一次函数和它的图象(第2课时)
A层 基础夯实
知识点1 一次函数的图象
1.正比例函数y=-2x的大致图象是 ( )
2.一次函数y=x+1在平面直角坐标系内的图象如图所示,则正确的是 ( )
3.(2023·天津中考)若直线y=x向上平移3个单位长度后经过点(2,m),则m的值为 .
4.如图,y=ax+b,y=cx+b,y=ex+b三个一次函数的图象分别由图中的(1),(2),(3)三条直线表示,用“<”将a,c,e连接起来 .
5.先填表,再根据表中的数据在坐标系中画出一次函数的图象.
(1)列表:
x 0
y=2x-6 0
(2)在坐标系中画出一次函数y=2x-6的图象.
知识点2 待定系数法求一次函数表达式
6.在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+3(k≠0)的图象经过点P(5,13),则这个一次函数的表达式是 ( )
A.y=-2x+3 B.y=x+3
C.y=2x+3 D.y=x+3
7.一次函数y=kx+b(k≠0,b为常数)的部分对应值如表:
x … 0 1 2 …
y … 1 4 7 …
则该一次函数的表达式为 ( )
A.y=x+1 B.y=2x+1
C.y=3x+1 D.y=4x+1
8.已知y关于x成正比例,且当x=2时,y=-6,则当x=1时,y的值为 ( )
A.3 B.-3 C.12 D.-12
9.如图,在四边形AOBC中,AC∥OB,若OD平分∠AOB交AC于点D,点A(3,4),则经过O,D两点的直线表达式是 .
10.如图,直线AB与x轴交于点A(2,0),与y轴交于点B(0,-4).
(1)求直线AB的表达式;
(2)若直线AB上的点C在第一象限,且S△BOC=10,求点C的坐标.
B层能力进阶
11.在平面直角坐标系中,若一个正比例函数的图象经过A(4,b),B(a,3)两点,则a,b一定满足的关系式为 ( )
A.a-b=1 B.a+b=7
C.ab=12 D.=
12.在平面直角坐标系中,一次函数y=ax-a(a≠0)的大致图象是 ( )
13.已知点A(2a,4)关于y轴的对称点A'恰好落在一次函数y=-x+1的图象上,则a的值为 .
14.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l1:y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点D,直线l2与x轴交于点B(1,0),与l1相交于点C(m,4).
(1)求直线l2的表达式;
(2)求四边形OBCD的面积;
(3)若点M为x轴上一动点,过点M(t,0)作垂直于x轴的直线,与直线l2交于点Q.若S△AQC=2S△ABC,请直接写出所有符合题意的点Q的坐标.
C层创新挑战（选做）
15.(推理能力、抽象能力)问题探究:小明根据学习函数的经验,对函数y=-|x|+3的图象与性质进行了探究.
下面是小明的探究过程,请你解决相关问题:
(1)在函数y=-|x|+3中,自变量x可以是任意实数;
(2)下表是y与x的几组对应值:
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … -1 0 1 2 3 2 1 a -1 …
表格中的a= ;
(3)如图,在平面直角坐标系中,描出以上表中各点,并根据描出的点,画出该函数的图象.
①该函数有 (填“最大值”或“最小值”),这个值为 ;
②求出函数图象与坐标轴在第二象限内所围成的图形的面积.一次函数和它的图象(第1课时)
A层 基础夯实
知识点1 一次函数的定义
1.下列函数中,不是一次函数的是 ( )
A.y= B.y=x
C.y=-3x D.y=-x+4
2.函数y=2xm-1是关于x的正比例函数,则m的值是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.如果y=x+2a-1是正比例函数,则a的值是 .
4.若y=(m-2)x+m-1是一次函数,则m的取值范围是 .
5.函数y=是一次函数吗 如果是,请写出k,b的值;如果不是,试说明理由.
