6.1 基本立体图形 ——高一数学北师大版必修二课时作业（含解析）

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6.1 基本立体图形 ——高一数学北师大版必修二课时作业
一、选择题
1．球O与棱长为2的正方体的各个面都相切,点M为棱的中点,则平面ACM截球O所得截面的面积为( )
A. B. C. D.
2．如图,在三棱锥中,,,过点作截面,则周长的最小值为( )
A. B. C. D.
3．如图，在长方体中，，，点E为上的动点，则的最小值为( )
A.5 B. C. D.
4．甲烷是最简单的有机化合物,其分子式为,它是由四个氢原子和一个碳原子构成,甲烷在自然界分布很广,是天然气、沼气、煤矿坑道气及可燃冰的主要成分之一.甲烷分子是正四面体空间构型,如图,四个氢原子分别位于正四面体的顶点处,碳原子位于正四面体的中心处.若正四面体的棱长为1,则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为( )
A. B. C. D.1
5．在正四棱柱中,,,M,N分别是,的中点,则平面截该四棱柱所得截面的周长为( )
A. B. C. D.
6．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,始与岸齐,问水深、葭长各几何？”意思是说：“有一个边长为1丈的正方形水池,在池的正中央长着一根芦苇,芦苇露出水面1尺.若将芦苇拉到池边中点处,芦苇的顶端恰好到达水面.问水有多深？芦苇多长？”该题所求的水深为( )
A.12尺 B.10尺 C.9尺 D.14尺
7．如图所示,在三棱台中,沿平面截去三棱锥,则剩余的部分是( )
A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.组合体
8．十三棱锥的顶点的个数为( )
A.13 B.14 C.20 D.26
二、多项选择题
9．平行六面体中，各个表面的直角个数之和可能为( )
A.0 B.4 C.8 D.16
10．两平行平面截半径为5的球,若截面面积分别为和,则这两个平面间的距离是( )
A.1 B.3 C.4 D.7
11．已知棱长为1的正方体,点P是面对角线上的任一点,则的值可能是( )
A. B.2 C. D.
三、填空题
12．在正方体上任意选择4个顶点，然后将它们两两相连，则可能组成的几何图形为___________（写出所有正确结论的编号）.
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.
13．已知一个球的半径为2,若用一个与球心距离为1的平面截球体,则所得的截面面积为____________.
14．已知球O的两个平行截面的面积分别为和，球的半径为10，则这两个平行截面之间的距离为_________.
四、解答题
15．判断下列命题的真假.
（1）四棱柱一定是平行六面体；
（2）六个面都是矩形的六面体一定是长方体；
（3）直平行六面体一定是长方体；
（4）底面是矩形的四棱柱一定是长方体.
16．将下列命题改写成自然语言叙述，并判断它们的真假.
（1）如果，，，那么；
（2）如果，，那么线段.
17．写出四面体中任何两个面所在平面的位置关系.
18．设计3个不同的平面图形，使它们都能围成同一个正方体.
19．已知一个长方体的长、宽、高分别为12，4，3，求它的体对角线的长.
参考答案
1．答案：D
解析：
2．答案：C
解析：如图.沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内,如下图所示:
则即为的周长的最小值,又因为,
所以,在中,,由勾股定理得:
.
故选:C.
3．答案：D
解析：将绕翻折到与共面，平面图形如下所示：
连接，则的长度即为的最小值，
因为，，所以，
所以，所以，即的最小值为.
故选：D
4．答案：A
解析：分别取,的中点E,F,
不难发现平面即平面,平面即平面,
平面和平面位于正四面体内部的交线为线段,
正四面体的棱长为1,不难计算得出.
故选A.
5．答案：A
解析：直线分别与,相交于点T,E,连接,,分别与,交于点F,Q,
连接FM,QN,故五边形即为平面截该四棱柱所得截面,
其中M,N分别是,的中点,故,
,故,由勾股定理得,
,
同理可得,
又,故,
故平面截该四棱柱所得截面的周长为.
故选：A.
6．答案：A
解析：设水深为尺,依题意得,解得.
因此,水深为12尺.
故选：A.
7．答案：B
解析：三棱台中,沿平面截去三棱锥,
剩余的部分是以为顶点,四边形为底面的四棱锥．
故选：B.
8．答案：B
解析：十三棱锥的顶点的个数为.
9．答案：ACD
解析：平行六面体的六个面都是平行四边形，且相对的平行四边形全等，
所以六个平行四边形中的矩形个数可能为0，2，4，6，
所以各个表面的直角个数之和可能为0，8，16，24.
故选：ACD.
10．答案：AD
解析：如图（1）所示,若两个平行平面在球心同侧,
则;
如图（2）所示,若两个平行截面在球心两侧,
则.
故选：AD.
11．答案：BCD
解析：如图2,当点P在顶点B处时,,故B选项正确;当点P在线段的中点时,,故C选项正确：当点P为与AC的交点时,,故D选项正确:由题意可知为的最小值,故A选项不正确,故选BCD.
12．答案：①③④⑤
解析：①正确，如四边形为矩形；②错误，任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形，如四边形ABCD为正方形，四边形为矩形；③正确，如四面体；④正确，如四面体；⑤正确，如四面体.故填①③④⑤.
13．答案：
解析：由球的性质可得截面为圆面,则截面圆的半径为,
故面积为,
故答案为：.
14．答案：1或17
解析：设两个截面圆的半径别为,球心到截面的距离分别为,球的半径为R.
由,得,
由,得,
如图①所示，当球的球心在两个平行平面的外侧时，
这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差.
即
如图②所示,当球的球心在两个平行平面的之间时,这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和.即
故答案为:1或17.
15．答案：（1）假命题
（2）真命题
（3）假命题
（4）假命题
解析：（1）四棱柱一定是平行六面体，当四棱柱底面是梯形时不是平行六面体，假命题；
（2）六个面都是矩形的六面体一定是长方体，根据长方体的结构特征知正确，真命题；
（3）直平行六面体一定是长方体，当底面为平行四边形时不是长方体，假命题；
（4）底面是矩形的四棱柱一定是长方体，当侧棱与底面不垂直时不是长方体，假命题.
16．答案：（1）自然语言见解析，真命题
（2）自然语言见解析，假命题
解析：（1）如果点A，B在平面内，点C在AB上，
那么点C是平面内的点.真命题.
（2）如果A是平面内一点，B不在平面内，
那么线段AB在内.假命题.
17．答案：相交
解析：四面体即为三棱锥，任何两个面所在平面都有交线，故四面体中任何两个面所在平面都相交.
18．答案：见解析
解析：正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“”结构（如图（1）），即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“”结构（如图（2）），即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“”结构（如图（3）），即第一行放2个正方形，第二行放3个正方形，第三行放1个正方形；第四种：“”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图.
19．答案：13
解析：体对角线长.
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