互斥
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．如图所示的电路中，每个元件接通的概率均为，则电路接通的概率为________.
13．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时抛掷自己的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着，那么没有相邻的两个人站起来的概率为___________.
14．在如图的的方格表中随机选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则事件“选中方格中的4个数之和为109”的概率为__________.
11 13 13 15
20 22 23 24
31 32 33 35
41 42 42 44
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如果随机试验的样本空间是，且A是一个必然事件，B是一个不可能事件.
（1）写出A与的关系；
（2）写出B与的关系.
16．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”.
(1)写出该试验的基本事件，并求事件A发生的概率；
(2)求事件B发生的概率；
(3)事件A与事件C至少有一个发生的概率.
17．某校举行了交通安全知识竞赛,初赛时,每位参赛选手回答2道题,若2道题全部答对,直接进入决赛;若2道题都答错,直接淘汰;若恰好答对1道题,则进入复赛.复赛时,每位参赛选手回答2道题（与初赛时的题目不同）,若2道题都答对,则进入决赛,否则淘汰.该校学生甲参加了这次交通安全知识竞赛,已知甲初赛时答对每道题的概率均为,复赛时答对每道题的概率均为,且各题答对与否互不影响.
（1）求甲进入决赛的概率;
（2）求甲至少答对2道题的概率.
18．我国老龄化时代已经到来，老龄人口比例越来越大，出现很多社会问题.2015年10月，中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议公报指出：坚持计划生育基本国策，积极开展应对人口老龄化行动，实施全面二孩政策.随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表.
非一线 一线 总计
愿生 40 y 60
不愿生 x 22 40
总计 58 42 100
（1）求x和y的值.
（2）解题思路调查数据，是否有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”？
（3）在以上二孩生育意愿中按分层抽样的方法，抽取6名育龄妇女，再选取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市的概率.
参考公式：，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
19．假定某同学每次投篮命中的概率为.
(1)若该同学投篮4次,求恰好投中2次的概率;
(2)该同学现有4次投篮机会,若连续投中2次,即停止投篮,否则投篮4次,求投篮次数X的概率分布及数学期望.
参考答案
1．答案：D
解析：A:若A为必然事件,B为不可能事件,
则事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大就是错误的；
B:从1、2、3、4中任取一个数，
用A表示取到的数是1、2、3中的一个，
用B表示取到的数是2、3、4中的一个，
则A,B同时发生的概率为，
A、B中恰有一个发生的概率为，二者相等，故B错误；
C:设在区间上，任取一个数，设事件A表示取到的实数在，
则根据几何概型的概率公式可得，
设B表示取到的实数在上，则,
则满足条件，
但事件A与B只是互斥且不对立，故C错误；
D:互斥事件可能都不发生，
因此不一定是对立事件，对立事件一定会有其中一个发生，
且不会同时发生，一定是互斥事件,故D正确，
故选：D
2．答案：B
解析：若灯亮，则需、闭合，闭合与否都可，
故灯亮的概率为.
故选：B.
3．答案：D
解析：设2名男同学为,,3名女同学为,,
从以上5名同学中任选2人总共有,,,,,,,,,共10种可能,
选中的2人都是女同学的情况共有,,共三种可能
则选中的2人都是女同学的概率为,
故选：D.
4．答案：D
解析：4人中，至少有2人愿意种植A，且至少有1人愿意种植B的可能性共有3种：①有2人愿意种植A，愿意种植B，C的各有1人；②有2人愿意种植A，有2人愿意种植B；③有3人愿意种植A，有1人愿意种植B.故所求概率.
5．答案：C
解析：对于A项,事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况,故A项错误;
对于B项,事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况,与事件全是女生是互斥对立事件,故B项错误;
对于C项,事件恰有1名男生指恰有1名男生和1名女生,与事件恰有2名男生是互斥事件,但不是对立事件,故C项正确;
对于D项,事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况,事件至少有1名女生包括恰有1名女生和全是女生两种情况,两个事件有交事件恰有1名男生和1名女生,故D项错误.
故选:C.
6．答案：C
解析：在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，可以看作有4个位置，选择其中1个位置放5，再从4个位置中选择2个位置放1，共有（种）放法.若所拨数字大于200，则可分为两类：第一类，若5在百位或千位，则两个1可以任意选择2个位置，有（种）放法；第二类，若5在个位或十位，则一个1在千位，一个1在个位或十位或百位，有（种）放法.故所求概率为.
