第6章 平行四边形
（90分钟 100分）
一、选择题(每小题3分,共24分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1.(2024·聊城期末)在四边形ABCD中,AB=CD,要判定此四边形是平行四边形,还需要满足的条件是 ( )
A.∠A+∠C=180° B.∠B+∠D=180°
C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠D=180°
2.如图,若DE是△ABC的中位线,△ABC的周长为6,则△ADE的周长为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
3.在数学活动课上,为探究四边形瓷砖是否为菱形,以下拟定的测量方案,正确的是 ( )
A.测量一组对边是否平行且相等 B.测量四个内角是否相等
C.测量两条对角线是否互相垂直 D.测量四条边是否相等
4.(2024·上海中考)四边形ABCD为矩形,过A,C作对角线BD的垂线,过B,D作对角线AC的垂线.如果四个垂线拼成一个四边形,那这个四边形为 ( )
A.菱形 B.矩形
C.直角梯形 D.等腰梯形
5.(2024·潍坊质检)顺次连接等腰梯形四边中点得到一个四边形,再顺次连接所得四边形四边的中点得到的图形是 ( )
A.等腰梯形 B.直角梯形
C.菱形 D.矩形
6.(2024·河北中考)在平面直角坐标系中,我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图,矩形ABCD位于第一象限,其四条边分别与坐标轴平行,则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是 ( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
7.已知,在 ABCD中,AB=7,AE平分∠DAB交BC所在直线于点E,CE=1,则AD的长为 ( )
A.6或7或8 B.7或8
C.6或7 D.6或8
8.(2023·重庆中考A卷)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,连接AE,AF,EF,∠EAF=45°.若∠BAE=α,则∠FEC一定等于 ( )
A.2α B.90°-2α
C.45°-α D.90°-α
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如图,BD是△ABC的中线,E,F分别是BD,BC的中点,连接EF若EF=2,则AD的长为 .
10.如图,直线l过正方形ABCD的顶点A,BE⊥l于点E,DF⊥l于点F.若BE=2,DF=4,则EF的长为 .
11.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=120°,CE∥BD,DE∥AC,若AD=4,则四边形CODE的周长为 .
12.将两个完全相同的菱形按如图方式放置,点D在边BF上,BG与CD相交于点E,若∠BAD=α,∠CBE=β,则α,β的等量关系式为 .
13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC,BC为边分别作正方形ACDE和正方形BCGF,若AG=6,S△ABC=5,则图中阴影部分的面积为 .
14.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=6,CD=8,E,F分别是边AB,CD的中点,DH⊥BC于H,现有下列结论:
①∠CDH=30°;
②EF=4;
③四边形EFCH是菱形;
④S△EFC=3S△BEH.
其中结论正确的有 .(填写正确的序号)
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图,已知BE∥DF,∠ADF=∠CBE,AF=CE,求证:四边形DEBF是平行四边形.
16.(8分)如图,在矩形BCEF中,O是边EF的中点,连接BO并延长,交CE的延长线于点A.求证:O是AB的中点.
17.(8分)如图,在 ABCD中,E,F分别为AB,CD的中点,BD是对角线,AG∥DB交CB的延长线于点G.
(1)求证:DE=FB.
(2)若四边形AGBD是矩形,求证:四边形DEBF是菱形.
18.(8分)(2024·青岛模拟)如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别在BD和DB的延长线上,且DE=BF,连接AE,CF.
(1)求证:△ADE≌△CBF;
(2)连接AF,CE.当BD平分∠ABC时,四边形AFCE是什么特殊四边形 请说明理由.
19.(10分)(2024·江西中考)如图,AC为菱形ABCD的对角线,请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹).
(1)如图1,过点B作AC的垂线;
(2)如图2,点E为线段AB的中点,过点B作AC的平行线.
20.(10分)【发现问题】
(1)如图1,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC于点D,过点D作BC的平行线,交AB于点E,请判断△BDE的形状,并说明理由.
【方法应用】
(2)如图2,在 ABCD中,BE平分∠ABC,交边AD于点E,过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F,交BC于点G.
①图中一定是等腰三角形的有 .
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
②已知AB=3,BC=5,求CF的长.