知识点2 一次函数的实际应用
6.某校开展了主题为“生活中的一次函数”的项目学习,同学们找到了许多生活中的函数.下面实例中,变量之间的关系不是一次函数的是 ( )
A.家庭用水的价格为4.1元/m3,每月的水费支出与用水量之间的关系
B.百米赛跑中,时间与速度之间的关系
C.相同规格的A4纸整齐放置,纸的厚度与纸的张数之间的关系
D.普通钟表指针转动的角度与所用时间的关系
7.小李从安徽通过快递公司给在广东的亲人邮寄本地土特产,寄快递时,快递公司规定:不超过1千克,收费12元,超过1千克时,超出部分按每千克4元加收费用.若小李给亲人邮寄了x(x>1)千克本地土特产,则快递的费用y(元)与x(千克)之间的函数表达式为 ( )
A.y=12x B.y=8x+8
C.y=4x+8 D.y=4x+12
8.声音在常温空气中的传播速度是340 m/s,则传播距离l(m)与传播时间t(s)之间的函数表达式为 .
9.地面温度为15℃,如果高度每升高1千米,气温下降6℃,则高度h(千米)与气温t(℃)之间的关系式为 .
10.已知等腰三角形的周长为12,设腰长为x,底边长为y.
(1)试写出y关于x的函数表达式,并直接写出自变量x的取值范围;
(2)当x=5时,求出函数值.
B层能力进阶
11.学校食堂按如图方式摆放餐桌和椅子.若用x表示餐桌的张数,y表示椅子的把数,请你写出椅子数y(把)与餐桌数x(张)之间的函数表达式 .
12.(易错警示题·忽视分类讨论而漏题)若函数y=(m+3)x2m+1+4x-2(x≠0)是关于x的一次函数,则m= .
13.九年级(1)班班委发起捐款义卖活动,决定在“六一节”当天租用摊位卖玩具筹集善款.已知同学们从批发店按每个7.6元买进玩具,并按每个15元卖出,租用摊位一天的租金为20元.
(1)求同学们当天所筹集的善款y(元)与销售量x(个)之间的函数表达式(善款=销售额-成本);
(2)若要筹集不少于500元的善款,则至少要卖出玩具多少个
C层创新挑战（选做）
14.(推理能力、抽象能力、模型观念)如图,长方形ABCD中,BC=8,CD=5,点E为边AD上一动点,连接CE,随着点E的运动,四边形ABCE的面积也发生变化,设AE=x(0(1)DE的长为 ;△CDE的面积为 ;(用含x的代数式表示)
(2)写出y与x之间的关系式;
(3)当四边形ABCE的面积为35时,求DE的长. 一次函数和它的图象(第2课时)
A层 基础夯实
知识点1 一次函数的图象
1.正比例函数y=-2x的大致图象是 (C)
2.一次函数y=x+1在平面直角坐标系内的图象如图所示,则正确的是 (D)
3.(2023·天津中考)若直线y=x向上平移3个单位长度后经过点(2,m),则m的值为 5 .
4.如图,y=ax+b,y=cx+b,y=ex+b三个一次函数的图象分别由图中的(1),(2),(3)三条直线表示,用“<”将a,c,e连接起来 a5.先填表,再根据表中的数据在坐标系中画出一次函数的图象.
(1)列表:
x 0
y=2x-6 0
(2)在坐标系中画出一次函数y=2x-6的图象.
【解析】(1)将x=0代入y=2x-6得,
y=-6;将y=0代入y=2x-6得,2x-6=0,解得x=3;
答案:-6 3
(2)函数图象如图所示,
知识点2 待定系数法求一次函数表达式
6.在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+3(k≠0)的图象经过点P(5,13),则这个一次函数的表达式是 (C)
A.y=-2x+3 B.y=x+3
C.y=2x+3 D.y=x+3
7.一次函数y=kx+b(k≠0,b为常数)的部分对应值如表:
x … 0 1 2 …
y … 1 4 7 …
则该一次函数的表达式为 (C)
A.y=x+1 B.y=2x+1
C.y=3x+1 D.y=4x+1
8.已知y关于x成正比例,且当x=2时,y=-6,则当x=1时,y的值为 (B)
A.3 B.-3 C.12 D.-12
9.如图,在四边形AOBC中,AC∥OB,若OD平分∠AOB交AC于点D,点A(3,4),则经过O,D两点的直线表达式是 y=x .
