图形的中心对称(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 中心对称
1.如图,两个五角星关于某一点成中心对称,则对称中心和点A的对称点是( )
A.A和H B.I和E
C.E和F D.E和I
2.如图,线段AC与BD相交于点O,且△ABO≌△CDO,则下列结论中正确的个数是( )
①OB=OD;
②AB=CD;
③线段AB与CD关于点O成中心对称;
④△ABO和△CDO关于点O成中心对称.
A.4 B.3 C.2 D.1
3.如图,在4×4的方格纸中,画格点三角形(顶点均在格点上)△A1B1C1与△ABC关于方格纸中的一个格点成中心对称,这样的△A1B1C1有 个.
4.如图,已知AD是△ABC的中线,画出以点D为对称中心,与△ABD成中心对称的三角形.
5.已知直线MN⊥PQ,垂足为点O,A1和A关于MN对称,A2和A关于PQ对称,如图所示,试证明A1和A2关于点O成中心对称.
知识点2 中心对称的性质
6.如图,△ADE与△CDB关于点D成中心对称,连接AB,以下结论错误的是( )
A.AD=CD B.∠C=∠E
C.AE=CB D.S△ADE=S△ADB
7.如图,在△ABC中,AC=BC,点D,E分别是边AB,AC的中点,△ADE与△CFE关于点E成中心对称,则四边形ADCF一定是( )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
8.如图,△A'B'C'与△ABC关于点O成中心对称,已知AB=BC=2,∠ABC=120°,
则∠B'A'C'= .
9.如图,矩形ABCD和矩形A'B'C'D关于点D成中心对称,已知AB=3,BC=4,则阴影部分的面积是 .
10.如图,矩形ABDC与矩形A'B'D'C'关于某点成中心对称,已知B(-4,0),B'(-2,0),C(-1,2).
(1)求对称中心的坐标;
(2)写出顶点A,D,A',C'的坐标.
【B层 能力进阶】
11.已知点A(2,7),B(-5,0),C(0,-1),在平面直角坐标系中△A'B'C'以点P(5,6)为对称中心与△ABC成中心对称,则点A'的坐标为( )
A.(-2,-7) B.(7,2)
C.(8,8) D.(8,5)
12.如图,正方形①和②关于点A对称,正方形②和③关于点B对称,若正方形①经过一次旋转后和正方形③重合,则旋转角至少为 °.
13.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,将△AOD绕点D旋转180°得到△EFD,若菱形ABCD的面积为2,AC=2,则BE= .
14.如图,在直角坐标系中,四边形ABCD是正方形,点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(2,0).若正方形ABCD和正方形A1BC1B1关于点B成中心对称;正方形A1BC1B1和正方形A2B2C2B1关于点B1成中心对称;…,依此规律,则点C6的坐标为 .
15.如图,已知△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称,△ABE与△DCE关于点E成中心对称,点E,D,M都在线段AF上,BM的延长线交CF于点P.
(1)求证:AC=CD;
(2)若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系,并说明理由.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(模型观念、推理能力、应用意识)(1)阅读理解:
如图①,在△ABC中,若AB=8,AC=12,求BC边上的中线AD的取值范围,并说明理由.
解决此问题可以用如下方法:延长AD到点E使DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中,体现了转化和化归的数学思想,利用三角形三边的关系即可判断.
(2)问题解决:
如图②,在△ABC中,D是BC边上的中点,DM⊥DN于点D,DM交AB于点M,DN交AC于点N,连接MN,求证:BM+CN>MN. 图形的中心对称(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 中心对称图形
1.《周易》是中国传统思想文化中自然哲学与人文实践的理论根源,是古代汉民族思想、智慧的结晶,被誉为“大道之源”.下列“卦象”是中心对称图形的是 (D)
2.围棋起源于中国,古代称之为“弈”.如图,棋盘上有1个白子和3个黑子,若再放入一个白子,使它与原来的4个棋子组成的图形为中心对称图形,则放入白子的位置是 (C)
A.点A处 B.点B处
C.点C处 D.点D处
3.下列四种图案中,是中心对称图形的有 3 个.
4.由16个边长相等的小正方形组成的图形如图所示,请你用一条割线(可以是折线)将它分割成两个图形,使之关于某一点成中心对称,要求给出两种不同的方法.
