二次根式和它的性质(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次根式的性质
1.已知()2=那么a应满足的条件是 ( )
A.a>0 B.a≥0
C.a=0 D.a为任何实数
2.下列各式中,正确的是 ( )
A.=-3 B.-=-3
C.=±3 D.=±3
3.若=1,请写出一个符合条件的x的值 .
4.化简:= .
5.化简:|6-a|++.
知识点2 积的算术平方根
6.下列各式中,计算正确的是 ( )
A.=×=(-2)×(-4)=8
B.=4a(a>0)
C.=3+4=7
D.=
7.与结果相同的是 ( )
A.3-2+1 B.3+2-1
C.3+2+1 D.3-2-1
8.若一个正方体的表面积是72,则它的棱长为 .
9.化简:(1); (2);
(3); (4).
10.求代数式的值:
(1)a=1,b=10,c=-15;
(2)a=2,b=-8,c=5.
【B层 能力进阶】
11.已知为正整数,则正整数n的最小值为 ( )
A.3 B.6 C.7 D.8
12.若a<0,b>0,则化简2的结果为 ( )
A.2b-a B.2a-b
C.a-2b D.b-2a
13.如图是一个按某种规律排列的数阵:
根据数阵的排列规律,第n(n是整数,且n≥4)行从左向右数第(n-3)个数是(用含n的代数式表示) ( )
A. B.
C. D.
14.射击时,子弹射出枪口时的速度可用公式v=进行计算,其中a为子弹的加速度,s为枪筒的长.如果a=5×105 m/s2,s=0.64 m,那么子弹射出枪口时的速度(用科学记数法表示)为 .
15.若=5,|b|=3,则a+b所有可能的值为 .
16.教师节要到了,小明做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师,其中一张的面积为800 cm2,另一张的面积为450 cm2,他想如果再用金彩带把壁画的边装饰一下会更漂亮.他现在有1.2 m长的金彩带,请你帮他算一算他的金彩带够用吗.
【C层 创新挑战（选做）】
17.(模型观念、推理能力、应用意识)【阅读理解】
在解决数学问题时,我们一般先仔细阅读题干,找出有用信息作为已知条件,然后利用这些信息解决问题,但是有的题目信息比较明显,我们把这样的信息称为显性条件;而有的信息不太明显,需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件,我们把这样的条件称为隐含条件,所以我们在做题时,要注意发现题目中的隐含条件.
阅读下面的解题过程,体会如何发现隐含条件并回答下面的问题.
化简:()2-|1-x|.
解:隐含条件为1-3x≥0,解得x≤,
∴1-x>0,
∴原式=(1-3x)-(1-x)=1-3x-1+x=-2x.
【启发应用】
(1)按照上面的解法,试化简:-()2;
(2)已知a,b,c为△ABC的三边长,化简:
++.二次根式和它的性质(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次根式的性质
1.已知()2=那么a应满足的条件是 (B)
A.a>0 B.a≥0
C.a=0 D.a为任何实数
2.下列各式中,正确的是 (B)
A.=-3 B.-=-3
C.=±3 D.=±3
3.若=1,请写出一个符合条件的x的值 1(答案不唯一) .
4.化简:= π-3 .
5.化简:|6-a|++.
【解析】根据题意得a≤0,
原式=6-a+(1-2a)+(-a)
=7-4a.
知识点2 积的算术平方根
6.下列各式中,计算正确的是 (D)
A.=×=(-2)×(-4)=8
B.=4a(a>0)
C.=3+4=7
D.=
7.与结果相同的是 (A)
A.3-2+1 B.3+2-1
C.3+2+1 D.3-2-1
8.若一个正方体的表面积是72,则它的棱长为 2 .
9.化简:(1); (2);
(3); (4).
【解析】(1)原式==10;
(2)原式==2;
(3)原式==|xy|;
(4)原式=
==×
=13×11=143.
10.求代数式的值:
(1)a=1,b=10,c=-15;
(2)a=2,b=-8,c=5.
【解析】(1)将a=1,b=10,c=-15代入得,
=
==4;
(2)将a=2,b=-8,c=5代入得,
=
==2.
【B层 能力进阶】
11.已知为正整数,则正整数n的最小值为 (B)
A.3 B.6 C.7 D.8
12.若a<0,b>0,则化简2的结果为 (A)
A.2b-a B.2a-b
C.a-2b D.b-2a
13.如图是一个按某种规律排列的数阵:
根据数阵的排列规律,第n(n是整数,且n≥4)行从左向右数第(n-3)个数是(用含n的代数式表示) (C)
A. B.
C. D.
14.射击时,子弹射出枪口时的速度可用公式v=进行计算,其中a为子弹的加速度,s为枪筒的长.如果a=5×105 m/s2,s=0.64 m,那么子弹射出枪口时的速度(用科学记数法表示)为 8×102 m/s .