7．答案：A
解析：由题意可得：质点移动4次可能的结果有种，
质点位于原点左侧可能结果为：
向左移动4次；向左移动3次，向右移动1次；
向左移动4次，共有1种移动情况，
为：左左左左；向左移动3次，
向右移动1次，共有4种移动情况，
为：左左左右，左左右左，左右左左，右左左左；
所以质点位于原点左侧共5种移动情况，
由古典概率公式可得：质点位于原点左侧的概率为，
故选：A.
8．答案：C
解析：若选择的4个数中有0，则没有重复数字的四位数有个；
若选择的4个数中无0，则没有重复数字的四位数有个；
所以没有重复数字的四位数共有个.
若个位数为0，则没有重复数字的偶数有个；
若个位数不为0，则没有重复数字的偶数有个；
所以没有重复数字的四位数共有个.
综上所述：该数为偶数的概率为.
故选：C.
9．答案：AB
解析：对于A:“至多有1个白球”包含都是红球和一红一白，
'都是红球”包含都是红球，所以“至多有1个白球”与“都是
红球”不是互斥事件.故A正确;
对于B:“至少有1个白球”包含都是白球和一红一白，“至
少有1个红球”包含都是红球和一红一白，
所以“至少有1个白球”与“至少有1个红球”不是互斥事件.故
B正确;
对于C:“恰好有1个白球”包含一红一白，“都是红球”包含
都是红球，
所以“恰好有1个白球”与“都是红球”是互斥事件.故C错误:
对于D:“至多有1个白球”包含都是红球和一红一白，“全
是白球”包含都是白球，
所以“至多有1个白球”与“全是白球”是互斥事件,故D错误
故选:AB.
10．答案：BC
解析：对于A,甲选择北京与乙选择上海可能会同时发生,即事件M与N会同时发生,不互斥,A错误;
对于B,由题意知共有事件个数,事件M与N的个数均为个,
故,,
则,,即,B正确,
对于C,,C正确;
对于D,,D错误,
故选：BC.
11．答案：BC
解析：,A错误;若经验回归方程中斜率,
则变量x与y正相关,B正确;易得正态曲线关于直线对称,故,
又,所以,C正确;掷一枚骰子,
设事件A：出现的点数为1,事件B：出现的点数为2,则A与B互斥,但与不互斥,D错误.
故选：BC.
12．答案：
解析：电路接通的概率为：.
故答案为：.
13．答案：
解析：每个硬币只有正，反两种情况，
所以4枚相同的硬币构成种情况，
若没有人站起来，即每个硬币都是正面朝下，只有1种情况，
若只有1人站起来，即4枚硬币有1枚正面朝上，
其余3枚正面朝下，有4种情况，
若只有2人站起来，即相对2人的硬币相同，
与相邻的人的硬币相反，即有2种情况，
所以满足条件的情况有7种，
那么没有相邻的两个人站起来的概率.
故答案为：
14．答案：
解析：在如图的的方格表中随机选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则所有的可能为：,,,,,,
,,,,,,
,,,,,,
,,,,
,,共24种可能;
其中满足“选中方格中的4个数之和为109”的可能为：,,,共3种可能;
故所求为.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）根据必然事件的定义可知，；
（2）根据不可能事件的定义可知，.
16．答案：(1)，
(2)
(3)
解析：(1)所有可能的基本事件为：
，，，，，
，，，，，
，，，，，
，，，，，
，，，，，
，，，，，
共36种.
其中“两数之和为8”的有，，
，，共5种，故.
(2)由(1)得“两数之和是3的倍数”的有，，，，
，，，，，
，，共12种，故概率为.
(3)由(1)“两个数均为偶数”的有9种，
“两数之和为8”的有，，，，共5种，
重复的有，，三种，
故事件A与事件C至少有一个发生的有种，
概率为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）甲初赛答对2题进入决赛的概率为,
甲初赛答对1题进入决赛的概率为,
所以甲进入决赛的概率;
（2）甲初赛答对2题的概率,
甲初赛答对1题,复赛答对2题的概率为,
甲初赛答对1题,复赛答对1题的概率为,
所以甲至少答对2道题的概率.
18．答案：（1）,
（2）有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
（3）
解析：（1）由题意得，.
（2）由，得，
有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”.
（3）抽取6名育龄妇女，来自一线城市的人数为，记为1，2，
来自非一线城市的人数为，记为a，b，c，d，
选设事件A为“取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市”，
基本事件为：，,,,,,,,,,,，,,,
事件,,,,,,,,共有9个，
或.
19．答案：(1)
(2)概率分布见解析,
解析：(1)令投中i次的概率为,
则;
(2)X的可能取值为2、3、4,
,
,
,
故X的概率分布为：
X
P
其数学期望.
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