【解析】答案不唯一,例如:
知识点2 中心对称图形性质的应用
5.将一张矩形纸片折叠一次,使折痕平分这个矩形的面积,则这样的折叠方法有 (D)
A.2种 B.4种
C.6种 D.无数种
6.如图,三个边长相同的正方形重叠在一起,O1,O2是其中两个正方形的中心,阴影部分的面积和是8,则正方形的边长为 (B)
A.2 B.4 C.8 D.2
7.如图,在矩形ABCD中,E在AD边上,将△ABE沿BE折叠,使点A恰好落在矩形ABCD的对称中心O处,AB=4,则BC的长是 (B)
A. B.4 C.8 D.12
8.轴对称图形的对称轴将图形面积二等分,中心对称图形过对称中心的直线将图形面积二等分.请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分.
【解析】
9.有一张矩形纸片ABCD,E,F分别是边BC,AD上的点(不与顶点重合),如图所示,若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分.求证:AF=EC.
【解析】∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,AD=BC,DF=AD-AF,BE=BC-EC,
∵S梯形ABEF=S梯形CDFE,
∴AB(AF+BE)=CD(CE+DF),
∴AF+BE=EC+DF,
∴AF+(BC-EC)=EC+(AD-AF),
∴AF-EC=EC-AF,
∴AF=EC.
【B层 能力进阶】
10.2024年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会,于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.下面2024年巴黎奥运会项目图标是中心对称图形的是 (B)
11.在平面直角坐标系中, ABCD的对称中心是坐标原点,顶点A,B的坐标分别是(-1,1),(2,1),将 ABCD沿x轴向右平移3个单位长度,则顶点C的对应点的坐标是 (4,-1) .
12.如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,放入三个小正方形后形成一个中心对称图形,则放入的三个小正方形的面积之和为 1 .
13.如图,在平面直角坐标系中,点A,C分别在x轴、y轴上,若点B的坐标为(a,b),且b=++4,CB∥OA,OA=2a.
(1)直接写出点A,B,C的坐标;
(2)若动点P从原点O出发沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动,当直线PC把四边形OABC分成面积相等的两部分时停止运动,求此时P点的运动时间.
【解析】(1)∵b=++4,
∴a=4,b=4,
∴B(4,4),
∵CB∥OA,OA=8,
∴A(8,0),C(0,4);
(2)∵S四边形ABCO=×4×(4+8)=24,且直线PC把四边形OABC分成面积相等的两部分,
∴=×4×OP=12,
∴OP=6,
∴t==3 s,
答:此时P点的运动时间为3秒.
【C层 创新挑战（选做）】
14.(模型观念、推理能力、应用意识)问题探究:
(1)如图①,点M是矩形ABCD内一点,请你在图①中过点M作一条直线,使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分.
问题解决:(2)如图②,在平面直角坐标系中,四边形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图,其中DC∥OB,BC⊥OB,OB=6,BC=CD=4.开发区综合服务管理委员会(其占地面积不计)设在点P(4,2)处.为了方便驻区单位,准备过点P修一条笔直的道路(路宽不计),并且使这条路所在的直线l将四边形OBCD分成面积相等的两部分,你认为直线l是否存在 若存在求出直线l的表达式;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)如图①,连接AC,BD交于P,则P为矩形对称中心.作直线MP,直线MP即为所求.
(2)如图②,存在直线l.过点D作DA⊥OB于点A,则点P(4,2)为矩形ABCD的对称中心,∴过点P的直线只要平分△DOA的面积即可,易知,在OD边上必存在点H使得PH将△DOA面积平分.
从而,直线PH平分梯形OBCD的面积,
即直线PH为所求直线l,设直线PH的表达式为y=kx+b且过点P(4,2),
∴2=4k+b即b=2-4k,
∴y=kx+2-4k,
∵D(2,4),
∴直线OD的表达式为y=2x,
∴,
解得.
∴点H的坐标为(,),
把x=2代入直线PH的表达式y=kx+2-4k,得y=2-2k,
∴PH与线段AD的交点F(2,2-2k),
∴0<2-2k<4,
∴-1
∴S△DHF=(4-2+2k)·(2-)=××2×4,
解得k=(k=舍去),
∴b=8-2,
∴直线l的表达式为y=x+8-2. 图形的中心对称(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 中心对称图形
1.《周易》是中国传统思想文化中自然哲学与人文实践的理论根源,是古代汉民族思想、智慧的结晶,被誉为“大道之源”.下列“卦象”是中心对称图形的是 ( )
2.围棋起源于中国,古代称之为“弈”.如图,棋盘上有1个白子和3个黑子,若再放入一个白子,使它与原来的4个棋子组成的图形为中心对称图形,则放入白子的位置是 ( )
A.点A处 B.点B处
C.点C处 D.点D处
3.下列四种图案中,是中心对称图形的有 个.