15.若=5,|b|=3,则a+b所有可能的值为 ±8或±2 .
16.教师节要到了,小明做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师,其中一张的面积为800 cm2,另一张的面积为450 cm2,他想如果再用金彩带把壁画的边装饰一下会更漂亮.他现在有1.2 m长的金彩带,请你帮他算一算他的金彩带够用吗.
【解析】∵两张正方形壁画的面积分别是800 cm2,450 cm2,
∴两张正方形壁画的边长分别是=20 cm,=15 cm,
∴装饰壁画需用的金彩带的长度为4×(20+15)=140(cm),
∵140 cm>120 cm,
∴小明的金彩带不够用.
【C层 创新挑战（选做）】
17.(模型观念、推理能力、应用意识)【阅读理解】
在解决数学问题时,我们一般先仔细阅读题干,找出有用信息作为已知条件,然后利用这些信息解决问题,但是有的题目信息比较明显,我们把这样的信息称为显性条件;而有的信息不太明显,需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件,我们把这样的条件称为隐含条件,所以我们在做题时,要注意发现题目中的隐含条件.
阅读下面的解题过程,体会如何发现隐含条件并回答下面的问题.
化简:()2-|1-x|.
解:隐含条件为1-3x≥0,解得x≤,
∴1-x>0,
∴原式=(1-3x)-(1-x)=1-3x-1+x=-2x.
【启发应用】
(1)按照上面的解法,试化简:-()2;
(2)已知a,b,c为△ABC的三边长,化简:
++.
【解析】(1)隐含条件为2-x≥0,解得x≤2,
∴x-3<0,
∴原式=-(x-3)-2+x=-x+3-2+x=1;
(2)∵a,b,c为△ABC的三边长,
∴a-b
b,c-b∴a-b-c<0,b-a-c<0,c-b-a<0,
∴++
=-(a-b-c)-(b-a-c)-(c-b-a)
=-a+b+c-b+a+c-c+b+a
=a+b+c. 二次根式和它的性质(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 商的算术平方根
1.化简的结果为 (A)
A. B. C. D.
2.下列各式化简正确的是 (D)
A.=4 B.=
C.= D.=
3.等式=成立的条件是 x>2 .
4.化简:
(1); (2); (3).
【解析】(1)原式=×=;
(2)原式==;
(3)原式==.
5.化简下列二次根式:
(1)x2; (2)(x,y,z均为正数).
【解析】(1)x2=x2·=x;
(2)===.
6.要在田间土地上做一块长方形的试验田,其长和宽的比例为3∶2,面积是125平方米.求长方形试验田长和宽各是多少米
【解析】设长方形的宽为2x米,则长为3x米,
根据题意得6x2=125,解得x=(负值舍去),
可得3x=,2x=,
则长方形试验田长和宽各是米,米.
知识点2 最简二次根式
7.下列式子为最简二次根式的是 (A)
A. B.
C. D.
8.已知是最简二次根式,请写出一个满足条件的m的整数值: 10(答案不唯一) .
9.下列二次根式中哪些是最简二次根式 哪些不是 若不是,请说明理由.
(1); (2); (3); (4);
(5); (6); (7);
(8).
【解析】(1)原式=,∴不是最简二次根式;
(2)原式=,∴不是最简二次根式;
(3)原式=,∴不是最简二次根式;
(4)原式是最简二次根式;
(5)原式==|a-1|,∴不是最简二次根式;
(6)原式是最简二次根式;
(7)原式=4,∴不是最简二次根式;
(8)原式是最简二次根式.
∴(1)(2)(3)(5)(7)不是最简二次根式;
(4)(6)(8)是最简二次根式.
10.把下列二次根式化成最简二次根式:
(1); (2);
(3); (4)(x>0).
【解析】(1)==2;
(2)===;
(3)=5|a|;
(4)==x(x>0).
【B层 能力进阶】
11.把a根号外的因式移入根号内的结果是 (C)
A. B.- C. D.-
12.已知+=0,则= .
13.若-114.小明做数学题时,发现=;=2;=3;=4;…按此规律,若=a(a,b为正整数),则a+b= 73 .
15.已知,y=+4-x,当x分别取1,2,3,…,2 023时,所对应的y值的总和是
2 029 .
