图形的旋转(第2课时)
A层 基础夯实
1.如图,一个小孩坐在秋千上,若秋千绕点O旋转了80°,小孩的位置也从A点运动到了B点,则∠OAB的度数为 (C)
A.70° B.60° C.50° D.40°
2.如图,将矩形ABCD绕点C顺时针旋转到矩形A1B1CD1的位置,旋转角为θ(0°<θ<90°).若∠1=120°,则θ= 30 °.
3.如图,四边形ABCD中,∠DAB=30°,连接AC,将△ABC绕点B逆时针旋转60°,点C的对应点与点D重合得到△EBD,若AB=5,AD=4,则AC的长度为 .
4.如图,将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形A'B'CD',E,F分别是BD,B'D'的中点,若AB=1 cm,BC=7 cm,则EF的长为 5 cm.
5.如图,正方形OEFG的直角顶点O为正方形ABCD的中心,O,C,E三点和O,D,G三点分别都在同一直线上,现将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<90°),连接AG,DE.
(1)求证:AG=DE;
(2)若DE∥OC,求∠GAO的度数.
【解析】(1)∵四边形OEFG和四边形ABCD是正方形,∴AO=DO,OE=OG,∠AOD=∠GOE=90°,∴∠AOG=∠DOE,
在△AOG和△DOE中,
,
∴△AOG≌△DOE(SAS),
∴AG=DE;
(2)∵DE∥OC,
∴∠DOC+∠ODE=180°,
∴∠ODE=90°,
∵△AOG≌△DOE,
∴∠GAO=∠ODE=90°.
6.如图,正方形ABCD对角线AC,BD相交于点O,点P是对角线BD延长线上一点,连接PC,将PC绕点P逆时针旋转,使点C的对应点Q在AD的延长线上,连接PQ.
(1)求证:△APD≌△CPD;
(2)当点P在BD延长线上的位置发生变化时,∠CPQ的大小是否发生变化 请说明理由.
【解析】(1)由正方形ABCD,
得∠ADB=∠CDB=45°,
得∠ADP=∠CDP,
由DA=DC,DP=DP,
得△APD≌△CPD(SAS);
(2)∠CPQ的大小不发生变化,理由:
如图,由将PC绕点P逆时针旋转,使点C的对应点Q在AD的延长线上,
得PQ=PC=PA,
得∠PQE=∠PAD=∠PCD,
由∠PEQ=∠DEC,
得∠CPQ=∠EDC=90°,
即∠CPQ的大小不发生变化.
B层能力进阶
7.如图,将△ABC沿射线BC的方向平移,得到△A'B'C',再将△A'B'C'绕点A'逆时针旋转一定角度后,得到△A'CD,点B'的对应点为C,点C'的对应点为点D,则下列结论不一定正确的是 (A)
A.A'D∥BC
B.BB'=CC'
C.∠B'A'C=∠C'A'D
D.CA'平分∠BCD
8.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=12,BD=6,将△AOD绕点O顺时针方向旋转得到△FOE,连接CF.若点D的对应点E恰好落在线段OA上,则△BCF的面积是 (B)
A.6 B.9 C.18 D.36
9.如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=1,将矩形ABCD绕顶点C顺时针旋转90°,得到矩形EFCG,连接AE,取AE的中点H,连接DH,则DH的长为 (D)
A.1 B. C. D.
10.如图,在 ABCD中,AB=4,BC=6,∠ABC=30°,对角线AC与BD交于点O,将直线l绕点O按顺时针方向旋转,分别交AD,BC于点F,E,则四边形ABEF周长的最小值是 12 .
11.如图,将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG,点B与点E对应,点E恰好落在AD边上,BH⊥CE交CE于点H.
(1)求证:AB=BH;
(2)连接BG交CH于O,已知AB=5,BC=13,求BO的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AB=CD,
∴∠DEC=∠BCH,
∵∠D=90°,BH⊥CE,
∴∠D=∠BHC,
由旋转得,CE=CB,
在△EDC和△CHB中,
,
∴△EDC≌△CHB(AAS),
∴BH=CD,
∵AB=CD,
∴AB=BH.
(2)∵在△HBO和△CGO中,
,
∴△HBO≌△CGO(AAS),
∴OH=OC,OB=OG,
在Rt△BCH中,BH=5,BC=13,
由勾股定理得,
CH===12,
∵OH=OC
∴OH=CH=6,
在Rt△OHB中,由勾股定理得:
BO===.
12.根据题意,寻找规律,解答问题:
(1)如图1,在△ABC中,AB=1,AC=2,现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C,连接AB',并且AB'=3,求∠B'A'C的大小;
(2)如图2,点P是正方形ABCD内一点,且点P到点A,B,C的距离分别为2,,4,求∠BPC的大小.