4.由16个边长相等的小正方形组成的图形如图所示,请你用一条割线(可以是折线)将它分割成两个图形,使之关于某一点成中心对称,要求给出两种不同的方法.
知识点2 中心对称图形性质的应用
5.将一张矩形纸片折叠一次,使折痕平分这个矩形的面积,则这样的折叠方法有 ( )
A.2种 B.4种
C.6种 D.无数种
6.如图,三个边长相同的正方形重叠在一起,O1,O2是其中两个正方形的中心,阴影部分的面积和是8,则正方形的边长为 ( )
A.2 B.4 C.8 D.2
7.如图,在矩形ABCD中,E在AD边上,将△ABE沿BE折叠,使点A恰好落在矩形ABCD的对称中心O处,AB=4,则BC的长是 ( )
A. B.4 C.8 D.12
8.轴对称图形的对称轴将图形面积二等分,中心对称图形过对称中心的直线将图形面积二等分.请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分.
9.有一张矩形纸片ABCD,E,F分别是边BC,AD上的点(不与顶点重合),如图所示,若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分.求证:AF=EC.
【B层 能力进阶】
10.2024年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会,于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.下面2024年巴黎奥运会项目图标是中心对称图形的是 ( )
11.在平面直角坐标系中, ABCD的对称中心是坐标原点,顶点A,B的坐标分别是(-1,1),(2,1),将 ABCD沿x轴向右平移3个单位长度,则顶点C的对应点的坐标是 .
12.如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,放入三个小正方形后形成一个中心对称图形,则放入的三个小正方形的面积之和为 .
13.如图,在平面直角坐标系中,点A,C分别在x轴、y轴上,若点B的坐标为(a,b),且b=++4,CB∥OA,OA=2a.
(1)直接写出点A,B,C的坐标;
(2)若动点P从原点O出发沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动,当直线PC把四边形OABC分成面积相等的两部分时停止运动,求此时P点的运动时间.
【C层 创新挑战（选做）】
14.(模型观念、推理能力、应用意识)问题探究:
(1)如图①,点M是矩形ABCD内一点,请你在图①中过点M作一条直线,使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分.
问题解决:(2)如图②,在平面直角坐标系中,四边形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图,其中DC∥OB,BC⊥OB,OB=6,BC=CD=4.开发区综合服务管理委员会(其占地面积不计)设在点P(4,2)处.为了方便驻区单位,准备过点P修一条笔直的道路(路宽不计),并且使这条路所在的直线l将四边形OBCD分成面积相等的两部分,你认为直线l是否存在 若存在求出直线l的表达式;若不存在,请说明理由. 图形的中心对称(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 中心对称
1.如图,两个五角星关于某一点成中心对称,则对称中心和点A的对称点是(D)
A.A和H B.I和E
C.E和F D.E和I
2.如图,线段AC与BD相交于点O,且△ABO≌△CDO,则下列结论中正确的个数是(A)
①OB=OD;
②AB=CD;
③线段AB与CD关于点O成中心对称;
④△ABO和△CDO关于点O成中心对称.
A.4 B.3 C.2 D.1
3.如图,在4×4的方格纸中,画格点三角形(顶点均在格点上)△A1B1C1与△ABC关于方格纸中的一个格点成中心对称,这样的△A1B1C1有 2 个.
4.如图,已知AD是△ABC的中线,画出以点D为对称中心,与△ABD成中心对称的三角形.
【解析】延长AD,且使AD=A'D,因为AD是△ABC的中线,所以B点关于对称中心D的对称点为C,连接A'C,则△A'CD为所求的三角形,如图所示.
5.已知直线MN⊥PQ,垂足为点O,A1和A关于MN对称,A2和A关于PQ对称,如图所示,试证明A1和A2关于点O成中心对称.
【证明】如图:连接AO,OA1,OA2,
∵点A1和点A关于MN对称,
∴AO=OA1,∠1=∠2,
∵点A2和点A关于PQ对称,
∴AO=OA2,∠3=∠4,∴OA1=OA2,
∵∠1+∠3=90°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°,
∴O,A1,A2三点共线,
∵OA1=OA2,
∴点A1和点A2关于点O成中心对称.