16.一切运动的物体都具有动能,其大小由两个因素决定:物体的质量和运动速度.已知动能的计算公式是Ek=mv2,其中Ek表示动能,单位是焦耳,m表示物体的质量,单位是千克,v表示物体的运动速度,单位是米/秒.现一名运动员在匀速跑步,她的质量是60千克.若动能是1 000焦耳,求该运动员的跑步速度(结果保留根号).
【解析】由题意可知Ek=mv2,
∴1 000=×60v2,
∴v==.
答:该运动员的跑步速度是米/秒.
【C层 创新挑战（选做）】
17.(模型观念、推理能力、应用意识)观察下列各式的规律:①2=;②3=;③4=;…
(1)猜想:第(n-1)个等式是n=;
(2)说明你的猜想的正确性;
(3)应用:若a=,则a+b=55.
【解析】(1)∵①2=;
②3=;
③4=;
…,
∴第(n-1)个等式是(n-1+1)=,
即n=;
(2)∵=
===n,
∴n=;
(3)∵a=,
∴a=7,b=72-1=48,
∴a+b=7+48=55. 二次根式和它的性质(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 商的算术平方根
1.化简的结果为 ( )
A. B. C. D.
2.下列各式化简正确的是 ( )
A.=4 B.=
C.= D.=
3.等式=成立的条件是 .
4.化简:
(1); (2); (3).
5.化简下列二次根式:
(1)x2; (2)(x,y,z均为正数).
6.要在田间土地上做一块长方形的试验田,其长和宽的比例为3∶2,面积是125平方米.求长方形试验田长和宽各是多少米
知识点2 最简二次根式
7.下列式子为最简二次根式的是 ( )
A. B.
C. D.
8.已知是最简二次根式,请写出一个满足条件的m的整数值: .
9.下列二次根式中哪些是最简二次根式 哪些不是 若不是,请说明理由.
(1); (2); (3); (4);
(5); (6); (7);
(8).
10.把下列二次根式化成最简二次根式:
(1); (2);
(3); (4)(x>0).
【B层 能力进阶】
11.把a根号外的因式移入根号内的结果是 ( )
A. B.- C. D.-
12.已知+=0,则= .
13.若-114.小明做数学题时,发现=;=2;=3;=4;…按此规律,若=a(a,b为正整数),则a+b= .
15.已知,y=+4-x,当x分别取1,2,3,…,2 023时,所对应的y值的总和是
.
16.一切运动的物体都具有动能,其大小由两个因素决定:物体的质量和运动速度.已知动能的计算公式是Ek=mv2,其中Ek表示动能,单位是焦耳,m表示物体的质量,单位是千克,v表示物体的运动速度,单位是米/秒.现一名运动员在匀速跑步,她的质量是60千克.若动能是1 000焦耳,求该运动员的跑步速度(结果保留根号).
【C层 创新挑战（选做）】
17.(模型观念、推理能力、应用意识)观察下列各式的规律:①2=;②3=;③4=;…
(1)猜想:第(n-1)个等式是 ;
(2)说明你的猜想的正确性;
(3)应用:若a=,则a+b= . 二次根式和它的性质(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次根式
1.下列各式中,不一定是二次根式的为 (A)
A. B.
C. D.
2.函数y=中,自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是 (B)
3.(易错警示题·被开方数满足条件)要使分式有意义,x的取值应满足 x>2 .
4.已知y=+-3,则2xy的值为 -30 .
5.若二次根式有意义,化简|x-4|-|7-x|.
【解析】由题意得-2x+6≥0,
解得x≤3,
|x-4|-|7-x|=4-x-7+x=-3.
知识点2 二次根式的性质
6.下列各数中,是负数的是 (B)
A.|-1| B.-22
C. D.(-3)0
7.比较: > (填“>”“<”或“=”).
8.在实数范围内因式分解:x2-3= (x+)(x-) .
9.若(m-2)2+=0,则m-n= 5 .
10.计算:(1)()2; (2)-()2;
(3) (-3)2; (4)()2;
(5)(2)2-(-3)2.
【解析】(1)()2=9;
(2)-()2=-3;
(3) (-3)2=9×=6;
(4)()2=a2;
(5)(2)2-(-3)2=24-18=6.
【B层 能力进阶】
11.使式子有意义的未知数x有 个. (B)
A.0 B.1 C.2 D.无数
12.若+有意义,则实数x的取值范围是 (B)
A.x>-1且x≠3 B.x≥-1且x≠3
C.x≥1且x≠3 D.x≠-1且x≠3
13.若|x2-4x+4|与互为相反数,则x+y的值为 (A)
A.3 B.4 C.6 D.9
14.已知+有意义,则在平面直角坐标系中,点P(m,n)位于第 三 象限.