【附加题】(10分)
如图,在正方形ABCD中,G是BC边上任意一点(不与B,C重合),DE⊥AG于点E,BF∥DE,且交AG于点F.
(1)求证:AF-BF=EF;
(2)四边形BFDE是否可能是平行四边形 如果可能,请指出此时点G的位置;如果不可能,请说明理由.第6章 平行四边形
（90分钟 100分）
一、选择题(每小题3分,共24分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1.(2024·聊城期末)在四边形ABCD中,AB=CD,要判定此四边形是平行四边形,还需要满足的条件是 (D)
A.∠A+∠C=180° B.∠B+∠D=180°
C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠D=180°
2.如图,若DE是△ABC的中位线,△ABC的周长为6,则△ADE的周长为 (B)
A.4 B.3 C.2 D.1
3.在数学活动课上,为探究四边形瓷砖是否为菱形,以下拟定的测量方案,正确的是 (D)
A.测量一组对边是否平行且相等 B.测量四个内角是否相等
C.测量两条对角线是否互相垂直 D.测量四条边是否相等
4.(2024·上海中考)四边形ABCD为矩形,过A,C作对角线BD的垂线,过B,D作对角线AC的垂线.如果四个垂线拼成一个四边形,那这个四边形为 (A)
A.菱形 B.矩形
C.直角梯形 D.等腰梯形
5.(2024·潍坊质检)顺次连接等腰梯形四边中点得到一个四边形,再顺次连接所得四边形四边的中点得到的图形是 (D)
A.等腰梯形 B.直角梯形
C.菱形 D.矩形
6.(2024·河北中考)在平面直角坐标系中,我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图,矩形ABCD位于第一象限,其四条边分别与坐标轴平行,则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是 (B)
A.点A B.点B C.点C D.点D
7.已知,在 ABCD中,AB=7,AE平分∠DAB交BC所在直线于点E,CE=1,则AD的长为 (D)
A.6或7或8 B.7或8
C.6或7 D.6或8
8.(2023·重庆中考A卷)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,连接AE,AF,EF,∠EAF=45°.若∠BAE=α,则∠FEC一定等于 (A)
A.2α B.90°-2α
C.45°-α D.90°-α
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.如图,BD是△ABC的中线,E,F分别是BD,BC的中点,连接EF若EF=2,则AD的长为 4 .
10.如图,直线l过正方形ABCD的顶点A,BE⊥l于点E,DF⊥l于点F.若BE=2,DF=4,则EF的长为 6 .
11.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=120°,CE∥BD,DE∥AC,若AD=4,则四边形CODE的周长为 16 .
12.将两个完全相同的菱形按如图方式放置,点D在边BF上,BG与CD相交于点E,若∠BAD=α,∠CBE=β,则α,β的等量关系式为 3α+2β=180° .
13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC,BC为边分别作正方形ACDE和正方形BCGF,若AG=6,S△ABC=5,则图中阴影部分的面积为 16 .
14.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=6,CD=8,E,F分别是边AB,CD的中点,DH⊥BC于H,现有下列结论:
①∠CDH=30°;
②EF=4;
③四边形EFCH是菱形;
④S△EFC=3S△BEH.
其中结论正确的有 ①②③ .(填写正确的序号)
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图,已知BE∥DF,∠ADF=∠CBE,AF=CE,求证:四边形DEBF是平行四边形.
【证明】∵BE∥DF,∴∠BEC=∠DFA.
在△ADF和△CBE中,
∴△ADF≌△CBE(AAS),∴BE=DF.又∵BE∥DF,∴四边形DEBF是平行四边形.
16.(8分)如图,在矩形BCEF中,O是边EF的中点,连接BO并延长,交CE的延长线于点A.求证:O是AB的中点.
【证明】∵四边形BCEF是矩形,∴CE∥BF,∴∠AEO=∠BFO.
∵O为EF的中点,∴OE=OF.在△AOE和△BOF中,,
∴△AOE≌△BOF(ASA),∴AO=BO,∴O是AB的中点.
17.(8分)如图,在 ABCD中,E,F分别为AB,CD的中点,BD是对角线,AG∥DB交CB的延长线于点G.
(1)求证:DE=FB.
(2)若四边形AGBD是矩形,求证:四边形DEBF是菱形.
