图形的平移(第1课时)
A层 基础夯实
1.下列运动属于平移的是 (C)
A.推开教室的门
B.在游乐场里荡秋千
C.飞机在地面上沿直线滑行
D.风筝在空中转动
2.如图,△ABC以每秒2 cm的速度沿着射线BC向右平移,平移2秒后所得图形是△PMN,如果AP=2MC,那么BC的长是 (B)
A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.9 cm
3.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,将△ABC向右平移m个单位长度,再向上平移n个单位长度得到△DEF(点A,B,C的对应点分别为点D,E,F),则m+n的值为 5 .
4.(2024·重庆质检)如图,长方形的长是5,宽是3,空白部分为两条宽为1的道路,阴影部分为草坪,则阴影部分的面积为 8 .
5.如图,半圆AB平移到半圆CD的位置时所扫过的面积为 6
.
6.如图,Rt△ABC的周长为2 023,在其内部有5个小直角三角形,且这5个小直角三角形都有一条边与BC平行,则这5个小直角三角形周长的和为 2 023 .
7.如图,已知△ABC的面积为36,将△ABC沿BC方向平移,得到△A'B'C',使点B'和点C重合,连接AC',AC'交A'C于点D.
(1)求证:A'D=CD;
(2)求△C'DC的面积.
【解析】(1)∵△ABC沿BC平移到△A'B'C',
∴AC∥A'C',AC=A'C',∴∠ACD=∠C'A'D,
又∵∠ADC=∠C'DA',
∴△ACD≌△C'A'D(AAS),∴A'D=CD;
(2)∵△ABC沿BC平移到△A'B'C',
∴△ABC≌△A'B'C',∴S△ABC=S△A'B'C'=36,
因为A'D=CD,S△C'DC=S△C'A'D=18.
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=AC=4,现将△ABC沿CB方向平移到△A'B'C'的位置.
(1)若平移距离为3,求△ABC与△A'B'C'重叠部分阴影的面积;
(2)若平移距离为x(0≤x≤4),用含x的代数式表示△ABC与△A'B'C'重叠部分阴影的面积.
【解析】(1)∵∠C=90°,BC=4,AC=4,
∴△ABC是等腰直角三角形,∴∠ABC=45°,
∵△A'B'C'是△ABC平移得到的,
∴△ABC≌△A'B'C',
∴∠C=∠A'C'B'=90°,∴∠BOC'=45°,
∴△BOC'是等腰直角三角形,∵BC'=BC-CC'=4-3=1,∴S△BOC'=×1×1=;
(2)根据(1)可知两个三角形重合部分是等腰直角三角形,那么S阴影=(4-x)2.
B层能力进阶
9.如图,将直线l向右平移,当直线l经过点O时,直线l还经过点 (B)
A.M B.N C.P D.Q
10.如图,一把直尺沿直线断开并发生平移,点E,D,B,F在同一条直线上,若∠DBC=62°,则∠ADE的度数为 (B)
A.62° B.118° C.128° D.130°
11.如图,△ABC中,点D在AB边上,将BD沿射线BC方向平移得到线段CE,连接AE,DE.若AD=3,AE=4,CE⊥AE,则BC的长是 (C)
A.3 B.4 C.5 D.6
12.如图所示,在三角形ABC中,AB=4 cm,将三角形ABC沿着与AB垂直的方向向上平移2 cm,得到三角形DEF,则阴影部分面积为 8 cm2.
13.如图,将三角形ABE向右平移得到三角形DCF,如果三角形ABE的周长是16 cm,四边形ABFD的周长是20 cm,那么三角形ABE向右平移了 2 cm.
14.如图,将一个正方形,第1次向右平移一下,平移的距离等于对角线长的一半,即其中一个正方形的顶点与另一个正方形的中心重合,并把重叠部分涂上颜色;第2次向右连续平移两次,每次平移的距离与第一次平移的距离相同,并且每平移一次把重叠部分涂上颜色,…,则第n次平移后所得到的图案中正方形的个数是 4n-1 .
C层创新挑战（选做）
15.(推理能力、应用意识)如图,小明自己制作了2023年11月的月历,其中有一个“N”形框,提醒自己要“NL”(努力)学习,期中考试认真备考.框中包含7个数.
(1)图中“N”形框中的7个数的和与9有什么关系
(2)将“N”形框上下左右平移,但一定要框住2023年11月的月历中的7个数,若设“N”形框框住的7个数中,从小到大排第4个数为a,用含a的式子表示“N”形框框住的7个数字之和;
(3)将“N”形框上下左右平移,设“N”形框框住的7个数字之和为n.
①n能是119吗 如果能,请求出此时“N”形框中的7个数中最大的数,如果不能,请说明理由.
②某两次在不同位置框住的7数之和分别为n1,n2,且n1+n2=224,求n1-n2的最大值.