15.当a= - 时,代数式+1取到最小值,这个最小值是 1 .
16.已知:x,y为实数,y=+2,则3x+y= -7 .
17.如果f(x)=,并且f()表示当x=时的值,即f()==,
f()==,
那么f()+f()+f()+f()+f()+…+f()+f()的值是 n- .
18.先阅读,后回答问题:x为何值时,有意义
解:要使该二次根式有意义,需x(x-3)≥0,由乘法法则得或.
解得x≥3或x≤0.
∴当x≥3或x≤0时,有意义.
体会解题思想后,请你解答:x为何值时,有意义
【解析】要使该二次根式有意义,需≥0,
由乘法法则得
或,
解得x≥1或x<-2,
∴当x≥1或x<-2时,有意义.
【C层 创新挑战（选做）】
19.(模型观念、推理能力、应用意识)老师在延时课时总结定理“对于任意两个正数a,b,如果a>b,那么>”,然后讲解了一道例题:比较2和3的大小.
解:(2)2=4×3=12,(3)2=9×2=18.
∵12<18,
∴2<3.
参考上面例题的解法,解答下列问题:
(1)填空:-3>-5(填“>”“<”或“=”);
(2)比较+与+的大小;
(3)若M=-,N=-,试比较M,N的大小.
【解析】(1)∵(3)2=9×5=45,
(5)2=25×3=75,
∵45<75,
∴3<5,∴-3>-5;
(2)∵(+)2=8+4,
(+)2=8+2,
又∵(4)2=48,(2)2=60,
48<60,
∴4<2,
∴8+4<8+2,
∴+<+;
(3)∵2<6,3<5,
∴<,<,
∴M=-<0,N=-<0,
∵=8-4,=8-2,
又∵=48,=60,48<60,
∴4<2,
∴-4>-2,
∴8-4>8-2,
∴->-,
∴-(-)<-(-),
即-<-,
∴M【A层 基础夯实】
知识点1 二次根式
1.下列各式中,不一定是二次根式的为 ( )
A. B.
C. D.
2.函数y=中,自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是 ( )
3.(易错警示题·被开方数满足条件)要使分式有意义,x的取值应满足 .
4.已知y=+-3,则2xy的值为 .
5.若二次根式有意义,化简|x-4|-|7-x|.
知识点2 二次根式的性质
6.下列各数中,是负数的是 ( )
A.|-1| B.-22
C. D.(-3)0
7.比较: (填“>”“<”或“=”).
8.在实数范围内因式分解:x2-3= .
9.若(m-2)2+=0,则m-n= .
10.计算:(1)()2; (2)-()2;
(3) (-3)2; (4)()2;
(5)(2)2-(-3)2.
【B层 能力进阶】
11.使式子有意义的未知数x有 个. ( )
A.0 B.1 C.2 D.无数
12.若+有意义,则实数x的取值范围是 ( )
A.x>-1且x≠3 B.x≥-1且x≠3
C.x≥1且x≠3 D.x≠-1且x≠3
13.若|x2-4x+4|与互为相反数,则x+y的值为 ( )
A.3 B.4 C.6 D.9
14.已知+有意义,则在平面直角坐标系中,点P(m,n)位于第 象限.
15.当a= 时,代数式+1取到最小值,这个最小值是 .
16.已知:x,y为实数,y=+2,则3x+y= .
17.如果f(x)=,并且f()表示当x=时的值,即f()==,
f()==,
那么f()+f()+f()+f()+f()+…+f()+f()的值是 .
18.先阅读,后回答问题:x为何值时,有意义
解:要使该二次根式有意义,需x(x-3)≥0,由乘法法则得或.
解得x≥3或x≤0.
∴当x≥3或x≤0时,有意义.
体会解题思想后,请你解答:x为何值时,有意义
【C层 创新挑战（选做）】
19.(模型观念、推理能力、应用意识)老师在延时课时总结定理“对于任意两个正数a,b,如果a>b,那么>”,然后讲解了一道例题:比较2和3的大小.
解:(2)2=4×3=12,(3)2=9×2=18.
∵12<18,
∴2<3.
参考上面例题的解法,解答下列问题:
(1)填空:-3 -5(填“>”“<”或“=”);
(2)比较+与+的大小;
(3)若M=-,N=-,试比较M,N的大小.