知识点2 中心对称的性质
6.如图,△ADE与△CDB关于点D成中心对称,连接AB,以下结论错误的是(B)
A.AD=CD B.∠C=∠E
C.AE=CB D.S△ADE=S△ADB
7.如图,在△ABC中,AC=BC,点D,E分别是边AB,AC的中点,△ADE与△CFE关于点E成中心对称,则四边形ADCF一定是(B)
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
8.如图,△A'B'C'与△ABC关于点O成中心对称,已知AB=BC=2,∠ABC=120°,
则∠B'A'C'= 30° .
9.如图,矩形ABCD和矩形A'B'C'D关于点D成中心对称,已知AB=3,BC=4,则阴影部分的面积是 24 .
10.如图,矩形ABDC与矩形A'B'D'C'关于某点成中心对称,已知B(-4,0),B'(-2,0),C(-1,2).
(1)求对称中心的坐标;
【解析】(1)BB'的中点即为对称中心,
∵B(-4,0),B'(-2,0),
∴对称中心为(-3,0);
(2)写出顶点A,D,A',C'的坐标.
【解析】(2)∵C(-1,2),
∴D(-1,0),CD=2,
根据矩形的对应边相等,可得,A(-4,2),A'(-2,-2),D(-1,0),C'(-5,-2).
【B层 能力进阶】
11.已知点A(2,7),B(-5,0),C(0,-1),在平面直角坐标系中△A'B'C'以点P(5,6)为对称中心与△ABC成中心对称,则点A'的坐标为(D)
A.(-2,-7) B.(7,2)
C.(8,8) D.(8,5)
12.如图,正方形①和②关于点A对称,正方形②和③关于点B对称,若正方形①经过一次旋转后和正方形③重合,则旋转角至少为 90 °.
13.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,将△AOD绕点D旋转180°得到△EFD,若菱形ABCD的面积为2,AC=2,则BE= 2 .
14.如图,在直角坐标系中,四边形ABCD是正方形,点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(2,0).若正方形ABCD和正方形A1BC1B1关于点B成中心对称;正方形A1BC1B1和正方形A2B2C2B1关于点B1成中心对称;…,依此规律,则点C6的坐标为 (9,-16) .
15.如图,已知△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称,△ABE与△DCE关于点E成中心对称,点E,D,M都在线段AF上,BM的延长线交CF于点P.
(1)求证:AC=CD;
【解析】(1)∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称,
∴△ABM≌△ACM,
∴AB=AC,
又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称,
∴△ABE≌△DCE,
∴AB=CD,
∴AC=CD;
(2)若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系,并说明理由.
【解析】(2)∠F=∠MCD.
理由:由(1)可得∠BAE=∠CAE=∠CDE,∠CMA=∠BMA,
∵∠BAC=2∠MPC,∠BMA=∠PMF,
∴设∠MPC=α,
则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α,
设∠BMA=β,则∠PMF=∠CMA=β,
∴∠F=∠CPM-∠PMF=α-β,
∠MCD=∠CDE-∠DMC=α-β,
∴∠F=∠MCD.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(模型观念、推理能力、应用意识)(1)阅读理解:
如图①,在△ABC中,若AB=8,AC=12,求BC边上的中线AD的取值范围,并说明理由.
解决此问题可以用如下方法:延长AD到点E使DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中,体现了转化和化归的数学思想,利用三角形三边的关系即可判断.
【解析】(1)延长AD到点E使DE=AD,连接BE,
∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD,
在△ACD和△EBD中,,
∴△ACD≌△EBD(SAS),
∴BE=AC=12,
在△ABE中,由三角形的三边关系得:BE-AB∴12-8∴2(2)问题解决:
如图②,在△ABC中,D是BC边上的中点,DM⊥DN于点D,DM交AB于点M,DN交AC于点N,连接MN,求证:BM+CN>MN.
【解析】(2)延长ND至点F,使FD=ND,连接BF,MF,如图所示:
∵D是BC边上的中点,
∴BD=CD,
在△BFD和△CND中,,
∴△BFD≌△CND(SAS),
∴BF=CN,
∵DM⊥DN,FD=ND,
∴MF=MN,
在△BFM中,由三角形的三边关系得:BM+BF>MF,
∴BM+CN>MN.