【解析】(1)如图,连接AA',
由题意得:AC=A'C,
A'B'=AB,∠ACA'=90°,
∴∠AA'C=45°,AA'2=22+22=8,
∵AB'2=32=9,A'B'2=12=1,
∴AB'2=AA'2+A'B'2,
∴∠AA'B'=90°,
∴∠B'A'C=135°;
(2)将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBE,连接PE,如图:
∴AP=CE=2,PB=BE=,∠PBE=90°,
∴∠BPE=∠BEP=45°,∴PE=2,
∵PC2=16,PE2+CE2=4+12=16,
∴PC2=PE2+CE2,
∴∠PEC=90°,
∵PC=4=2PE,
∴∠PCE=30°,
∴∠CPE=60°,∴∠BPC=45°+60°=105°.
C层创新挑战（选做）
13.(模型观念、推理能力、应用意识)
综合与实践:
问题情境
在综合实践课上,老师让同学们以“正方形纸片的剪拼”为主题展开教学活动,如图1,将一张正方形纸片ABCD沿对角线BD剪开,得到△ABD和△BCD,点O是对角线BD的中点.
操作探究:
(1)将图1中的△BCD沿DA方向平移,点D的对应点为D',点B的对应点为B',点O的对应点为O',B'D'与AB交于点P,D'C'与BD交于点Q,得到图2,则四边形D'PBQ的形状是什么形状 (填写在横线处)
(2)“探究小组”的同学将图1中的△BCD以点D为旋转中心,按顺时针方向旋转45°,得到△B'C'D,点O的对应点为O',B'C'与AB交于点E,连接AO,O'C'交于点F,得到图3,他们认为四边形AEC'F是菱形,“探究小组”的发现是否正确 请你说明理由.
【解析】(1)∵△B'C'D'是△BCD平移得到的,
∴B'D'∥BD,D'C'∥AB,
∴四边形PBQD'是平行四边形;
答案:平行四边形
(2)正确,理由:
∵四边形ABCD为正方形,∠ADB=∠CDB=45°,
∴将△BCD以点D为旋转中心,顺时针旋转45°后,点C'落在BD上,点B'落在DA的延长线上.
∵AB⊥AD,C'O'⊥AD,
∴AB∥O'C'.
∵B'C'⊥BD,AO⊥BD,
∴B'C'∥AO.
∴四边形AEC'F是平行四边形.
∵BD=B'D,AD=C'D,
∴AB'=BC',
又∵∠EAB'=∠EC'B,∠B=∠B'=45°,
∴△AB'E≌△C'BE(ASA),
∴AE=EC',
∴四边形AEC'F菱形. 图形的旋转(第2课时)
A层 基础夯实
1.如图,一个小孩坐在秋千上,若秋千绕点O旋转了80°,小孩的位置也从A点运动到了B点,则∠OAB的度数为 ( )
A.70° B.60° C.50° D.40°
2.如图,将矩形ABCD绕点C顺时针旋转到矩形A1B1CD1的位置,旋转角为θ(0°<θ<90°).若∠1=120°,则θ= °.
3.如图,四边形ABCD中,∠DAB=30°,连接AC,将△ABC绕点B逆时针旋转60°,点C的对应点与点D重合得到△EBD,若AB=5,AD=4,则AC的长度为 .
4.如图,将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形A'B'CD',E,F分别是BD,B'D'的中点,若AB=1 cm,BC=7 cm,则EF的长为 cm.
5.如图,正方形OEFG的直角顶点O为正方形ABCD的中心,O,C,E三点和O,D,G三点分别都在同一直线上,现将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<90°),连接AG,DE.
(1)求证:AG=DE;
(2)若DE∥OC,求∠GAO的度数.
6.如图,正方形ABCD对角线AC,BD相交于点O,点P是对角线BD延长线上一点,连接PC,将PC绕点P逆时针旋转,使点C的对应点Q在AD的延长线上,连接PQ.
(1)求证:△APD≌△CPD;
(2)当点P在BD延长线上的位置发生变化时,∠CPQ的大小是否发生变化 请说明理由.
B层能力进阶
7.如图,将△ABC沿射线BC的方向平移,得到△A'B'C',再将△A'B'C'绕点A'逆时针旋转一定角度后,得到△A'CD,点B'的对应点为C,点C'的对应点为点D,则下列结论不一定正确的是 ( )
A.A'D∥BC
B.BB'=CC'
C.∠B'A'C=∠C'A'D
D.CA'平分∠BCD
8.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=12,BD=6,将△AOD绕点O顺时针方向旋转得到△FOE,连接CF.若点D的对应点E恰好落在线段OA上,则△BCF的面积是 ( )
A.6 B.9 C.18 D.36
9.如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=1,将矩形ABCD绕顶点C顺时针旋转90°,得到矩形EFCG,连接AE,取AE的中点H,连接DH,则DH的长为 ( )
A.1 B. C. D.