10.如图,直线AB与x轴交于点A(2,0),与y轴交于点B(0,-4).
(1)求直线AB的表达式;
(2)若直线AB上的点C在第一象限,且S△BOC=10,求点C的坐标.
【解析】(1)设直线AB的表达式为y=kx+b,
把点A(2,0)与点B(0,-4)代入得,,∴,∴直线AB的表达式为y=2x-4;
(2)设点C的坐标(a,2a-4),
∵=10,
∴×4×a=10,
∴a=5,
∴点C的坐标为(5,6).
B层能力进阶
11.在平面直角坐标系中,若一个正比例函数的图象经过A(4,b),B(a,3)两点,则a,b一定满足的关系式为 (C)
A.a-b=1 B.a+b=7
C.ab=12 D.=
12.在平面直角坐标系中,一次函数y=ax-a(a≠0)的大致图象是 (A)
13.已知点A(2a,4)关于y轴的对称点A'恰好落在一次函数y=-x+1的图象上,则a的值为 1 .
14.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l1:y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点D,直线l2与x轴交于点B(1,0),与l1相交于点C(m,4).
(1)求直线l2的表达式;
(2)求四边形OBCD的面积;
(3)若点M为x轴上一动点,过点M(t,0)作垂直于x轴的直线,与直线l2交于点Q.若S△AQC=2S△ABC,请直接写出所有符合题意的点Q的坐标.
【解析】(1)∵直线l1:y=x+2与l2相交于点C(m,4),∴4=m+2,解得m=2,∴C(2,4),
设直线l2的表达式为y=kx+b(k≠0),
把点B(1,0),C(2,4)代入得:
∴,解得,∴直线l2的表达式为y=4x-4;
(2)当x=0时,y=2,
∴直线l1与y轴的交点D的坐标为(0,2),
∴OD=2,
当y=0时,0=x+2,x=-2,
∴直线l1与x轴的交点A的坐标为(-2,0),
∴OA=2,
∵B(1,0),
∴AB=3,
∴S四边形OBCD=S△ABC-S△AOD=×3×4-×2×2=4.
(3)∵过点M(t,0)作垂直于x轴的直线,与直线l2交于点Q,
∴点Q的坐标为:(t,4t-4),
∵S△ABC=×3×4=6,
∴S△AQC=2S△ABC=12,
当点Q在点C的上方时,如图所示:
S△AQC=S△ABQ-S△ABC=×3×(4t-4)-6=12,
解得:t=4,
∴此时点Q的坐标为(4,12);
当点Q在点C的下方时,如图所示:
S△AQC=×3×(4-4t+4)=12,解得:t=0,
∴此时点Q的坐标为(0,-4);
综上可知,点Q的坐标为(0,-4)或(4,12).
C层创新挑战（选做）
15.(推理能力、抽象能力)问题探究:小明根据学习函数的经验,对函数y=-|x|+3的图象与性质进行了探究.
下面是小明的探究过程,请你解决相关问题:
(1)在函数y=-|x|+3中,自变量x可以是任意实数;
(2)下表是y与x的几组对应值:
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … -1 0 1 2 3 2 1 a -1 …
表格中的a= ;
(3)如图,在平面直角坐标系中,描出以上表中各点,并根据描出的点,画出该函数的图象.
①该函数有 (填“最大值”或“最小值”),这个值为 ;
②求出函数图象与坐标轴在第二象限内所围成的图形的面积.
【解析】(2)当x=3时,y=-|3|+3=0,
∵a是x=3时的函数值,∴a=0.
答案:0
(3)描出(2)中各点,该函数图象如下:
①由函数图象知,该函数有最大值,这个值为3.
答案:最大值 3
②由函数图象可知,函数图象与坐标轴在第二象限内所围成的图形的面积为×3×3=.一次函数和它的图象(第1课时)
A层 基础夯实
知识点1 一次函数的定义
1.下列函数中,不是一次函数的是 (A)
A.y= B.y=x
C.y=-3x D.y=-x+4
2.函数y=2xm-1是关于x的正比例函数,则m的值是 (C)
A.0 B.1 C.2 D.3
3.如果y=x+2a-1是正比例函数,则a的值是 .