【解析】(1)1+3+8+9+10+15+17=63,
63÷7=9,
∴这7个数的和是9的7倍;
(2)由题意得,其他6个数分别为a-8,a-6,a-1,a+1,a+6,a+8,
∴这7个数的和为a+a-8+a-6+a-1+a+1+a+6+a+8=7a;
(3)①设“N”形框框住的7个数中,从小到大排第4个数为a,
由题意得,7a=119,
解得a=17,
当a=17时,a+8=25,满足题意,
∴n能是119,此时最大的数为25;
②设7数之和为n1时,从小到大排第4个数为a1,设7数之和为n2时,从小到大排第4个数为a2,
∵n1+n2=224,
∴7a1+7a2=224,
∴a1+a2=32,
∵n1-n2=7a1-7a2,
∴当n1-n2有最大值时,则a1-a2有最大值,
∴只需要满足a1最大,a2最小时即可,
∵a1+a2=32,即a2=32-a1,
∴当a1最大时,a2最小,
∵a1+8≤30,
∴a1≤22,
∴a1最大为22,a2最小为10,
∴n1-n2的最大值为7a1-7a2=7×(22-10)=84. 图形的平移(第1课时)
A层 基础夯实
1.下列运动属于平移的是 ( )
A.推开教室的门
B.在游乐场里荡秋千
C.飞机在地面上沿直线滑行
D.风筝在空中转动
2.如图,△ABC以每秒2 cm的速度沿着射线BC向右平移,平移2秒后所得图形是△PMN,如果AP=2MC,那么BC的长是 ( )
A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.9 cm
3.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,将△ABC向右平移m个单位长度,再向上平移n个单位长度得到△DEF(点A,B,C的对应点分别为点D,E,F),则m+n的值为 .
4.(2024·重庆质检)如图,长方形的长是5,宽是3,空白部分为两条宽为1的道路,阴影部分为草坪,则阴影部分的面积为 .
5.如图,半圆AB平移到半圆CD的位置时所扫过的面积为 .
6.如图,Rt△ABC的周长为2 023,在其内部有5个小直角三角形,且这5个小直角三角形都有一条边与BC平行,则这5个小直角三角形周长的和为 .
7.如图,已知△ABC的面积为36,将△ABC沿BC方向平移,得到△A'B'C',使点B'和点C重合,连接AC',AC'交A'C于点D.
(1)求证:A'D=CD;
(2)求△C'DC的面积.
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=AC=4,现将△ABC沿CB方向平移到△A'B'C'的位置.
(1)若平移距离为3,求△ABC与△A'B'C'重叠部分阴影的面积;
(2)若平移距离为x(0≤x≤4),用含x的代数式表示△ABC与△A'B'C'重叠部分阴影的面积.
B层能力进阶
9.如图,将直线l向右平移,当直线l经过点O时,直线l还经过点 ( )
A.M B.N C.P D.Q
10.如图,一把直尺沿直线断开并发生平移,点E,D,B,F在同一条直线上,若∠DBC=62°,则∠ADE的度数为 ( )
A.62° B.118° C.128° D.130°
11.如图,△ABC中,点D在AB边上,将BD沿射线BC方向平移得到线段CE,连接AE,DE.若AD=3,AE=4,CE⊥AE,则BC的长是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
12.如图所示,在三角形ABC中,AB=4 cm,将三角形ABC沿着与AB垂直的方向向上平移2 cm,得到三角形DEF,则阴影部分面积为 cm2.
13.如图,将三角形ABE向右平移得到三角形DCF,如果三角形ABE的周长是16 cm,四边形ABFD的周长是20 cm,那么三角形ABE向右平移了 cm.
14.如图,将一个正方形,第1次向右平移一下,平移的距离等于对角线长的一半,即其中一个正方形的顶点与另一个正方形的中心重合,并把重叠部分涂上颜色;第2次向右连续平移两次,每次平移的距离与第一次平移的距离相同,并且每平移一次把重叠部分涂上颜色,…,则第n次平移后所得到的图案中正方形的个数是 .
C层创新挑战（选做）
15.(推理能力、应用意识)如图,小明自己制作了2023年11月的月历,其中有一个“N”形框,提醒自己要“NL”(努力)学习,期中考试认真备考.框中包含7个数.
(1)图中“N”形框中的7个数的和与9有什么关系
(2)将“N”形框上下左右平移,但一定要框住2023年11月的月历中的7个数,若设“N”形框框住的7个数中,从小到大排第4个数为a,用含a的式子表示“N”形框框住的7个数字之和;
(3)将“N”形框上下左右平移,设“N”形框框住的7个数字之和为n.
①n能是119吗 如果能,请求出此时“N”形框中的7个数中最大的数,如果不能,请说明理由.