10.如图,在 ABCD中,AB=4,BC=6,∠ABC=30°,对角线AC与BD交于点O,将直线l绕点O按顺时针方向旋转,分别交AD,BC于点F,E,则四边形ABEF周长的最小值是 .
11.如图,将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG,点B与点E对应,点E恰好落在AD边上,BH⊥CE交CE于点H.
(1)求证:AB=BH;
(2)连接BG交CH于O,已知AB=5,BC=13,求BO的长.
12.根据题意,寻找规律,解答问题:
(1)如图1,在△ABC中,AB=1,AC=2,现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C,连接AB',并且AB'=3,求∠B'A'C的大小;
(2)如图2,点P是正方形ABCD内一点,且点P到点A,B,C的距离分别为2,,4,求∠BPC的大小.
C层创新挑战（选做）
13.(模型观念、推理能力、应用意识)
综合与实践:
问题情境
在综合实践课上,老师让同学们以“正方形纸片的剪拼”为主题展开教学活动,如图1,将一张正方形纸片ABCD沿对角线BD剪开,得到△ABD和△BCD,点O是对角线BD的中点.
操作探究:
(1)将图1中的△BCD沿DA方向平移,点D的对应点为D',点B的对应点为B',点O的对应点为O',B'D'与AB交于点P,D'C'与BD交于点Q,得到图2,则四边形D'PBQ的形状是什么形状 (填写在横线处)
(2)“探究小组”的同学将图1中的△BCD以点D为旋转中心,按顺时针方向旋转45°,得到△B'C'D,点O的对应点为O',B'C'与AB交于点E,连接AO,O'C'交于点F,得到图3,他们认为四边形AEC'F是菱形,“探究小组”的发现是否正确 请你说明理由. 图形的旋转(第1课时)
A层 基础夯实
知识点1 旋转的概念及性质
1.下列图形绕某点旋转90°后,能与原来图形重合的是 (B)
2.(2023·无锡中考)如图,△ABC中,∠BAC=55°,将△ABC逆时针旋转α(0°<α<55°),得到△ADE,DE交AC于F.当α=40°时,点D恰好落在BC上,此时∠AFE等于 (B)
A.80° B.85° C.90° D.95°
3.(2023·海南中考)如图,在平面直角坐标系中,点A在y轴上,点B的坐标为(6,0),将△ABO绕着点B顺时针旋转60°,得到△DBC,则点C的坐标是 (B)
A.(3,3) B.(3,3)
C.(6,3) D.(3,6)
4.如图,将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ADE,使得点B的对应点D落在边AC的延长线上,若AB=12,AE=7,则线段CD的长为 5 .
知识点2 确定旋转中心
5.(2024·北京期末)在如图所示的正方形网格中,四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A'B'C'D'(所有顶点都是网格线交点),在网格线交点M,N,P,Q中,可能是旋转中心的是(A)
A.点M B.点N C.点P D.点Q
知识点3 旋转作图
6.如图,在方格纸中,将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A'O'B,则下列四个图形中正确的是 (B)
7.如图,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,且点A的坐标是(2,0).
(1)将Rt△OAB先向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到△O1A1B1,画出△O1A1B1;
(2)将Rt△OAB绕点O按逆时针方向旋转90°,得到△OA2B2,画出△OA2B2.
【解析】(1)如图所示,△O1A1B1即为所求;
(2)如图所示,△OA2B2即为所求.
B层能力进阶
8.(2024·台州期末)如图,在△ABC中,AB=AC,将△ABC绕点B旋转得到△DBE,使点D落在AC边上,DE,BC相交于点F.设∠BAC=α,∠BFD=β.则下列关系正确的是 (C)
A.α+β=150° B.2α+β=230°
C.α+β=270° D.3α+β=300°
9.(2023·宁夏中考)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BC=2.点D在BC上,且BD∶CD=1∶3.连接AD,线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE,连接BE,DE.则△BDE的面积是 (B)
A. B. C. D.
10.如图,在等腰Rt△ABC中,已知∠ABC=90°,将△ABC绕点C逆时针旋转60°,得到△MNC,连接BM,若AB=2,则△BMN的面积为 1 .