4.若y=(m-2)x+m-1是一次函数,则m的取值范围是 m≠2 .
5.函数y=是一次函数吗 如果是,请写出k,b的值;如果不是,试说明理由.
【解析】函数y=是一次函数.
理由:∵y==x-1,
∴函数y=是一次函数,
其中k=,b=-1.
知识点2 一次函数的实际应用
6.某校开展了主题为“生活中的一次函数”的项目学习,同学们找到了许多生活中的函数.下面实例中,变量之间的关系不是一次函数的是 (B)
A.家庭用水的价格为4.1元/m3,每月的水费支出与用水量之间的关系
B.百米赛跑中,时间与速度之间的关系
C.相同规格的A4纸整齐放置,纸的厚度与纸的张数之间的关系
D.普通钟表指针转动的角度与所用时间的关系
7.小李从安徽通过快递公司给在广东的亲人邮寄本地土特产,寄快递时,快递公司规定:不超过1千克,收费12元,超过1千克时,超出部分按每千克4元加收费用.若小李给亲人邮寄了x(x>1)千克本地土特产,则快递的费用y(元)与x(千克)之间的函数表达式为 (C)
A.y=12x B.y=8x+8
C.y=4x+8 D.y=4x+12
8.声音在常温空气中的传播速度是340 m/s,则传播距离l(m)与传播时间t(s)之间的函数表达式为 l=340t .
9.地面温度为15℃,如果高度每升高1千米,气温下降6℃,则高度h(千米)与气温t(℃)之间的关系式为 h= .
10.已知等腰三角形的周长为12,设腰长为x,底边长为y.
(1)试写出y关于x的函数表达式,并直接写出自变量x的取值范围;
(2)当x=5时,求出函数值.
【解析】(1)由题意得,12=2x+y,
∴可得y=12-2x,
根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边可得,y<2x,2x<12,
∴可得3(2)由(1)得,y=12-2x,
∴当x=5时,y=2.
B层能力进阶
11.学校食堂按如图方式摆放餐桌和椅子.若用x表示餐桌的张数,y表示椅子的把数,请你写出椅子数y(把)与餐桌数x(张)之间的函数表达式 y=2x+2 .
12.(易错警示题·忽视分类讨论而漏题)若函数y=(m+3)x2m+1+4x-2(x≠0)是关于x的一次函数,则m= 0或-或-3 .
13.九年级(1)班班委发起捐款义卖活动,决定在“六一节”当天租用摊位卖玩具筹集善款.已知同学们从批发店按每个7.6元买进玩具,并按每个15元卖出,租用摊位一天的租金为20元.
(1)求同学们当天所筹集的善款y(元)与销售量x(个)之间的函数表达式(善款=销售额-成本);
(2)若要筹集不少于500元的善款,则至少要卖出玩具多少个
【解析】(1)y=(15-7.6)x-20,
化简得,y=7.4x-20;
(2)根据题意得,7.4x-20≥500,
解得x≥70.
答:至少要卖出玩具71个.
C层创新挑战（选做）
14.(推理能力、抽象能力、模型观念)如图,长方形ABCD中,BC=8,CD=5,点E为边AD上一动点,连接CE,随着点E的运动,四边形ABCE的面积也发生变化,设AE=x(0(1)DE的长为 ;△CDE的面积为 ;(用含x的代数式表示)
(2)写出y与x之间的关系式;
(3)当四边形ABCE的面积为35时,求DE的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD为长方形,
∴AD=BC=8,∠A=∠B=∠D=90°,
AB=CD=5,AD∥BC,
∵AE=x,
∴DE=AD-AE=8-x,
∴△CDE的面积为CD·DE=×5(8-x)=20-x;
答案:8-x 20-x
(2)∵∠A=∠B=90°,AD∥BC,
∴四边形ABCE是直角梯形,
∴y=(x+8)×5=x+20;
(3)令y=35,
则x+20=35,
解得x=6,
∴DE=8-x=2.