②某两次在不同位置框住的7数之和分别为n1,n2,且n1+n2=224,求n1-n2的最大值. 图形的平移(第2课时)
A层 基础夯实
1.在平面直角坐标系中,将点(2,3)向上平移1个单位长度,所得到的点的坐标是 (C)
A.(1,3) B.(2,2) C.(2,4) D.(3,3)
2.如图,已知a∥b,点P在直线a上,且到直线b的距离为2.5,则将a平移到b的位置,平移的距离不可以是 (C)
A.4.6 B.2.7 C.2.3 D.9.8
3.点M(a,a+3)向右平移1个单位长度后与x轴上点N重合,则点N的坐标为 (B)
A.(-1,0) B.(-2,0)
C.(-3,0) D.(-4,0)
4.如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,将△ABC沿BC方向平移2个单位后得到△DEF,连接DC,则DC的长为 (B)
A.3 B.4 C.5 D.6
5.如图,直角三角形ABC中,∠BAC=90°,将三角形ABC沿直线BC向右平移若干个单位长度得到三角形DEF,连接AE,有以下结论:
①AC∥DF;
②AD∥BE,AD=BE;
③∠B=∠DEF;
④ED⊥AC.
其中正确的结论有 (A)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
6.如图,在△OAB中,已知OA=OB=4,∠AOB=120°.点C为OB的中点,过点C作CD⊥y轴,垂足为D.将△OCD向右平移,当点C的对应点C'落在AB边上时,点D的对应点D'的坐标为 (B)
A.(2,) B.(2,) C.(3,) D.(3,)
7.(2023·滨州中考)如图,在平面直角坐标系中,△ABO的三个顶点坐标分为A(6,3),B(6,0),O(0,0),若将△ABO向左平移3个单位长度得到△CDE,则点A的对应点C的坐标是 (3,3) .
8.如图,在△ABC中,BC=3,将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1,点P,Q分别是AB,A1C1的中点,PQ的取值范围为 ≤PQ≤ .
9.在平面直角坐标系中,点A在x轴上,点B(0,-7),线段AB向右平移3个单位长度得到线段CD,线段CD与y轴交于点E,若图中阴影部分面积是15,则点E的坐标为 (0,-3) .
B层能力进阶
10.将△ABC先向左平移3个单位长度,再向上平移5个单位长度得到△DEF,若将△DEF看成是由△ABC经过一次平移得到的,则这一平移的距离是 (D)
A.3个单位长度
B.4个单位长度
C.5个单位长度
D.个单位长度
11.如图1,从一个边长为4的正方形纸片扣掉两个边长为a的正方形得到如图2所示的图形,若图2周长为22,则a的值是 (B)
A.1 B.1.5 C.2 D.3
12.如图,直线l上摆放着两个大小相同的直角三角板ABC和DEC,将三角板DEC沿直线l向左平移到如图所示的位置,使点E落在AB上的点E'处,点P为AC与E'D'的交点.图中三块阴影部分的面积之和为6,则一个直角三角板的面积为 6 .
13.已知小正方形的边长为2厘米,大正方形的边长为4厘米,起始状态如图所示,大正方形固定不动,把小正方形以1厘米/秒的速度向右沿直线平移,设平移的时间为t秒,两个正方形重叠部分的面积为S平方厘米.完成下列问题:
(1)当t=1.5秒时,S= 3 平方厘米;
(2)当S=2时,小正方形平移的时间为 1或5 秒.
14.如图,在平面直角坐标系中,已知A(3,6),B(-2,2),在x轴上取两点C,D(点C在点D左侧),且始终保持CD=1,线段CD在x轴上平移,当AD+BC的值最小时,点C的坐标为 (-1,0) .
15.如图,线段AB,BC被直线AC所截,D是线段AC上的点,过点D作DE∥AB,连接AE,∠B=∠E.将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ,连接DQ.
(1)求证:AE∥BC;
(2)若∠E=75°,DE⊥DQ,求∠Q的度数.
【解析】(1)∵DE∥AB,∴∠BAE+∠E=180°.
∵∠E=∠B,∴∠B+∠BAE=180°,
∴AE∥BC.
(2)如图,过点D作DF∥AE交AB于点F,则∠E+∠EDF=180°.
∵∠E=75°,∴∠EDF=180°-∠E=105°.
由平移的性质,得PQ∥AE,
∴DF∥PQ,
∴∠FDP=∠DPQ.
∵DE⊥DQ,∴∠EDQ=90°,
∴∠FDQ=360°-105°-90°=165°.
∵∠FDQ=∠FDP+∠QDP,
∴∠DPQ+∠QDP=∠FDQ=165°,
∴∠Q=180°-165°=15°.
C层创新挑战（选做）
16.(2024·金华期末)如图,△ABC的顶点A,B,C在直角坐标系中的坐标分别为(-3,4),(-5,1),(-2,2).