11.(2024·西安一模)如图,在等边△ABC中,AB=6,点P是边BC上的动点,将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ,点D是AC边的中点,连接DQ,则DQ的最小值是 .
12.(易错警示题·分类讨论遗漏情况而出错)如图,已知点A(2,0),B(0,4),C(2,4),在所给的网格中存在一点D,且CD与AB垂直且相等.
(1)直接写出点D的坐标;
(2)将直线AB绕某一点旋转一定角度,使其与线段CD重合,则这个旋转中心的坐标为(4,2)或(1,5)
.
【解析】(1)D(6,6);
(2)旋转中心Q(4,2)或Q'(1,5).
C层创新挑战（选做）
13.(运算能力、空间观念)如图,D为等边三角形ABC内一点,将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,连接CE,BD的延长线与AC交于点G,与CE交于点F,连接AF.
(1)求证:BD=CE;
(2)求∠AFE的度数.
【解析】(1)∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,∴AD=AE,∠DAE=60°.
∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,
∴∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,,
∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE.
(2)如图,过点A作AM⊥BD,AN⊥CF,垂足分别为M,N.
∵△ABD≌△ACE,∴∠ABD=∠ACE,BD=CE,S△ABD=S△ACE.
又∵∠AGB=∠CGF,∴∠BFC=∠BAC=60°,∴∠BFE=120°.
∵S△ABD=S△ACE,
∴BD·AM=CE·AN,∴AM=AN.
在Rt△AFM和Rt△AFN中,,
∴Rt△AFM≌Rt△AFN(HL),
∴∠AFB=∠AFE,
∴∠AFE=∠BFE=×120°=60°. 图形的旋转(第1课时)
A层 基础夯实
知识点1 旋转的概念及性质
1.下列图形绕某点旋转90°后,能与原来图形重合的是 ( )
2.(2023·无锡中考)如图,△ABC中,∠BAC=55°,将△ABC逆时针旋转α(0°<α<55°),得到△ADE,DE交AC于F.当α=40°时,点D恰好落在BC上,此时∠AFE等于 ( )
A.80° B.85° C.90° D.95°
3.(2023·海南中考)如图,在平面直角坐标系中,点A在y轴上,点B的坐标为(6,0),将△ABO绕着点B顺时针旋转60°,得到△DBC,则点C的坐标是 ( )
A.(3,3) B.(3,3)
C.(6,3) D.(3,6)
4.如图,将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ADE,使得点B的对应点D落在边AC的延长线上,若AB=12,AE=7,则线段CD的长为 .
知识点2 确定旋转中心
5.(2024·北京期末)在如图所示的正方形网格中,四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A'B'C'D'(所有顶点都是网格线交点),在网格线交点M,N,P,Q中,可能是旋转中心的是( )
A.点M B.点N C.点P D.点Q
知识点3 旋转作图
6.如图,在方格纸中,将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A'O'B,则下列四个图形中正确的是 ( )
7.如图,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,且点A的坐标是(2,0).
(1)将Rt△OAB先向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到△O1A1B1,画出△O1A1B1;
(2)将Rt△OAB绕点O按逆时针方向旋转90°,得到△OA2B2,画出△OA2B2.
B层能力进阶
8.(2024·台州期末)如图,在△ABC中,AB=AC,将△ABC绕点B旋转得到△DBE,使点D落在AC边上,DE,BC相交于点F.设∠BAC=α,∠BFD=β.则下列关系正确的是 ( )
A.α+β=150° B.2α+β=230°
C.α+β=270° D.3α+β=300°
9.(2023·宁夏中考)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BC=2.点D在BC上,且BD∶CD=1∶3.连接AD,线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE,连接BE,DE.则△BDE的面积是 ( )
A. B. C. D.
10.如图,在等腰Rt△ABC中,已知∠ABC=90°,将△ABC绕点C逆时针旋转60°,得到△MNC,连接BM,若AB=2,则△BMN的面积为 .
11.(2024·西安一模)如图,在等边△ABC中,AB=6,点P是边BC上的动点,将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ,点D是AC边的中点,连接DQ,则DQ的最小值是 .
12.(易错警示题·分类讨论遗漏情况而出错)如图,已知点A(2,0),B(0,4),C(2,4),在所给的网格中存在一点D,且CD与AB垂直且相等.
(1)直接写出点D的坐标;
(2)将直线AB绕某一点旋转一定角度,使其与线段CD重合,则这个旋转中心的坐标为
.
C层创新挑战（选做）
13.(运算能力、空间观念)如图,D为等边三角形ABC内一点,将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,连接CE,BD的延长线与AC交于点G,与CE交于点F,连接AF.
(1)求证:BD=CE;
(2)求∠AFE的度数.