【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.
∵E,F分别是AB,CD的中点,∴BE=AB,DF=CD,∴BE=DF,
∴四边形DEBF是平行四边形,∴DE=FB.
(2)∵四边形AGBD是矩形,∴∠ADB=90°,△ABD是直角三角形.
∵E是AB的中点,∴BE=DE=AB.
由(1)知四边形DEBF是平行四边形,∴四边形DEBF是菱形.
18.(8分)(2024·青岛模拟)如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别在BD和DB的延长线上,且DE=BF,连接AE,CF.
(1)求证:△ADE≌△CBF;
(2)连接AF,CE.当BD平分∠ABC时,四边形AFCE是什么特殊四边形 请说明理由.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=CB,∠ADC=∠CBA,∴∠ADE=∠CBF.
在△ADE和△CBF中,,∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)当BD平分∠ABC时,四边形AFCE是菱形.
理由:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,
∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,
∴平行四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴AC⊥EF.
∵DE=BF,∴OE=OF.又∵OA=OC,∴四边形AFCE是平行四边形.
∵AC⊥EF,∴四边形AFCE是菱形.
19.(10分)(2024·江西中考)如图,AC为菱形ABCD的对角线,请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹).
(1)如图1,过点B作AC的垂线;
(2)如图2,点E为线段AB的中点,过点B作AC的平行线.
【解析】(1)如图,连接BD.
∵四边形ABCD为菱形,
∴BD⊥AC,
则直线BD即为所求.
(2)如图,连接CE并延长,交DA的延长线于点F,作直线BF.
∵四边形ABCD为菱形,
∴DF∥BC,
∴∠AFE=∠BCE,∠FAE=∠CBE.
∵点E为线段AB的中点,
∴AE=BE,
∴△AEF≌△BEC(AAS),
∴AF=BC,
∴四边形ACBF为平行四边形,
∴BF∥AC,
则直线BF即为所求.
20.(10分)【发现问题】
(1)如图1,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC于点D,过点D作BC的平行线,交AB于点E,请判断△BDE的形状,并说明理由.
【方法应用】
(2)如图2,在 ABCD中,BE平分∠ABC,交边AD于点E,过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F,交BC于点G.
①图中一定是等腰三角形的有B.
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
②已知AB=3,BC=5,求CF的长.
【解析】(1)△BDE的形状是等腰三角形.
理由如下:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.
∵BC∥ED,∴∠EDB=∠CBD,∴∠EDB=∠ABD,
∴EB=ED,∴△BDE是等腰三角形.
(2)①共有四个等腰三角形.分别是△ABE,△ABG,△AFD,△CGF.
②由(1)可知,∠ABE=∠EBG=∠AEB,AB=AE=3.
∵AF⊥BE,∴∠BAF=∠EAF.
∵BC∥AD,∴∠EAG=∠AGB,∴∠BAF=∠AGB,∴AB=BG=3.
∵AB∥FD,∴∠BAF=∠CFG.
∵∠AGB=∠CGF,∴∠CGF=∠CFG,∴CG=CF.
∵CG=BC-BG=5-3=2,∴CF=2.
【附加题】(10分)
如图,在正方形ABCD中,G是BC边上任意一点(不与B,C重合),DE⊥AG于点E,BF∥DE,且交AG于点F.
(1)求证:AF-BF=EF;
(2)四边形BFDE是否可能是平行四边形 如果可能,请指出此时点G的位置;如果不可能,请说明理由.
【解析】(1)∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD,∠BAF+∠DAE=90°.
∵DE⊥AG,∴∠DAE+∠ADE=90°,
∴∠ADE=∠BAF.
又∵BF∥DE,∴∠BFA=∠AED=90°,
∴△ABF≌△DAE(AAS),
∴AF=DE,AE=BF,∴AF-BF=AF-AE=EF.
(2)不可能,理由如下:
如图,
已知DE∥BF,则当DE=BF时,四边形BFDE为平行四边形.
∵DE=AF,∴BF=AF,即此时∠BAF=45°,
而点G不与B和C重合,∴∠BAF≠45°,与∠BAF=45°矛盾,∴四边形BFDE不可能是平行四边形.