(1)求点O到点C的距离.
(2)画出将△ABC沿x轴翻折,再向右平移4个单位长度得到的△A'B'C'.
(3)若点P(m,n)是△ABC内部一点,则点P经过(2)中变换后的对应点P'的坐标为 .
【解析】(1)连接OC,
由勾股定理得,OC==2,
∴点O到点C的距离为2.
(2)如图,△A'B'C'即为所求.
(3)点P(m,n)沿x轴翻折得到的点的坐标为(m,-n),再向右平移4个单位长度得到的点P'的坐标为(m+4,-n).
答案:(m+4,-n) 图形的平移(第2课时)
A层 基础夯实
1.在平面直角坐标系中,将点(2,3)向上平移1个单位长度,所得到的点的坐标是 ( )
A.(1,3) B.(2,2) C.(2,4) D.(3,3)
2.如图,已知a∥b,点P在直线a上,且到直线b的距离为2.5,则将a平移到b的位置,平移的距离不可以是 ( )
A.4.6 B.2.7 C.2.3 D.9.8
3.点M(a,a+3)向右平移1个单位长度后与x轴上点N重合,则点N的坐标为 ( )
A.(-1,0) B.(-2,0)
C.(-3,0) D.(-4,0)
4.如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,将△ABC沿BC方向平移2个单位后得到△DEF,连接DC,则DC的长为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
5.如图,直角三角形ABC中,∠BAC=90°,将三角形ABC沿直线BC向右平移若干个单位长度得到三角形DEF,连接AE,有以下结论:
①AC∥DF;
②AD∥BE,AD=BE;
③∠B=∠DEF;
④ED⊥AC.
其中正确的结论有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
6.如图,在△OAB中,已知OA=OB=4,∠AOB=120°.点C为OB的中点,过点C作CD⊥y轴,垂足为D.将△OCD向右平移,当点C的对应点C'落在AB边上时,点D的对应点D'的坐标为 ( )
A.(2,) B.(2,) C.(3,) D.(3,)
7.(2023·滨州中考)如图,在平面直角坐标系中,△ABO的三个顶点坐标分为A(6,3),B(6,0),O(0,0),若将△ABO向左平移3个单位长度得到△CDE,则点A的对应点C的坐标是 .
8.如图,在△ABC中,BC=3,将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1,点P,Q分别是AB,A1C1的中点,PQ的取值范围为 .
9.在平面直角坐标系中,点A在x轴上,点B(0,-7),线段AB向右平移3个单位长度得到线段CD,线段CD与y轴交于点E,若图中阴影部分面积是15,则点E的坐标为 .
B层能力进阶
10.将△ABC先向左平移3个单位长度,再向上平移5个单位长度得到△DEF,若将△DEF看成是由△ABC经过一次平移得到的,则这一平移的距离是 ( )
A.3个单位长度
B.4个单位长度
C.5个单位长度
D.个单位长度
11.如图1,从一个边长为4的正方形纸片扣掉两个边长为a的正方形得到如图2所示的图形,若图2周长为22,则a的值是 ( )
A.1 B.1.5 C.2 D.3
12.如图,直线l上摆放着两个大小相同的直角三角板ABC和DEC,将三角板DEC沿直线l向左平移到如图所示的位置,使点E落在AB上的点E'处,点P为AC与E'D'的交点.图中三块阴影部分的面积之和为6,则一个直角三角板的面积为 .
13.已知小正方形的边长为2厘米,大正方形的边长为4厘米,起始状态如图所示,大正方形固定不动,把小正方形以1厘米/秒的速度向右沿直线平移,设平移的时间为t秒,两个正方形重叠部分的面积为S平方厘米.完成下列问题:
(1)当t=1.5秒时,S= 平方厘米;
(2)当S=2时,小正方形平移的时间为 秒.
14.如图,在平面直角坐标系中,已知A(3,6),B(-2,2),在x轴上取两点C,D(点C在点D左侧),且始终保持CD=1,线段CD在x轴上平移,当AD+BC的值最小时,点C的坐标为 .
15.如图,线段AB,BC被直线AC所截,D是线段AC上的点,过点D作DE∥AB,连接AE,∠B=∠E.将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ,连接DQ.
(1)求证:AE∥BC;
(2)若∠E=75°,DE⊥DQ,求∠Q的度数.
C层创新挑战（选做）
16.(2024·金华期末)如图,△ABC的顶点A,B,C在直角坐标系中的坐标分别为(-3,4),(-5,1),(-2,2).
(1)求点O到点C的距离.
(2)画出将△ABC沿x轴翻折,再向右平移4个单位长度得到的△A'B'C'.
(3)若点P(m,n)是△ABC内部一点,则点P经过(2)中变换后的对应点P'的坐标为 .
